Lý thuyết, cách xác định và bài tập các bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}=\frac{abc}{4S}$.

2. Phương pháp giải bán kính đường tròn ngoại tiếp :
Phương pháp 1: Sử dụng đinh lý sin trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Phương pháp 2: Sử dụng diện tích tam giác

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Phương pháp 3: Sử dụng trong hệ tọa độ

- Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

- Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm

 R = OA = OB = OC.

Phương pháp 4: Sử dụng trong tam giác vuông (kiến thức lớp 9)

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có góc B bằng 45° và AC = 4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: b = AC = 4

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và BC = 6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Theo công thức Hê – rông, diện tích tam giác ABC là:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Ví dụ 3: Cho tam giác MNP có MN = 6, MP = 8 và PN = 10. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Hướng dẫn giải:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC = 10. Gọi (I) là đường tròn có tâm I thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính bằng 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)
+ Vì 2IB = 3IC

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

+ Vì M và N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn tâm I với AB và AC

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

+ Mặt khác theo định lý Cô – sin trong tam giác ABC ta có:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC = 4. Gọi M là trung điểm AC.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính R1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tính bán kính R2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM.

Hướng dẫn giải:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

a) Tam giác ABC vuông tại A, nên diện tích tam giác ABC là:

 Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

b) Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

BM2 = AB2 + AM2 = 12 + 22 = 5 (tam giác AMB vuông tại A) Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB là:

 Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (cực hay, chi tiết)

Xem thêm các dạng bài tập hay khác khác:

Công thức, cách tính Diện tích tam giác (cực hay, chi tiết)