Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập – Toán lớp 10

1. Lý thuyết

a. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad.

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

${180}^o=\pi rad$ suy ra $1^o=\frac{\pi }{180}rad$ và$1rad={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$

* Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo $\alpha rad$ thì độ dài $l=R\alpha$.

b. Góc và cung lượng giác:

* Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương (cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).

* Góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou, Ov lần lượt cắt đường tròn tại U và V. Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động theo một chiều (âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.

- Góc lượng giác: Tia Om quay xung quanh gốc O từ vị trí Ou đến vị trí Ov. Ta nói tia O đã tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là Ou, tia cuối là Ov. Kí hiệu (Ou, Ov)

- Cung lượng giác: Điểm M chuyển động theo một chiều từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác có điểm đầu U, điểm cuối V. Kí hiệu là $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$

- Số đo cung lượng giác:

+) Số đo của một cung lượng giác $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ ( $U\ne V$) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ là sđ $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$

+) Nếu một cung lượng giác có số đo ${\alpha }^o$ ( hay $\alpha rad$) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng ${\alpha }^o+k{360}^o$ (hay $\alpha +k2\pi$ ) với $k\in \mathbb{Z}$.
+) Số đo của góc lượng giác (OU, OV) là số đo của cung lượng giác $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ tương ứng

c. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm O bán kính R = 1 trong hệ tọa độ Oxy. Ta lấy điểm A(1; 0) là điểm gốc của đường tròn đó.

Để biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm gốc là điểm A(1;0) và điểm ngọn C sao cho sđ $\stackrel{\curvearrowright }{AC}=\alpha$.

2. Các dạng bài

Dạng 1.1: Cách đổi độ sang rađian và rađian sang độ

a. Phương pháp giải:

* Đổi độ sang rađian:

Áp dụng lý thuyết: $1^o=\frac{\pi }{180}rad$, ta suy ra: ${\alpha }^o=\alpha .\frac{\pi }{180}rad$.

* Đổi rađian sang độ:

Áp dụng lý thuyết: $1rad={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$, ta suy ra $\beta rad={\left(\beta .\frac{180}{\pi }\right)}^o$

Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo.

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đổi số đo của các góc sau sang rađian

a. ${180}^{\text{o}}$

b. ${22}^{o}30\text{'}$

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: ${\alpha }^o=\alpha .\frac{\pi }{180}rad$

a. ${180}^o=180.\frac{\pi }{180}rad=\pi$

b. ${22}^{o}30\text{'}=22,5^o=22,5.\frac{\pi }{180}rad=\frac{\pi }{8}$

Ví dụ 2: Đổi số đo của các góc sau sang độ:

a. $\frac{2\pi }{5}$

b. $\frac{\pi }{9}$

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức: $\beta rad={\left(\beta .\frac{180}{\pi }\right)}^o$

a. $\frac{2\pi }{5}rad={\left(\frac{2\pi }{5}.\frac{180}{\pi }\right)}^o={72}^o$

b. $\frac{\pi }{9}rad={\left(\frac{\pi }{9}.\frac{180}{\pi }\right)}^o={20}^o$

Dạng 1.2: Cách tính độ dài cung tròn

a. Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: $l=R\alpha$, trong đó: l là độ dài cung tròn, R là bán kính đường tròn,$\alpha$ là số đo bằng rad của cung.

Trường hợp $\alpha$ có số đo bằng độ, ta có công thức: $l=R.\frac{\pi .\alpha }{180}$

b. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Một đường tròn có bán kính $R=\frac{10}{\pi }\text{\hspace{0.17em}cm}$. Tìm độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi }{2}$ trên đường tròn.

Hướng dẫn:

Độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi }{2}$ là: $l=R\alpha =\frac{10}{\pi }.\frac{\pi }{2}=5cm$

Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính R = 10 cm. Tìm độ dài cung tròn có số đo bằng ${40}^{\text{o}}$ trên đường tròn.

Hướng dẫn:

Độ dài của cung tròn có số đo bằng ${40}^{\text{o}}$ là: $l=\frac{\pi .\alpha }{180}.R=\frac{\pi .40}{180}.10\approx 7\text{\hspace{0.17em}cm}$.

3. Bài tập tự luyện

a. Tự luận

Câu 1: Tìm số đo theo đơn vị rađian của góc $315°$.

