Công thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn (2024) chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình bậc hai một ẩn chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng $a{x}^2+bx+c<0$ (hoặc $a{x}^2+bx+c\le 0$,$a{x}^2+bx+c>0$ ,$a{x}^2+bx+c\ge 0$), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và $a\ne 0$.

- Giải bất phương trình bậc hai $a{x}^2+bx+c<0$ thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = $a{x}^2+bx+c$ cùng dấu với hệ số a hay trái dấu với hệ số a.

II. Các công thức.

Cho tam thức bậc hai f(x) = $a{x}^2+bx+c$ có $a\ne 0$, $\Delta =b^2-4ac$, ta có:

thì:

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Giải bất phương trình: $x^2+5x-6>0$.

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai: $x^2+5x-6$

Ta có: $\Delta =5^2-4.(-6).1=49$ > 0

Nghiệm của tam thức là: $x_1=\frac{-5+\sqrt{49}}{2.1}=1$,$x_2=\frac{-5-\sqrt{49}}{2.1}=-6$

Hệ số a = 1 > 0 nên ta có:

$x^2+5x-6>0\iff \left[\begin{array}{l}x<-6\\ x>1\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\infty ;-6\right)\cup \left(5;+\infty \right)$.

Bài 2: Giải bất phương trình: $3x^2+2x+5>0$

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai: $3x^2+2x+5$

Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a=3>0\\ \Delta =2^2-\mathrm{4.3.5}=-54<0\end{array}\right. \\ \Rightarrow 3x^2+2x+5>0\forall x\in ℝ \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=ℝ$.

Bài 3: Giải bất phương trình: $2x^2-4x-5<0$.

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai: $2x^2-4x-5$

Ta có: $\Delta \text{'}={(-2)}^2-2.(-5)=14$> 0

Nghiệm của tam thức là: $x_1=\frac{-(-2)+\sqrt{14}}{2}=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$,

$x_2=\frac{-(-2)-\sqrt{14}}{2}=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$

Hệ số a = 2 > 0 nên ta có:

$$\begin{gathered} 2x^2-4x-5<0 \\ \iff \frac{2-\sqrt{14}}{2}<x<\frac{2+\sqrt{14}}{2} \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

$S=\left(\frac{2-\sqrt{14}}{2};\frac{2+\sqrt{14}}{2}\right)$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Giải bất phương trình $-3x^2+7x-4<0$.

Bài 2: Giải bất phương trình $x^2-3x-1\ge 0$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình một ẩn chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của tam thức bậc hai chi tiết nhất