Phương pháp giải tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ (2024) hay nhất

Phương pháp giải tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ hay nhất

I. Lí thuyết tổng hợp

- Khái niệm đường parabol: Một đường parabol là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn).

- Phương trình Parabol có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$

- Gọi I là đỉnh của Parabol ta có $x_I=\frac{-b}{2a}$; $y_I=\frac{-\Delta }{4a}$ ( trong đó $\Delta =b^2-4ac$)

- Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) là:

f(x) = g(x).

- Gốc tọa độ có tọa độ là O(0; 0)

- Trục tung có phương trình: x = 0.

- Trục hoành có phương trình: y = 0

II. Các công thức

Cho parabol (P): $y=a{x}^2+bx+c$, ta có:

- Tọa độ đỉnh I của Parabol là I$\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$ (trong đó $\Delta =b^2-4ac$)

- Tọa độ giao điểm A của Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ với trục tung x = 0:

Thay x = 0 vào phương trình Parabol có:$y=c\Rightarrow$ A (0; c)

- Tọa độ giao điểm B của Parabol $y=a{x}^2+bx+c$ với trục hoành y = 0:

Hoành độ của B là nghiệm của phương trình $y=a{x}^2+bx+c$ (1)

Nếu phương trình (1) vô nghiệm $\Rightarrow$ không tồn tại điểm B

Nếu phương trình (1) có nghiệm kép $\Rightarrow$ Parabol tiếp xúc với trục hoành tại B$\left(\frac{-b}{2a};0\right)$

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Parabol cắt trục hoành tại hai điểm $B_1\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};0\right)$ và $B_2\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};0\right)$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho parabol có phương trình $y=x^2-3x+2$. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Lời giải:

Gọi I là đỉnh của Parabol $y=x^2-3x+2$. Ta có:

$$\begin{gathered} x_I=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-3)}{2.1}=\frac{3}{2} \\ \Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.1.2}=1 \\ {y}_I=\frac{-\Delta }{4a}=\frac{-1}{4.1}=\frac{-1}{4} \\ \Rightarrow I\left(\frac{3}{2};\frac{-1}{4}\right) \end{gathered}$$

Vậy đỉnh của parabol là $I\left(\frac{3}{2};\frac{-1}{4}\right)$.

Bài 2: Cho Parabol có phương trình $y=-2x^2+4x-3$. Tìm giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Lời giải:

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục tung.

Vì M cũng thuộc trung tung nên ta có $M(0;y_M)$

Thay x = 0 vào $y=-2x^2+4x-3$ ta có: y = -2.0 + 4.0 – 3 = -3

$\Rightarrow$ M (0; -3)

Gọi N là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Vì N cũng thuộc trục hoành nên ta có: $N(x_N;0)$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

$-2x^2+4x-3=0$(1)

$\Delta =4^2-4.(-2).(-3)=-8<0$

$\Rightarrow$Phương trình (1) vô nghiệm. $\Rightarrow$ Parabol và trục hoành không có giao điểm.

Bài 3: Tìm giao điểm của các Parabol sau với trục hoành.

a) $y=2x^2+3x-5$

b) $y=x^2-2x+1$

Lời giải:

a) $y=2x^2+3x-5$

Gọi M là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

$y=2x^2+3x-5$ (1)

$\Delta ={(-3)}^2-\mathrm{4.2.}(-5)=49$> 0

$\Rightarrow$Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

$$\begin{gathered} x_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2.2}=1; \\ {x}_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2.2}=\frac{-5}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow M_1\left(1;0\right)$ và $M_2\left(\frac{-5}{2};0\right)$

Vậy Parabol giao với trục hoành tại hai điểm $M_1\left(1;0\right)$ và $M_2\left(\frac{-5}{2};0\right)$.

b) $y=x^2-2x+1$

Gọi B là giao điểm của Parabol với trục hoành.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của Parabol với trục hoành:

$x^2-2x+1=0$(1)

$\Delta ={(-2)}^2-\mathrm{4.1.1}=0$

$\Rightarrow$Phương trình (1) có nghiệm kép $x=\frac{-(-2)}{2.1}=1$

$\Rightarrow$B(1; 0)

Vậy Parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(1; 0).

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho parabol có phương trình $y=2x^2-5x+6$. Xác định tọa độ đỉnh của Parabol.

Bài 2: Cho parabol có phương trình $y=x^2-3x+4$. Xác định tọa độ giao điểm của Parabol với trục tung và trục hoành.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Cách xét tính chẵn, lẻ của hàm số chi tiết

Tất tần tật công thức về Hàm số y = |x|

Cách vẽ đồ thị Parabol chi tiết

Công thức giải phương trình bậc nhất chi tiết nhất