Phương pháp vẽ đồ thị Parabol (2024) chi tiết nhất

Phương pháp vẽ đồ thị Parabol chi tiết nhất

I. Lý thuyết tổng hợp về Parabol

1. Parabol là gì?

Trong toán học, parabol là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó. Hoặc người ta có thể định nghĩa Parabol là quỹ tích các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng cho trước. Cho một điểm F cố định và một đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Thì đường Parabol là tập hợp tất cả các điểm M cách đều F và Δ. Trong đó:

• Điểm F được coi là tiêu điểm của Parabol
• Đường thẳng Δ được gọi là đường chuẩn của parabol.
• Khoảng cách từ F đến Δ được gọi là tham số tiêu của parabol.

2. Đặc điểm của Parabol

Một parabol chỉ có một trục đối xứng duy nhất, đi qua tiêu điểm và vuông góc với đường chuẩn của nó. Giao điểm của trục này và parabol được gọi là đỉnh. Một parabol quay xung quanh trục của nó trong không gian ba chiều sẽ tạo ra một hình paraboloid.

- Tập xác định của phương trình Parabol: $D=ℝ$

- Trục đối xứng của Parabol: là đường thẳng đi qua đỉnh của Parabol và song song với trục Oy có phương trình $x=\frac{-b}{2a}$

3. Đồ thị Parabol

Có hai dạng:

+) Dạng 1: a > 0 (bề lõm của đồ thị hướng lên trên)

Hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ đồng biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-b}{2a}\right)$.

+) Dạng 2: a < 0 (bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới)

Hàm số $y=a{x}^2+bx+c$ nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{-b}{2a};+\infty \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;\frac{-b}{2a}\right)$.

II. Phương trình đường Parabol

1. Phương trình tổng quát đường Parabol

Dạng tổng quát của phương trình Parabol có dạng: (ax+by)² +cx+dy+e=0

Tọa độ đỉnh Phương trình này được rút ra từ phương trình tổng quát của các đường Conic và tính chất của đường parabol. Trong thực thế, ta có thể thấy đường parabol là đồ thị của hàm số bậc 2 có dạng: y=ax² +bx+c ($a\ne 0$). Trong đó: tọa độ đỉnh: $I =(\frac{-b}{2a};\frac{-∆}{4a})$

2. Phương trình chính tắc đường Parabol

Phương trình chính tắc của Parabol được biểu diễn dưới dạng: y² =2px (p > 0)

III. Cách vẽ đồ thị Parabol

Cách vẽ đồ thị Parabol: $y=a{x}^2+bx+c$

Bước 1: Vẽ trục đối xứng có phương trình $x=\frac{-b}{2a}$.

Bước 2: Xác định tọa độ đỉnh : $I\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$.

Bước 3: Xác định thêm 1 số điểm (tối thiểu 1 điểm) như giao điểm với trục tung M (0; c) (nếu có), trục hoành (nếu có) hoặc các điểm tùy ý. Sau đó lấy điểm đối xứng với các điểm điểm đó qua trục đối xứng.

Bước 4: Vẽ đồ thị bằng cách nối các điểm lại theo dạng hình Parabol.

Lưu ý: a > 0 và a < 0 cho ra hai dạng đồ thị Parabol khác nhau.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Vẽ đồ thị Parabol: $y=x^2-4x+5$.

Lời giải:

- Tập xác định: $D=ℝ$

- Ta có trục đối xứng của đồ thị: $x=\frac{-(-4)}{2.1}=2$

- Xét $\Delta ={(-4)}^2-\mathrm{4.1.5}=-4$ Tọa độ đỉnh I của Parabol:

$$\begin{gathered} x_I=\frac{-(-4)}{2.1}=2 \\ {y}_I=\frac{-(-4)}{4.1}=1 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ I (2; 1)

- Giao điểm của Parabol với trục tung: A (0; 5). Lấy thêm điểm A’(4; 5) đối xứng với A qua trục đối xứng.

- Có a = 1 > 0 , trục đối xứng x = 2 và các điểm I (2; 1), A (0; 5), A’(4; 5) ta vẽ được đồ thị:

Bài 2: Vẽ đồ thị Parabol:$y=-x^2-3x+4$

Lời giải:

- Tập xác định: $D=ℝ$

- Ta có trục đối xứng của đồ thị:$x=\frac{-(-3)}{2.(-1)}=\frac{-3}{2}$

- Xét $\Delta ={(-3)}^2-4.(-1).4=25\Rightarrow$ Tọa độ đỉnh I của Parabol:

$$\begin{gathered} x_I=\frac{-(-3)}{2.(-1)}=\frac{-3}{2} \\ {y}_I=\frac{-25}{4.(-1)}=\frac{25}{4} \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ I$\left(\frac{-3}{2};\frac{25}{4}\right)$

- Giao điểm của Parabol với trục tung: B (0; 4). Lấy thêm điểm B’(-3; 4) đối xứng với B qua trục đối xứng.

- Có a = -1 < 0 , trục đối xứng $x=\frac{-3}{2}$ và các điểm I$\left(\frac{-3}{2};\frac{25}{4}\right)$ , B (0; 4), B’(-3; 4) ta vẽ được đồ thị:

Bài 3: Vẽ đồ thị Parabol:$y=x^2-4x+4$ . Xét tính đồng biến, nghịch biến của nó trên tập xác định.

Lời giải:

- Tập xác định: $D=ℝ$

- Ta có trục đối xứng của đồ thị: $x=\frac{-(-4)}{2.1}=2$

- Xét $\Delta ={(-4)}^2-\mathrm{4.1.4}=0\Rightarrow$ Tọa độ đỉnh I của Parabol:

$$\begin{gathered} x_I=\frac{-(-4)}{2.1}=2 \\ {y}_I=\frac{0}{4.1}=0 \end{gathered}$$

$\Rightarrow$ I (2; 0)

- Giao điểm của Parabol với trục tung: C(0; 4). Lấy thêm điểm C’(4; 4) đối xứng với C qua trục đối xứng.

- Có a = 1 > 0 , trục đối xứng x = 2 và các điểm I (2; 0) , C (0; 4), C’(4; 4) ta vẽ được đồ thị:

- Dựa vào đồ thị ta có thể thấy, hàm số $y=x^2-4x+4$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$ và nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$.

Bài 4: Vẽ đồ thị Parabol: $y=2x^2-7x+10$. Và xét tính đồng biến, nghịch biến của nó trên tập xác định.

Bài 5: Vẽ đồ thị Parabol: $y=-3x^2-5x+3$. Và xét tính đồng biến, nghịch biến của nó trên tập xác định.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|

Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất