Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ (2024) chi tiết nhất

Trọn bộ công thức cơ bản về Vectơ dầy đủ - Toán lớp 10

A. Lí thuyết tóm tắt.

- Định nghĩa vectơ: Vectơ là đoạn thẳng có hướng, điểm đầu và điểm cuối được định rõ.

- Kí hiệu: vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ hoặc còn được kí hiệu là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z},\mathrm{...}$

- Vectơ - không là một vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối. Kí hiệu là $\overrightarrow{0}$.

- Các khái niệm liên quan đến vectơ:

+) Giá của vectơ: là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ

+) Độ dài vectơ: là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$.

+) Hai vectơ cùng phương: là hai vec tơ có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngước hướng.

+) Hai vectơ bằng nhau: là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài.

- Chú ý:

+ Vectơ - không cùng hướng với mọi vectơ.

+ Mọi vectơ $\overrightarrow{0}$ đều bằng nhau và có độ dài bằng 0.

B. Các công thức.

- Độ dài vectơ: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$; $\left|\overrightarrow{0}\right|=0$.

- Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương $\iff$ AB // CD hoặc A, B, C, D cùng nằm trên một đường thẳng.

- Hai vectơ bằng nhau: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\iff \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|$ và $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng.

C. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Biết AB = 2a, AD = a. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Tính độ dài $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ và $\left|\overrightarrow{DC}\right|$.

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AB // CD.

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$cùng hướng. (1)

Vì ABCD là hình bình hành nên ta lại có: AB = CD .

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$ (2)

Từ (1) và (2)$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|=AB=2a$

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Biết AB = 4a, AD = 2a. Kẻ OH vuông góc với AB tại H. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OH}$.

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2 \\ \Rightarrow A{C}^2={\left(4a\right)}^2+{\left(2a\right)}^2=20a^2 \\ \Rightarrow AC=\sqrt{20a^2}=2\sqrt{5}a \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{OA}\right|=OA=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{5}a}{2}=\sqrt{5}a \end{gathered}$$

Xét tam giác AOB cân tại O có OH là đường cao OH cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow AH=BH=\frac{AB}{2}=\frac{4a}{2}=2a$

Xét tam giác AOH vuông tại H.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$$\begin{gathered} O{A}^2=A{H}^2+O{H}^2 \\ \Rightarrow O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2 \\ \Rightarrow O{H}^2={\left(\sqrt{5}a\right)}^2-{\left(2a\right)}^2=a^2 \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{OH}\right|=OH=\sqrt{a^2}=a \end{gathered}$$

D. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đoạn thẳng MP có độ dài là a. N là trung điểm của MP. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$.

Bài 2: Cho hình thoi ABCD tâm O. Biết đường chéo AC = 2a, BD = a. Chứng minh $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ và tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}={60}^o$ và BC = 5a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức về tổng và hiệu hai vectơ chi tiết nhất

Quy tắc trung điểm, trọng tâm, quy tắc hình bình hành vecto lớp 10 chi tiết nhất

Công thức Phân tích vectơ lớp 10 chi tiết nhất

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất

Công thức góc giữa hai vectơ chi tiết nhất