Hướng dẫn:

Ta có $315°=\frac{315}{180}.\pi =\frac{7\pi }{4}$(rađian).

Câu 2: Cho $a=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Tìm k để $10\pi <a<11\pi$

Hướng dẫn:

Để $10\pi <a<11\pi$ thì $\frac{19\pi }{2}<k2\pi <\frac{21\pi }{2}\Rightarrow k=5$.

Câu 3: Góc có số đo $\frac{\pi }{24}$ đổi sang độ là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

$\alpha ={\left(\frac{\pi }{24}.\frac{180}{\pi }\right)}^o=7,5^{\text{o}}=7^{\text{o}}30\text{'}.$

Câu 4: Đổi góc ${63}^{0}48\text{'}$ bằng (với $\pi =3,1416$) sang rađian

Hướng dẫn:

Ta có ${63}^{0}48\text{'}=63,8^0=\frac{63,8\times 3,1416}{180}\approx 1,114rad$

Câu 5: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Đồng hồ chỉ 6 giờ đúng thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo $\pi$ nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là $\frac{30}{60.6}\pi =\frac{1}{12}\pi$, suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là: $l=R\alpha =10,57\times \frac{\pi }{12}\approx 2,77$cm

Câu 6: Trên đường tròn bán kính r = 15 cm, tìm độ dài của cung có số đo ${50}^0$.

Hướng dẫn:

$l=r.\frac{\pi .\alpha }{180}=15.\frac{\pi .50}{180}=\frac{25\pi }{6}\approx 13,09$cm.

Câu 7: Cung tròn bán kính bằng 8,43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Độ dài cung tròn là $l=R\alpha =8,43\times 3,85=32,4555$ cm.

Câu 8: Cho $a=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$. Tìm giá trị của k để $a\in \left(19;27\right)$.

Hướng dẫn:

$$\begin{gathered} 19<\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)<27 \\ \iff 19-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}<k2\pi <27-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}} \\ \iff 2,86<k<4,13 \\ \iff k\text{=}\left\{3;4\right\} \end{gathered}$$

Câu 9: Đổi góc có số đo $-\frac{3\pi }{16}$ sang số đo độ.

Hướng dẫn:

Vì $1\text{\hspace{0.17em}rad}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\text{o}}$ nên $\frac{-3\pi }{16}={\left(\frac{-3\pi }{16}.\frac{180}{\pi }\right)}^{\text{o}}$$={\left(\frac{-135}{4}\right)}^{\text{o}}=-33,{75}^{\text{o}}=-{\text{33}}^{\text{o}}\text{45}\text{'}.$

Câu 10: Cho đường tròn có bán kính 6 cm. Tìm số đo theo đơn vị của cung có độ dài là 3 cm.

Hướng dẫn:

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có với có số đo bằng rad nên ta có: $\alpha =\frac{l}{R}=\frac{3}{6}=0,5$(rad).

b. Trắc nghiệm:

Câu 1: Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc $\frac{7\pi }{4}$?

A. $-\frac{\pi }{4}$ .

B. $\frac{\pi }{4}$ .

C. $\frac{3\pi }{4}$ .

D. $-\frac{3\pi }{4}$ .

Câu 2: Cung $\alpha$ có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của $\alpha$ là:

A. $\frac{3\pi }{4}+k\pi .$

B. $-\frac{3\pi }{4}+k\pi .$

C. $\frac{3\pi }{4}+k2\pi .$

D. $-\frac{3\pi }{4}+k2\pi .$

Câu 3: Góc $\frac{\pi }{9}$ có số đo bằng độ là:

A. ${18}^{\text{o}}$ .

B. ${36}^{\text{o}}$ .

C. ${20}^{\text{o}}$ .

D. ${12}^{\text{o}}$ .

Câu 4: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:

A. ${60}^0$ .

B. ${30}^0$ .

C. ${40}^0$ .

D. ${50}^0$ .

Câu 5: Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo $\frac{\pi }{15}$.

A. 4,19 cm.

B. 4,17 cm.

C. 95,49 cm.

D. 95,50 cm.

Đáp án:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Giá trị lượng giác của cung và cách giải bài tập

Công thức lượng giác chi tiết và cách giải bài tập

Các định nghĩa về vectơ và cách giải bài tập

Tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải bài tập

Tích của vectơ với một số và cách giải bài tập