Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tích vô hướng
Với tài liệu về các công thức tích vô hướng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Tích vô hướng
A. Phương pháp giải & Ví dụ
+ Tích vô hướng của hai vecto:
a→.b→=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3
+ a→⊥b→⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0
+ a→2=a12+a22+a32
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→=(1;2;1),
b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R.
a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→)
b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→
c) Tính các góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→- 2c→ )
d) Tìm m để u→⊥(b→+d→)
e) Tìm m để (u→,a→ )=600
Lời giải:
a) a→ =(1;2;1),b→ =(3;-1;2)
⇒a→ .b→ =1.3+2.(-1)+1.2=3.
c→ =(4; -1; -3)⇒2c→ =(8; -2; -6)⇒ a→ -2c→ =(-7;4;7)
⇒b→ (a→ -2c→ )=3.(-7)-1.4+2.7=-11
b) b→ .c→ =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→ .(b→ .c→ )=(7;14;7)
a→ .b→ =3⇒(a→ .b→ ) c→ =(12; -3; -9)
Vậy a→ .(b→ .c→ )≠(a→ .b→ ) c→
c) Ta có:
⇒(a→.b→ )≈710
+ a→+ b→=(4;1;3),3a→- 2c→=(-5;8;9)
⇒cos( a→+b→,3a→- 2c→ )
⇒( a→ +b→ ,3a→ - 2c→ )≈770
d) b→ +d→ =(6; -4; -3); u→ =(1;m;2)
u ⃗⊥(b→ +d ⃗ )⇔u→ .(b→ +d→ )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0
e)
(u→ ,a→ )=600⇔cos(u→ ,a→ )=1/2
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a→,b→ sao cho (a→,b→ )=1200,
|a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ |
Lời giải:
Áp dụng công thức: a→ .b→ =|a→ |.|b→ |.cos(a→ ,b→ )
Ta có: |a→ + b→ |2=(a→ + b→ )2=a→ 2+2a→ .b→ +b→ 2
=|a→ |2+|b→ |2+2|a→ |.|b→ |.cos(a→ ,b→ )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7
⇒|a→ + b→ |=√7
Tương tự:
|a→ -2b→ |2 =|a→ |2+4|b→ |2-4|a→ |.|b→ |.cos(a→ ,b→ )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52
⇒|a→ -2b→ |=2√(13)
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
b) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A
c) Tính số đo góc A của tam giác ABC
Lời giải:
a) Ta có: AB→=(1;6;1); BC→=(5;-1;1)
⇒AB→.BC→=1.5+6.(-1)+1.1=0
⇒AB→⊥BC→⇒ΔABC vuông tại B.
b) AB→=(1;6;1); AD→=(-4;2m+2; -4)
Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB→.AD→=0
⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0
⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3
c) AB→=(1;6;1); AC→=(6;5;2)
cosA=cos(AB→;AC→ )
⇒Â≈400
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho các vectơ u→(u1;u2;u3) và v→(v1;v2;v3), u→. v→=0 khi và chỉ khi:
A. u1v1+u2v2+u3v3=0
B. u1+v1+u2+v2+u3+v3=0
C. u1v1+u2v2+u3v3=1
D. u1v2+u2v3+u3v1=-1
Lời giải:
Đáp án : A
Bài 2: Cho hai vectơ a→ và b→ tạo với nhau góc 600 và |a→| =2; |b→| =4. Khi đó |a→ + b→ | bằng:
A. 2√7 B. 2√3
C. 2√5 D. 2
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
|a→ + b→ |2=(a→ + b→ )2=|a→ |2+|b→ |2+2|a→ |.|b→ |.cos(a→ + b→ )
=4+16+2.2.4.1/2=28
⇒|a→ + b→ |=2√7
Bài 3: Cho a→(-2;1;3), b→(1;2;m). Với giá trị nào của m để a→ vuông góc với b→ ?
A. m=-1 B. m=1
C. m=2 D. m=0
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
a→ vuông góc với b→ khi và chỉ khi a→ . b→=0
⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0
Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a→ và b→ biết a→(8;4;1), b→(2;-2;1)
A. 1/2 B. √(2)/2
C. √(3)/2 D. 1/3
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
cos(a→ , b→)
Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:
A. 300 B. 900
C. 600 D. 450
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
AB→=(-3;0; -4); AC→=(4;0;-3)
cosBACˆ=cos( AB→ ; AC→)
⇒BACˆ=900
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)