Toạ độ của vectơ trong không gian

Toạ độ của vectơ trong không gian

1. Hệ tọa độ trong không gian

● Hệ tọa độ Oxyz

Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong không gian hay gọi đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

Nhận xét:

a) Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đội một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

b) Vì $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0$.

Ví dụ 1. Cho hình lập phương OABC.O'A'B'C' có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O và các điểm A, C, O' lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Hướng dẫn giải

Ba vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$.

2. Tọa độ của điểm và vectơ

• Tọa độ của điểm

Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ thì ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết $M=\left(x;y;z\right)$ hoặc M(x; y; z); x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+7\overrightarrow{k}$. Tìm tọa độ điểm A.

Hướng dẫn giải

Tọa độ điểm A(2; −3; 7).

• Tọa độ của vectơ

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}$. Nếu $\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}$ thì ta gọi bộ ba số (a₁; a₂; a₃) là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz và viết $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$ hoặc $\overrightarrow{a}\left(a_1;a_2;a_3\right)$.

Nhận xét: Trong không gian Oxyz, ta có:

+) Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$, tức là M = (x; y; z) $\overrightarrow{OM}=\left(x;y;z\right).$

+) Điều kiện để hai vectơ bằng nhau:

Cho $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}x=x^{\text{'}}\\ y=y^{\text{'}}\\ z=z^{\text{'}}\end{array}\right.$

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}$. Xác định tọa độ các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{a}=\left(2;-3;1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;0;-1\right)$.

3. Bài tập Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{OM}=\left(2;-3;-1\right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$.

B. M(−2; 3; 1).

C. M(−1; −3; 2).

D. $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{OM}=\left(2;-3;-1\right)$ nên $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M thỏa mãn hệ thức $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$. Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 2; 1).

B. M(2; 0; 1).

C. M(2; 1; 0).

D. M(0; 1; 2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ $\iff$ M(2; 1; 0).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A' trùng với gốc O và các đỉnh D', B', A lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz và A'D' = 2; A'B' = 3 và A'A = 5. Tìm tọa độ của các đỉnh D', B', A' và C đối với hệ tọa độ đó.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{O{D}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$. Suy ra D'(2; 0; 0).

$\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}=0\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}$. Suy ra B'(0; 3; 0).

$\overrightarrow{OA}=0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$. Suy ra A(0; 0; 5).

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{D}^{\text{'}}}+\overrightarrow{O{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}$.

Suy ra C(2; 3; 5).

Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật OABC.O'A'B'C', với O là gốc tọa độ, A(2; 0; 0), C(0; 6; 0), O'(0; 0; 4). Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Xác định tọa độ các vectơ $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}$

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i};\overrightarrow{OC}=6\overrightarrow{j};\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=4\overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

$\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{k}$. Suy ra $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=\left(2;0;4\right)$ .

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}$. Suy ra $\overrightarrow{OB}=\left(2;6;0\right)$.

$\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$. Suy ra $\overrightarrow{O{C}^{\text{'}}}=\left(0;6;4\right)$.

Bài 5. Hình a mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình b (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Hãy xác định tọa độ của điểm A, B.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm A là (x_A; y_A; z_A). Vì chiều rộng của sân là 6,1 m nên x_A = 6,1.

Do nửa chiều dài của sân là 6,7 m nên y_A = 6,7.

Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy) nên z_A = 0.

Vậy A(6,1; 6,7; 0).

Độ dài đoạn thẳng AB là 1,55 m nên điểm B có tọa độ là (6,1; 6,7; 1,55).