Hình chiếu là gì? Cách tìm hình chiếu của một điểm trên 1 đường thẳng, mặt phẳng

Hình chiếu là gì? Cách tìm hình chiếu của một điểm trên 1 đường thẳng, mặt phẳng

I. Lý thuyết hình chiếu

1. Hình chiếu là gì?

Hình chiếu là hình biểu diễn ba chiều của đối tượng lên mặt phẳng hai chiều. Yếu tố cơ bản giúp tạo nên chiếu chính là đối tượng cần chiếu, mặt phẳng chiếu và phép chiếu.

Hình chiếu của một đoạn thẳng nằm trên đường chiếu chính là khoảng cách giữa hai đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho trước. Hình chiếu của một điểm tức là giao điểm của đường thẳng đã cho trước, và đường thẳng kẻ từ điểm vuông góc.

2. Tính chất của hình chiếu

- Vị trí: Hình chiếu của một điểm nằm trên đường thẳng cho trước. Nếu điểm nằm trên đường thẳng, thì hình chiếu sẽ trùng với chính điểm đó.

- Đồng thời: Hình chiếu của hai điểm gần nhau trên đường thẳng sẽ gần nhau và nằm trên cùng một phía so với đường thẳng.

- Nằm trong: Hình chiếu của một điểm nằm trên đoạn thẳng có thể nằm trong hoặc nằm trên phần mở rộng của đoạn thẳng tùy thuộc vào vị trí của điểm.

- Khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm cũng tương đương với khoảng cách giữa các hình chiếu của chúng trên đường thẳng.

- Vuông góc: Hình chiếu của một điểm nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.

3. Phân loại hình chiếu

Hình chiếu gồm 2 loại hình chiếu đó là chiếu thẳng góc và hình chiếu trục đo:

- Hình chiếu thẳng góc

Hình chiếu thẳng góc là loại hình chiếu biểu diễn theo cách đơn giản, hình dạng, kích thước của vật thể đã được bảo toàn và cho phép thể hiện hình dạng, kích thước vật thể một cách chính xác.

Với mỗi hình chiếu thẳng góc sẽ chỉ thể hiện được hai chiều. Nên chúng ta cần phải dùng đến nhiều hình chiếu để biểu diễn nhất là đối với những vật thể phức tạp. Có ba hình chiếu phổ biến đó là: hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.

- Hình chiếu trục đo

Hình chiếu trục đo có thể biểu diễn được hết ba chiều của vật thể lên mặt phẳng chiếu. Và các tia chiếu song song với nhau. Sẽ tùy thuộc và phương chiếu là vuông góc hay góc xiên. Theo sự tương quan của ba chiều, sẽ được phân ra gồm có hai loại hình chiếu là hình chiếu trụ đo vuông goc và hình chiếu trục đo xiên góc và hình chiếu phối cảnh, cụ thể các loại hình chiếu này là:

• Hình chiếu trục đo vuông góc: có đều ba hệ số biến dạng với ba trục bằng nhau; sẽ cân hai trong ba hệ số biến dạng có từng đôi một bằng nhau; sẽ lệch ba hệ số biến dạng, với ba chục không bằng nhau

• Hình chiếu trục đo xiên góc: đo xiên góc đều; đo xiên góc cân; đo xiên góc lệch

• Hình chiếu phối cảnh được sử dụng phép chiếu xuyên tâm, các toa chiếu hội tụ về một điểm gọi là điểm tụ. Dựa vào số lượng điểm tụ mà chia ra hình chiếu phối cảnh 1 điểm tụ, 2 điểm tụ và 3 điểm tụ. Ngoài ra còn có hình chiếu phối cảnh Curvilinnear perpective dùng khung cơ sở là mạng đường cong cho phép thể hiện cả hưởng nhìn từ trên xuống ( bỉd's eye view ) và hướng nhìn từ dưới lên ( worm 's eye view ). HÌnh chiếu phối cảnh rút gọn khoảng cách foresshoting khiến cho khoảng cách trông có vẻ gần hơn về hướng người xem.

II. Các loại phép chiếu

Có ba loại phép chiếu bao gồm: phép chiếu xuyên tam, phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc .

- Phép chiếu xuyên tâm: là phép chiếu mà các tia chiếu đồng quy về một điểm. Điểm đó gọi là tâm chiếu S . Phép chiếu xuyên tâm được ứng dụng trong vẽ tranh, vẽ phong cảnh, vẽ kiến trúc.

- Phép chiếu song song: là phép chiếu mà các tia chiếu song song với nhau và song song với phương chiếu L. Phép chiếu song song được dùng làm cơ sở cho phương pháp biểu diễn hình thể bằng hình chiếu trục đo.

- Phép chiếu vuông góc: là phép chiếu mà các tia chiếu song song với nhau và song song với phương chiếu L mà L vuông góc với mặt phẳng chiếu vuông góc là phương pháp chính trong các bản vẽ kĩ thuật.

III. Cách tìm hình chiếu trên một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng

* Phương pháp giải

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên đường thẳng d

- Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa điểm A và vuông góc với d

- Tìm H là giao điểm của d và ( P ) ⇒ H là giao điểm của A trên d

Cách xác định hình chiếu của 1 điểm A lên mặt phẳng ( P )

- Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( P )

- Tìm H là giao điểm của d và ( P ) ⇒ H là giao điểm của A trên ( P )

* Ví dụ minh họa

Cho M (1; -1; 2) và mặt phẳng ( P ): 2x - y + 2z +2 = 0. Tìm tạo độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng ( P )

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( P ) nhận vecto pháp tuyến của ( P ) làm vecto chỉ phương

Phương trình của d là:

x = 1 + 2t

y = -1- t

z = 2 + 2t

Tìm H là giao điểm của d và ( P )

Tọa độ điểm H ( 1 + 2t; -1 - t ; 2 + 2t ) thỏa mãn:

2 x ( 1 + 2t ) - ( - 1 - t ) + 2 x ( 2 + 2t ) + 2 = 0

⇔ 9t + 9 = 0

⇔ t = -1

Vậy H ( -1; 0; 0 )

IV. Quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên, và đường xiên với hình chiếu

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, sau đó kẻ một đường thẳng vuông góc tại điểm H và trên d lấy điểm B không trùng với điểm H đó.

Ta có:

- Đoạn thẳng AH: được gọi là đoạn thẳng vuông góc hay còn là đường vuông góc bắt đầu kẻ từ điểm A đến đường thẳng d

- Điểm H: là đường xiên góc bắt đầu kẻ từ A đến đường thẳng d

- Đoạn thẳng AB : là đường xiên góc bắt đầu ket từ điểm A đến đường thẳng d

- Đoạn thảng HB : là hình chiếu của đường xiên góc AB ở trên đường thẳng d

Định lí 1: Trong các đường xiên góc và trong đường vuông góc kẻ từ điểm nằm ngoài đường thẳng, cho đến đường thẳng đó, đường xiên góc sẽ là đường ngắn nhất.

Định lí 2: Trong hai đường xiên góc kẻ từ điểm nằm ngoài đường thẳng cho đến đường thẳng đó:

- Đường xiên góc có hình chiếu lớn hơn tương đương sẽ lớn hơn

- Đường xiên góc lơn hơn sẽ có hình chiếu lớn hơn.

- Hai đường xiên góc bằng nhau, hai hình chiếu sẽ bằng nhau. Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên góc bằng nhau.

V. Bài tập về hình chiếu

Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của A ( 1; 2; 1 ) trên đường thẳng d:

$\frac{x + 2}{1}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z + 1}{-2}$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;2;-2)$

Gọi mặt phẳng ( P ) chứa điểm A và vuông góc với d nhận vecto chỉ phương của d làm vecto pháp tuyến nên ta có phương trình của ( P ) là:

1 x ( x - 1 ) + 2 x ( y - 2 ) - 2 x ( z - 1 ) = 0

hay x + 2y - 2z - 3 = 0

Tìm H là giao điểm của d và ( P )

Tọa độ H ( t - 2; 2t + 1; -2t - 1 ) thỏa mãn:

t - 2 + 2 x ( 2t + 1 ) - 2 x ( 2t - 1 ) - 3 = 0

⇔ t = $\frac{1}{9}$

Vậy H là hình chiếu của A trên d là H $(\frac{-17}{9}; \frac{11}{9}; \frac{-11}{9})$

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ): x + 2y - z +5 = 0 và điểm M (-1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ).

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1; 2; -1)$

Gọi d là đưởng thẳng đi qua M ( -1; 2; 1 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P ) nên đưởng thẳng d nhận $\overrightarrow{n}=(1; 2; -1)$ làm vecto chỉ phương.

⇒ Phương trình đưởng thẳng d là

x = - 1 + t

y = 2 +2t

z = 1 - t

Điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( P ) chính là giao điểm của đưởng thẳng d và mặt phẳng ( P )

Thay x = -1 + t; y = 2 + 2 t; z = 1 - t vào phương trình mặt phẳng ( P ) ta được :

( -1 + 2t ) + 2 x ( 2 + 2t ) - ( 1 - t ) + 5 = 0

⇔ 7t + 7 = 0

⇔ t = - 1

Vậy H ( -2; 0; 2 )