Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 (2024) đầy đủ, chi tiết

    Với Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

    1 1,647 12/03/2024
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10

    I. Lí thuyết tổng hợp.

    1. Khái niệm bất đẳng thức:

    Các mệnh đề dạng “a < b”, “a > b”, “a≤b” hoặc “a≥b” được gọi là bất đẳng thức.

    2. Bất đẳng thức hệ quả:

    Nếu mệnh đề “a<b⇒c<d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và viết là a<b⇒c<d.

    3. Bất đẳng thức tương đương:

    Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a<b⇔c<d.

    4. Tính chất của bất đẳng thức:

    + Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức): a<b⇔a+c<b+c

    + Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c dương: a<b⇔ac<bc

    + Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số (biểu thức), với c âm: a<b⇔ac>bc

    + Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều: a<bc<d⇒a+c<b+d

    + Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều: Với a > 0, c > 0 : a<bc<d⇒ac<bd

    + Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa:

    Với n∈ℕ*, a<b⇔a2n+1<b2n+1

    Với n∈ℕ* và a > 0, a<b⇔a2n<b2n

    + Khai căn hai vế của một bất đẳng thức:

    a < b⇔a <b(a > 0, b > 0)

    a<b⇔a3<b3

    - Chú ý:

    + Các mệnh đề “a < b” hoặc “a > b” gọi là các bất đẳng thức ngặt.

    + Các mệnh đề “a≤b” hoặc “a≥b” gọi là các bất đẳng thức không ngặt.

    + Các tính chất của bất đẳng thức đúng với cả bất đẳng thức ngặt và bất đẳng thức không ngặt.

    II. Các công thức.

    Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10 (ảnh 1)

    III. Ví dụ minh họa.

    Bài 1: Chứng minh rằng x3+y3≥x2y+xy2 với ∀x,y≥0.

    Lời giải:

    Với ∀x,y≥0⇒x+y≥0

    Ta có:

    Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10 (ảnh 1)

    (luôn đúng ∀x,y≥0 vì x+y≥0 và (x−y)2≥0)

    Suy ra điều phải chứng minh.

    Bài 2: Cho số thực x, y. Chứng minh rằng:

    a) x4+3≥4x;

    b) x≥y⇔x5≥y5;

    c) xy≤x2+y22.

    Lời giải:

    a)

    Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10 (ảnh 1)

    ⇔(x−1)2(x+1)2+2≥0(*)

    Có: (x−1)2≥0∀x∈ℝ

    (x+1)2≥0⇔(x+1)2+2≥2⇒(x+1)2+2>0∀x∈ℝ

    ⇒(*) luôn đúng với mọi số thực x.

    ⇒x4+3≥4x    ∀x∈ℝ (điều cần phải chứng minh)

    b)

    x≥y⇔x2.2+1≥y2.2+1

    ⇔x5≥y5 (điều cần phải chứng minh)

    c)

    Các tính chất của bất đẳng thức lớp 10 đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 10 (ảnh 1)

    ⇔(x−y)2≥0 (luôn đúng với mọi số thực x, y)

    ⇒xy≤x2+y22 với mọi số thực x, y (điều cần phải chứng minh).

    Bài 3: So sánh các số sau bằng cách áp dụng tính chất của bất đẳng thức:

    a) 27 và 34;

    b) 783 và 33.

    Lời giải:

    a)

    Có: 27 < 34

    ⇔27<34

    b)

    Có: 78 > 3

    ⇔783>33

    IV. Bài tập tự luyện.

    Bài 1: Chứng minh rằng 3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2 với a,b,c∈ℝ

    Bài 2: So sánh hai số bằng cách áp dụng tính chất của bất đẳng thức: 7 và 22.

    Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

    Bất đẳng thức Cô-si và hệ quả chi tiết nhất

    Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

    Dấu của nhị thức bậc nhất chi tiết nhất

    Công thức giải bất phương trình một ẩn chi tiết nhất

    Công thức giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối chi tiết nhất

    Tham khảo các loạt bài Toán 10 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,647 12/03/2024
    Tải về
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: