Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}$ ($\overrightarrow{n}\ne 0$) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Cho đường thẳng d đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b)$, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d được viết dưới dạng:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ (với $c=-a{x}_0-b{y}_0$).

II. Các công thức.

- Công thức viết phương trình tổng quát của đường thẳng d:

+ Tìm vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(a;b)$

+ Tìm một điểm thuộc vào d là: $M_0(x_0;y_0)$

+ Viết phương trình tổng quát của d như sau:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

$\iff ax+by+c=0$ ($c=-a{x}_0-b{y}_0$)

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;3)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;3)$, ta có phương trình tổng quát của d là:

$1(x-1)+3(y-3)=0$

$\iff x-1+3y-9=0$

$\iff x+3y-10=0$

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(-2;3)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-2;3)$ 

$\Rightarrow$Vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(3;2)$

Đường thẳng d đi qua điểm B(3; 5) , ta có phương trình tổng quát:

$3(x-3)+2(y-5)=0$

$\iff 3x-9+2y-10=0$

$\iff 3x+2y-19=0$

Bài 3: Cho đường thẳng d đi qua điểm C(1; 0) và song song với đường thẳng d’ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-5)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì d // d’ nên vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}$ có: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-5)$

Đường thẳng d đi qua C(1; 0) , ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$2(x-1)-5(y-0)=0$

$\iff 2x-5y-2=0$

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1)$. Viết phương trình tổng quát của d.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm N(3; -1) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-2;2)$. Viết phương trình tổng quát của d.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình tham số của đường thẳng hay, chi tiết nhất 

Công thức chuyển đổi giữa phương trình tổng quát với phương trình tham số của đường thẳng 

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng