Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tích vô hướng

Tích vô hướng

A. Phương pháp giải & Ví dụ

+ Tích vô hướng của hai vecto:

a→.b→=a₁.b₁+ a₂.b₂+ a₃.b₃

+ a→⊥b→⇔a₁.b₁+ a₂.b₂+ a₃.b₃=0

+ a→²=a₁²+a₂²+a₃²

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→=(1;2;1),

b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→)

b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→

c) Tính các góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→- 2c→ )

d) Tìm m để u→⊥(b→+d→)

e) Tìm m để (u→,a→ )=60⁰

Lời giải:

a) a→ =(1;2;1),b→ =(3;-1;2)

⇒a→ .b→ =1.3+2.(-1)+1.2=3.

c→ =(4; -1; -3)⇒2c→ =(8; -2; -6)⇒ a→ -2c→ =(-7;4;7)

⇒b→ (a→ -2c→ )=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b→ .c→ =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→ .(b→ .c→ )=(7;14;7)

a→ .b→ =3⇒(a→ .b→ ) c→ =(12; -3; -9)

Vậy a→ .(b→ .c→ )≠(a→ .b→ ) c→

c) Ta có:

⇒(a→.b→ )≈71⁰

+ a→+ b→=(4;1;3),3a→- 2c→=(-5;8;9)

⇒cos( a→+b→,3a→- 2c→ )

⇒( a→ +b→ ,3a→ - 2c→ )≈77⁰

d) b→ +d→ =(6; -4; -3); u→ =(1;m;2)

u ⃗⊥(b→ +d ⃗ )⇔u→ .(b→ +d→ )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e)

(u→ ,a→ )=60⁰⇔cos⁡(u→ ,a→ )=1/2

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a→,b→ sao cho (a→,b→ )=120⁰,

|a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ |

Lời giải:

Áp dụng công thức: a→ .b→ =|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )

Ta có: |a→ + b→ |²=(a→ + b→ )²=a→ ²+2a→ .b→ +b→ ²

=|a→ |²+|b→ |²+2|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a→ + b→ |=√7

Tương tự:

|a→ -2b→ |² =|a→ |²+4|b→ |²-4|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a→ -2b→ |=2√(13)

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A

c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Lời giải:

a) Ta có: AB→=(1;6;1); BC→=(5;-1;1)

⇒AB→.BC→=1.5+6.(-1)+1.1=0

⇒AB→⊥BC→⇒ΔABC vuông tại B.

b) AB→=(1;6;1); AD→=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB→.AD→=0

⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0

⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3

c) AB→=(1;6;1); AC→=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB→;AC→ )

⇒Â≈40⁰

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các vectơ u→(u₁;u₂;u₃) và v→(v₁;v₂;v₃), u→. v→=0 khi và chỉ khi:

A. u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=0

B. u₁+v₁+u₂+v₂+u₃+v₃=0

C. u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃=1

D. u₁v₂+u₂v₃+u₃v₁=-1

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 2: Cho hai vectơ a→ và b→ tạo với nhau góc 60⁰ và |a→| =2; |b→| =4. Khi đó |a→ + b→ | bằng:

A. 2√7 B. 2√3

C. 2√5 D. 2

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

|a→ + b→ |²=(a→ + b→ )²=|a→ |²+|b→ |²+2|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ + b→ )

=4+16+2.2.4.1/2=28

⇒|a→ + b→ |=2√7

Bài 3: Cho a→(-2;1;3), b→(1;2;m). Với giá trị nào của m để a→ vuông góc với b→ ?

A. m=-1 B. m=1

C. m=2 D. m=0

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

a→ vuông góc với b→ khi và chỉ khi a→ . b→=0

⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0

Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a→ và b→ biết a→(8;4;1), b→(2;-2;1)

A. 1/2 B. √(2)/2

C. √(3)/2 D. 1/3

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

cos⁡(a→ , b→)

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:

A. 30⁰ B. 90⁰

C. 60⁰ D. 45⁰

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

AB→=(-3;0; -4); AC→=(4;0;-3)

cos⁡BACˆ=cos⁡( AB→ ; AC→)

⇒BACˆ=90⁰