Cách rút gọn biểu thức và bài tập vận dụng

Cách rút gọn biểu thức và bài tập vận dụng

1. Phương pháp giải

Để rút gọn các biểu thức, ta thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ( nếu có). Sau đó, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.

Cụ thể, để rút gọn biểu thức, có một số quy trình và phương pháp cơ bản sau đây:

1. Xem xét các hằng đẳng thức: Chúng ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Ví dụ: a² - b² = (a + b)(a - b), (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², v.v...

2. Nhân khối: Nếu có một biểu thức có dạng (a+b)³ hoặc (a-b)³, chúng ta có thể sử dụng công thức nhân khối để rút gọn biểu thức đó.

3. Kết hợp các thuật toán: Chúng ta có thể sử dụng các thuật toán rút gọn biểu thức như nhân đôi, phân tích đa thức, chia đôi, phân tích nhân tử chung, v.v...

4. Loại bỏ các yếu tố chung: Nếu có các yếu tố chung trong các hạng tử của biểu thức, chúng ta có thể loại bỏ chúng để rút gọn biểu thức.

5. Thay thế giá trị của các biến: Nếu biểu thức có chứa các biến như a, b, c, v.v..., có thể thay thế giá trị của chúng để rút gọn biểu thức.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau:

A. 4x² – 7x

B. 3x² + 7x

C. 2x² + 23x

D. 20x² + 7x

Lời giải

Ta có:

A = 3x(4x - 5) - 2x(4x - 4)

= 3x.4x - 3x.5 - 2x.4x - 2x(-4)

= 12x² - 15x - 8x² + 8x

= (12x² - 8x²) + (8x - 15x)

= 4x² - 7x

Chọn A.

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức sau: B = x(x² - xy) - x²(x - y)

A.2x²y

B.2xy²

C. 0

D. 2x³

Lời giải

B = x(x² - xy) - x²(x - y)

B = x³ - x²y - (x³ - x²y)

B = x³ - x²y - x³ + x²y

B = (x³ - x³) + (x²y - x²y)

B = 0 + 0

B = 0

Chọn C

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức C = 6x(x + 3x -1) - 6x² - 8xy

A.10xy + 6x

B. 10xy – 6x

C. 12x² + 10xy

D. 12x² – 10xy

Lời giải

C = 6x(x + 3y -1) - 6x² - 8xy

C = 6x² + 18xy - 6x - 6x² - 8xy

C = (6x² - 6x²) + (18xy - 8xy) - 6x

C = 10xy - 6x

Chọn B.

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Rút gọn biểu thức: A = 2x² (- 3x³ + 2x² + x- 1) + 2x(x² – 3x + 1)

A. A = -6x⁵ + 4x² - 4x³ - 2x

B. A = - 6x⁵ + 2x² + 4x³ + 2x

C. A = - 6x⁵ - 4x² + 4x³ + 2x

D. A = - 6x⁵ - 2x² + 4x³ - 2x

Lời giải:

Ta có: A = 2x² (- 3x³ + 2x² + x- 1) + 2x(x² – 3x + 1)

A = 2x² . (-3x³) + 2x² . 2x² + 2x². x+ 2x². (-1) + 2x.x² + 2x.(-3x) + 2x.1

A = - 6x⁵ + 4x² + 2x³ - 2x² + 2x³ – 6x² + 2x

A = - 6x⁵ - 4x² + 4x³ + 2x

Chọn C.

Câu 2: Thực hiện phép tính (5x – 1). (x+ 3) – (x- 2)(5x – 4) ta có kết quả là ?

A. 28x - 3

B. 28x + 5

C. 28x - 11

D. 28x - 8

Lời giải:

Ta có: (5x - 1)(x + 3) - (x - 2)(5x - 4) = 5x(x + 3) - (x + 3) - x(5x - 4) + 2(5x - 4)

= 5x² + 15x - x - 3 - 5x² + 4x + 10x - 8

= 28x - 11

Chọn C.

Câu 3. Rút gọn biểu thức A= (x- 2y). (x² – 1) – x(x² - 2xy + 1)

A. 2x – 2y

B. – 2x + 2y

C. 2x + 2y

D. -2x – 2y

Lời giải:

A = (x - 2y).(x² - 1) - x(x² - 2xy + 1)

A = x(x² - 1) - 2y(x² - 1) - x³ + 2x²y - x

A = x³ - x - 2x²y + 2y - x³ + 2x²y - x

A = (x³ - x³) + (2x²y - 2x²y) + (-x - x) + 2y

A = 0 + 0 - 2x + 2y

A = -2x + 2y

Chọn B.

Câu 4: Rút gọn của biểu thức A = (2x -3). ( 4+6x) – (6 – 3x). ( 4x – 2) là ?

A.0

B. x² + 20x

C. 12x² – 20x

D. Kết quả khác

Lời giải:

Ta có: A = (2x - 3)(4 + 6x) - (6 - 3x)(4x - 2)

= (8x + 12x² - 12 - 18x) - (24x - 12 - 12x² + 6x)

= 12x² - 10x - 12 - 30x + 12x² + 12

= 24x² - 40x

Chọn D.

Câu 5. Rút gọn biểu thức A = (x - 2y).(x² + xy) - (xy - y²).(x + y)

A. x³ + y³ - 2x²y - 2xy²

B. x³ + y³ - 2xy +2xy²

C. x³ + y³ - 2x²y + 2xy

D. x³ + y³ + 2xy

Lời giải:

Ta có:

A = (x - 2y).(x² + xy) - (xy - y²).(x + y)

A = x(x² + xy) - 2y(x² + xy) - xy(x + y) + y²(x + y)

A = x³ + x²y - 2x²y - 2xy² - x²y - xy² + y³

A = (x³ + y³) + (x²y - 2x²y - x²y) + (-2xy² - xy² + xy²)

A = x³ + y³ - 2x²y - 2xy²

Chọn A.

Câu 6. Rút gọn biểu thức B = (x - y + 1).(x + xy) - (y - xy).(x - 1)

A. x²y + x² - xy² + x + y

B. 2x²y + x² - xy² -x + y

C. -2xy + x² - xy² + x - y

D. 2x²y - 2xy + x² - xy² + x + y

Lời giải:

Ta có:

B = (x - y + 1).(x + xy) - (y - xy).(x - 1)

B = x(x + xy) - y(x + xy) + 1.(x + xy) - y(x - 1) + xy(x - 1)

B = x² + x²y - xy - xy² + x + xy - xy + y + x²y - xy

B = (x²y + x²y) + (-xy + xy - xy - xy) + x² - xy² + x + y

B = 2x²y - 2xy + x² - xy² + x + y

Chọn D.

Câu 7. Cho A = 2x²(x³ + x² - 2x² + 1); B = -3x³.(-2x² + 3x + 2) . Tính A + B?

A. 8x⁵ + 7x⁴ -10x³ + x²

B. 8x⁵ – 7x⁴ -10x³ + 2x²

C. 8x⁵ + 6x⁴ + 10x³ + 2x²

D. 8x⁵ – 7x⁴ + 8x³ - x²

Lời giải:

Ta có:

A = 2x².x³ + 2x² .x² + 2x² . (-2x) + 2x² .1

A = 2x⁵ + 2x⁴ - 4x³ + 2x²

Và

B = -3x³. (-2x² + 3x + 2)

B = - 3x³. (-2x²) - 3x³. 3x - 3x³ .2

B = 6x⁵ – 9x⁴ – 6x³

Suy ra: A + B = 2x⁵ + 2x⁴ – 4x³ + 2x² + 6x⁵ – 9x⁴ – 6x³

A + B = 8x⁵ – 7x⁴ -10x³ + 2x²

Chọn B.

Câu 8. Rút gọn biểu thức: A = (x + y).(x² + xy) - xy(x² + y² + y)

A. x³ + x²y - 2x³y - xy³

B. x³ - x²y - x³y - xy³

C. x³ + 2x²y - x³y - xy³

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

A = (x + y).(x² + xy) - xy(x² + y² + y)

A = x(x² + xy) + y(x² + xy) - xy.x² - xy.y² - xy.y

A = x³ + x²y + x²y + xy² - x³y - xy³ - xy²

A = x³ + 2x²y - x³y - xy³

Chọn c.

Câu 9. Rút gọn biểu thức A = (2x² + 2x). ( - 2x² + 2x ) ta được:

A. 4x⁴ + 8x³ + 4x²

B. – 4x⁴ + 8x³

C. – 4x⁴ + 4x²

D. 4x⁴ - 4x²

Lời giải:

Ta có:

A = (2x² + 2x). ( - 2x² + 2x )

A = 2x². (- 2x² + 2x) + 2x . (- 2x² + 2x)

A = 2x². (-2x² ) + 2x² .2x + 2x. (- 2x²) + 2x .2x

A = - 4x⁴ + 4x³ - 4x³ + 4x²

A = - 4x⁴ + 4x²

Chọn c.

Câu 10. Rút gọn biểu thức sau: C = (x - y).(x + 2y) - x(x + 4y) + 4y(x - y)

A. x² + 6xy

B. xy – 2y²

C. xy – 6y²

D. x² – 6y²

Lời giải:

Ta có:

C = (x - y).(x + 2y) - x(x + 4y) + 4y(x - y)

C = x(x + 2y) - y(x + 2y) - x² - 4xy + 4xy - 4y²

C = x² + 2xy - xy - 2y² - x² - 4y²

C = (x² - x²) + (2xy - xy) - (2y² + 4y²)

C = xy - 6y²

Chọn c.

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: P = (2x – x²y)(2y – 5) + y(xy² – 2y) tại x = 1, y = 2.

Bài 2. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: P = (x³ + y – 3)(2y + 3x) + (3x – 1)(x + y) tại x = 1, y = 3.

Bài 3. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: P = (x² + y)(x – 3y) – (2x + y²)(2x – y²) tại x = 2, y = 3.

Bài 4. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: P = (xy + y²)(y – 2x) – x(x² + 2y) + xy² tại x = 3, y = 1.

Bài 5. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức: P = (2x + y)(2x + y) – 3(x – y)(xy + y²) + xy(2x – y²) tại x = 4, y = 2.