Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết và bài tập phép nhân và phép chia đa thức một biến

    Vietjack.me giới thiệu bài viết phép nhân và phép chia đa thức một biến bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 492 30/12/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Lý thuyết và bài tập phép nhân và phép chia đa thức một biến

    1. Phép nhân đa thức một biến

    Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

    Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân:

    a) 3x. (2x2 – 4x + 5);

    b) (2x + 3). (x + 1).

    Hướng dẫn giải:

    a) Ta có: 3x. (2x2 – 4x + 5) = 3x. 2x2 + 3x. (–4x) + 3x. 5

    = 6x3 – 12x + 15x;

    b) Ta có: (2x + 3). (x + 1) = 2x. (x + 1) + 3. (x + 1)

    = 2x. x + 2x. 1 + 3. x + 3. 1

    = 2x2 + 2x + 3x + 3

    = 2x2 + (2x + 3x) + 3

    = 2x2 + 5x + 3.

    2. Phép chia đa thức một biến

    Trường hợp 1: Chia đa thức cho đa thức (chia hết)

    Cho hai đa thức P và Q (với Q ≠ 0). Ta nói đa thức P chia hết cho đa thức Q nếu có đa thức M sao cho P = Q. M.

    Ta gọi P là đa thức bị chia, Q là đa thức chia và M là đa thức thương (gọi tắt là thương).

    Kí hiệu M = P : Q hoặc M = PQ.

    Ví dụ: Thực hiện phép chia 6x6− 8x5 + 10x4 cho 2x3.

    Hướng dẫn giải:

    Ta có: (6x6 − 8x5 + 10x4): 2x3

    = (6x6 : 2x3) – (8x5: 2x3) + (10x4 : 2x3)

    = 3x3 − 4x2 + 5x.

    Chú ý: Để thực hiện phép chia đa thức, người ta thường viết các đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần rồi thực hiện phép chia.

    Trường hợp 2: Chia đa thức cho đa thức (phép chia có dư)

    Khi chia đa thức A cho đa thức B với thương là Q, dư là R thì A = B. Q + R, trong đó bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

    Ví dụ: Thực hiện phép chia: P(x) = 3x2 − 5x + 2 cho Q(x) = x – 2.

    Hướng dẫn giải: Thực hiện phép chia, ta được:

    Phép nhân và phép chia đa thức một biến lớp 7 (Lý thuyết Toán 7 Chân trời sáng tạo) (ảnh 1)

    Do đó phép chia đa thức P(x) cho Q(x) là phép chia có dư với số dư là 4.

    Vậy 3x2 − 5x + 2= (x – 2). (3x + 1) + 4.

    3. Tính chất của phép nhân đa thức một biến

    Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

    -Tính chất giao hoán: A. B = B. A;

    -Tính chất kết hợp: A. (B. C) = (A. B). C.

    Ví dụ: Thực hiện phép tính: 6. (x2 – 2).12;

    Hướng dẫn giải:

    Ta có: 6. (x2 – 2).12= 6. (x2−2).12=6.12.(x2−2)

    = 3. (x2 – 2) = 3x2 – 6.

    4. Bài tập Phép nhân và phép chia đa thức một biến

    Bài 1. Thực hiện phép nhân

    a) (4x – 3)(x + 2);

    b) (5x + 2)(–x2 + 3x +1);

    c) (2x2 – 7x + 4)(–3x2 + 6x + 5).

    Hướng dẫn giải:

    a) (4x – 3)(x + 2) = 4x(x + 2) – 3(x + 2)

    = 4x2 + 8x – 3x – 6 = 4x2 + 5x – 6;

    b) (5x + 2)(–x2 + 3x +1)

    = 5x(–x2 + 3x +1) + 2(–x2 + 3x +1)

    = –5x3 + 15x2 + 5x – 2x2 + 6x + 2

    = –5x3 + (15x2– 2x2) + (5x + 6x) + 2

    = –5x3 + 13x2 + 11x + 2.

    c) (2x2 – 7x + 4)(–3x2 + 6x + 5)

    = 2x2(–3x2 + 6x + 5) – 7x(–3x2 + 6x + 5) + 4(–3x2 + 6x + 5)

    = –6x4 + 12x3 + 10x2 + 21x3 – 42x2 – 35x – 12x2 + 24x + 20

    = –6x4 + (12x3 + 21x3) + (10x2 – 42x2 – 12x2) + (– 35x + 24x) + 20

    = –6x4 + 33x3 – 44x2 – 11x + 20.

    Bài 2: Thực hiện phép chia:

    a) (8x6 − 4x5 + 12x4 – 20x3): 4x3;

    b) (2x2 − 5x + 3): (2x – 3).

    Hướng dẫn giải:

    a) (8x6 − 4x5 + 12x4 – 20x3) : 4x3

    = (8x6 : 4x3) – (4x5 : 2x3) + (12x4 : 4x3) – (20x3 : 4x3)

    = 2x3 − 2x2 + 3x – 5;

    b) Ta có:

    Phép nhân và phép chia đa thức một biến lớp 7 (Lý thuyết Toán 7 Chân trời sáng tạo) (ảnh 2)

    Vậy (2x2− 5x + 3) = (2x – 3)x−12 + 2.

    Bài 3. Rút gọn biểu thức bằng cách nhanh nhất:

    a) 5. (x2 + 3).25;

    b) (x – 2).(2x3 – x2 + 1) + (x – 2)x2(1 – 2x).

    Hướng dẫn giải:

    a) 5. (x2+ 3). 25= 5.25. (x2+ 3)

    =2. (x2+ 3) = 2x2 + 6

    b) (x – 2)(2x3 – x2 + 1) + (x – 2)x2(1 – 2x)

    = (x – 2)(2x3 – x2 + 1) + (x – 2)(x2.1 – x2.2x)

    = (x – 2)(2x3 – x2 + 1) + (x – 2)(x2 – 2x3)

    = (x – 2)(2x3 – x2 + 1 + x2 – 2x3)

    = (x – 2).1

    = (x – 2).

    Bài 4: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không?

    a) A = 15x4 – 8x3 + x2; B = 12x2;

    b) A = x2 – 2x + 1; B = x + 1.

    Hướng dẫn giải:

    a)Ta có: Vì 15x4; 8x3; x2 đều chứa phần từ x2 nên đều chia hết cho 12x2

    Do đó đa thức A chia hết cho B.

    b) Ta có:

    A = x2 + 2x + 1

    = x(x + 1) + (x + 1)

    = (x + 1)(x + 1)

    = (x + 1)2

    Vì (x + 1)2 chứa phần tử (x + 1) nên chia hết cho (x + 1)

    Do đó đa thức A chia hết cho B.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 492 30/12/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: