Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 (2024) đầy đủ, chi tiết

Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10

I. Lí thuyết tổng hợp.

1. Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng “a < b”, “a > b”, “$a\le b$” hoặc “$a\ge b$” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả:

Nếu mệnh đề “$a<b\Rightarrow c<d$” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và viết là $a<b\Rightarrow c<d$.

3. Bất đẳng thức tương đương:

Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là $a<b\iff c<d$.

4. Tính chất của bất đẳng thức:

+ Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức): $a<b\iff a+c<b+c$

+ Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c dương: $a<b\iff ac<bc$

+ Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c âm: $a<b\iff ac>bc$

+ Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow a+c<b+d$

+ Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: Với a > 0, c > 0 : $\left\{\begin{array}{l}a<b\\ c<d\end{array}\right.\Rightarrow ac<bd$

+ Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa:

Với $n\in \mathbb{N}*$, $a<b\iff a^{2n+1}<b^{2n+1}$

Với $n\in \mathbb{N}*$ và a > 0, $a<b\iff a^{2n}<b^{2n}$

+ Khai căn hai vế của một bất đẳng thức:

$a < b\iff \sqrt{a} <\sqrt{b}$(a > 0, b > 0)

$a<b\iff \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

- Chú ý:

+ Các mệnh đề “a < b” hoặc “a > b” gọi là các bất đẳng thức ngặt.

+ Các mệnh đề “$a\le b$” hoặc “$a\ge b$” gọi là các bất đẳng thức không ngặt.

+ Các tính chất của bất đẳng thức đúng với cả bất đẳng thức ngặt và bất đẳng thức không ngặt.

II. Các công thức.

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Chứng minh rằng $x^3+y^3\ge x^{2}y+x{y}^2$ với $\forall x,y\ge 0$.

Lời giải:

Với $\forall x,y\ge 0\Rightarrow x+y\ge 0$

Ta có:

(luôn đúng $\forall x,y\ge 0$ vì $x+y\ge 0$ và ${(x-y)}^2\ge 0$)

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 2: Cho số thực x, y. Chứng minh rằng:

a) $x^4+3\ge 4x$;

b) $x\ge y\iff x^5\ge y^5$;

c) $xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$.

Lời giải:

a)

$\iff {(x-1)}^2\left[{(x+1)}^2+2\right]\ge 0(*)$

Có: ${(x-1)}^2\ge 0\forall x\in ℝ$

$$\begin{gathered} {(x+1)}^2\ge 0\iff {(x+1)}^2+2\ge 2 \\ \Rightarrow {(x+1)}^2+2>0\forall x\in ℝ \end{gathered}$$

$\Rightarrow$(*) luôn đúng với mọi số thực x.

$\Rightarrow x^4+3\ge 4x\forall x\in ℝ$ (điều cần phải chứng minh)

b)

$$\begin{gathered} x\ge y \\ \iff x^{2.2+1}\ge y^{2.2+1} \end{gathered}$$

$\iff x^5\ge y^5$ (điều cần phải chứng minh)

c)

$\iff {(x-y)}^2\ge 0$ (luôn đúng với mọi số thực x, y)

$\Rightarrow xy\le \frac{x^2+y^2}{2}$ với mọi số thực x, y (điều cần phải chứng minh).

Bài 3: So sánh các số sau bằng cách áp dụng tính chất của bất đẳng thức:

a) $\sqrt{27}$ và $\sqrt{34}$;

b) $\sqrt[3]{78}$ và $\sqrt[3]{3}$.

Lời giải:

a)

Có: 27 < 34

$\iff \sqrt{27}<\sqrt{34}$

b)

Có: 78 > 3

$\iff \sqrt[3]{78}>\sqrt[3]{3}$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Chứng minh rằng $3(a^2+b^2+c^2)\ge {(a+b+c)}^2$ với $a,b,c\in ℝ$

Bài 2: So sánh hai số bằng cách áp dụng tính chất của bất đẳng thức: $\sqrt{7}$ và $2\sqrt{2}$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất

Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình một ẩn chi tiết nhất

Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất