200 Bài tập về hàm số, đồ thị và các vấn đề liên quan và cách giải (2024) có đáp án

200 Bài tập về hàm số, đồ thị và các vấn đề liên quan và cách giải

I. Hàm số

Định nghĩa:

Giả sử x và y là hai đại lượng biến thiên, $x\in D$

Nếu với mỗi $x\in D$, ta xác định được y duy nhất ($y\in \mathbb{R}$) thì ta có một hàm số.

Tên gọi:

x là biến số, y là hàm số của x

D là tập xác định

$T=\left\{y|x\in D\right\}$ là tập giá trị của hàm số.

+) Ta thường kí hiệu $f(x)$ là giá trị y tương ứng với x, nên hàm số thường viết là $y=f(x)$

Chú ý:

a. Hàm số cho bởi công thức mà không chỉ rõ tập xác định thì

TXĐ của hàm số $y=f(x)$ là tập hợp tất cả các $x\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x)$ có nghĩa.

b. Một hàm số có thể được cho bởi hay nhiều công thức.

Hệ thống bài tập tự luận
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số

Phương pháp: Để tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện của x để f(x) có nghĩa.

Chú ý: Thông thường y = f(x) cho bởi biểu thức đại số, ta xét một số trường hợp sau:

+ Hàm số y = f(x) = $\frac{ u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ có nghĩa khi u(x), v(x) có nghĩa và v(x)$\ne 0$

+ Hàm số y = f(x) = $\sqrt{u\left(x\right)}$ có nghĩa khi u(x) có nghĩa và u(x)$\ge 0$

+ Hàm số y = f(x) = $\frac{ u\left(x\right)}{\sqrt{v\left(x\right)}}$ có nghĩa khi u(x), v(x) có nghĩa và v(x) > 0

Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số y = $\frac{2x - 1}{1 - x}$

Lời giải:

Dạng 2. Tìm điều kiện để hàm số xác định trên một tập K cho trước

Phương pháp:

Bài toán: Cho hàm y = f(x, m). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác định trên tập K.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số (theo m). Gọi D là tập xác định của hàm số.

Bước 2: Hàm số xác định trên tập K khi và chỉ khi K$\subset$D.

Một số lưu ý:

+ Hàm số y = $\frac{A}{f(x,m)}$ (A là biểu thức luôn có nghĩa) xác định trên tập K khi và chỉ khi phương trình f(x, m) = 0 vô nghiệm trên K.

+ Hàm số y = $\sqrt{f(x, m)}$ xác định trên tập K khi và chỉ khi bất phương trình f(x, m)$\ge$0 nghiệm đúng với mọi x K.

+ Hàm số y = $\frac{A}{\sqrt{f(x, m)}}$ (A là biểu thức luôn có nghĩa) xác định trên tập K khi và chỉ khi bất phương trình f(x, m) > 0 nghiệm đúng với mọi x $\in$ K.

+ K $\subset$(D₁$\cap$D₂)<=> $\left\{\begin{array}{l}K\subset D_1\\ K\subset D_2\end{array}\right.$

Bài tập: Cho hàm số y = $\frac{2x + 1}{x^{2 }+ x + m}$. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số xác định trên $\mathrm{ℝ}$.

Lời giải:

Dạng 3. Tập giá trị của hàm số

Phương pháp: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.

Tập hợp T = {y = f(x)$\overline{)}$x $\in$D} gọi là tập giá trị của hàm số y = f(x).

Bài tập: Tìm tập giá trị của hàm số y = 5x - 4

Dạng 4. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp 1:

Phương pháp 2:

Bài tập: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số f(x) = x² - 7 trên khoảng (-$\infty$;0) và trên khoảng (0;+$\infty$)

Lời giải:

Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một tập hợp cho trước

Phương pháp:

Bài tập: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-3; 3] để hàm số f(x) = (m + 1)x + m - 2 đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$?

Lời giải:

Dạng 6. Bài toán thực tế

Phương pháp:

Bước 1: Lập biểu thức theo yêu cầu bài toán (nếu cần)

Bước 2: Khai thác giả thiết để xử lí bài toán phù hợp

Bước 3: Kết luận

Bài tập: Cho rằng diện tích rừng nhiệt đới trên trái đất được xác định bởi hàm số S = 718,3 - 4,6t, trong đó S được tính bằng triệu hec-ta, t tính bằng số năm kể từ năm 1990. Hãy tính diện tích rừng nhiệt đới vào các năm 1990 và 2018.

Lời giải:

Hệ thống bài tập trắc nghiệm
Dạng 1. Tập xác định của hàm số

Dạng 2. Xác định sự biến thiên của hàm số cho trước

Dạng 3. Xác định sự biến thiên thông qua đồ thị của hàm số

Dạng 4. Một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số

II. Hàm số bậc hai

Định nghĩa:

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức:

$$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$$

có tập xác định $D=\mathbb{R}$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Chiều biến thiên:

Nếu $a>0$ thì hàm số $y=a{x}^2+bx+c$:

+) Nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)$

+) Đồng biến trên khoảng $\left(-{\displaystyle \frac{b}{2a}};+\mathrm{\infty }\right)$

Hàm số đạt có điểm cực tiểu là $\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a}\right)$

Nếu $a<0$ thì hàm số $y=a{x}^2+bx+c$:

+) Đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\right)$

+) Nghịch biến trên khoảng $\left(-{\displaystyle \frac{b}{2a}};+\mathrm{\infty }\right)$

Hàm số đạt có điểm cực đại là $\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\mathrm{\Delta }}{4a}\right)$

Đồ thị của hàm số bậc hai:

Bảng biến thiên:

Hệ thống bài tập tự luận
Vấn đề 1. Tìm điều kiện để hàm số y = ax2 + bx + c đồng biến trên khoảng (a;b)

Phương pháp:

+ Trường hợp a = 0 : Yêu cầu bài toán $\iff \left\{\begin{array}{l}a = 0\\ b > 0\end{array}\right.$

+ Trường hợp a > 0 : Yêu cầu bài toán $\iff \left\{\begin{array}{l}a > 0\\ (A;B) \subset (\frac{-b}{2a};+\infty )\end{array}\right.$

+ Trường hợp a < 0 : Yêu cầu bài toán$\iff \left\{\begin{array}{l}a < 0\\ (A;B) \subset (-\infty ;\frac{-b}{2a})\end{array}\right.$

Bài tập:

Vấn đề 2. Xác định hàm số bậc hai

Phương pháp:

Bài tập:

Vấn đề 3. Đồ thị hàm số bậc hai

Dạng 1: Cho parabol (P) : y = ax² + bx + c

+ Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của (P)

+ Tương giao của (P) với trục Ox

+ Tìm điều kiện để các giao điểm của (P) và trục Ox thỏa mãn điều kiện nào đó

Phương pháp:

Bài tập:

Dạng 2: Cho parabol (P) : y = ax² + bx + c và đường thẳng d : y = mx + n

+ Biện luận số điểm chung của (P) và trục hoành

+ Tìm điều kiện để đường thẳng d tiếp xúc với (P)

Phương pháp:

Bài tập:

Vấn đề 4. Tương giao đồ thị

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số f(x) để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình f(x) =g(m)

Phương pháp:

Bài tập:

Dạng 2: Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai

Phương pháp:

Nhận xét:

+ Số giao điểm của (P) và d bằng số nghiệm của hệ phương trình (1) và cũng bằng số nghiệm của phương trình (2)

+ Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì ta nói d và (P) không giao nhau

+ Nếu phương trình (2) có nghiệm kép thì ta nói d và (P) tiếp xúc với nhau. Lúc này ta nói d là tiếp tuyến của (P)

+ Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thì ta nói d và (P) cắt nhau

Bài tập:

Dạng 3: Sự tương giao của hai đồ thị hàm số bậc hai

Phương pháp:

Bài tập:

Vấn đề 5. Điểm cố định của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Bài tập:

Vấn đề 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 tập cho trước

Phương pháp:

Bài tập:

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

Cho hàm số bậc hai: y = ax² + bx + c (a$\ne$0)

- Nếu a > 0 thì min y = $f(-\frac{b}{2a})= -\frac{∆}{4a}$ đạt tại hoành độ đỉnh x_I = $-\frac{b}{2a}$

- Nếu a < 0 thì y = $f(-\frac{b}{2a})= -\frac{∆}{4a}$ đạt tại hoành độ đỉnh x_I = $-\frac{b}{2a}$

Trường hợp tập xác định khác R, ta kẻ bảng biến thiên của hàm số trên tập đó để có được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Bài tập:

Vấn đề 7: Bài toán thực tế

Phương pháp:

Bài tập:

Hệ thống bài tập trắc nghiệm

Dạng 1. Sự biến thiên

Dạng 2. Xác định toạ độ đỉnh, trục đối xứng, hàm số bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3. Đọc đồ thị, bảng biến thiên của hàm số bậc hai

Dạng 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Dạng 5. Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số

Dạng 6. Ứng dụng thực tế liên quan đến hàm số bậc hai

III. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí:

Cho tam thức bậc hai $f(x)=\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+bx+c(a\ne 0)$ có biệt thức $∆=b^2–4ac$.

- Nếu $∆<0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$.

- Nếu $∆=0$ thì $f(x)$ có nghiệm kép $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.

Khi đó $f(x)$ có cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\ne -{\displaystyle \frac{b}{2a}}$.

- Nếu $∆>0,f(x)$ có $2$ nghiệm $x_1,x_2(x_1<x_2)$ và luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \left(-\mathrm{\infty };x_1\right) \cup \left(x_2;+\mathrm{\infty }\right)$ và luôn trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in (x_1;x_2)$

Bài tập sách giáo khoa

Hệ thống bài tập tự luận

Dạng 1. Xét dấu biểu thức

Dạng 2. Giải bất phương trình

Dạng 3. Giải hệ bất phương trình

Dạng 4. Điều kiện về dấu của tam thức bậc hai

Dạng 5. Điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai

Hệ thống bài tập trắc nghiệm
Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai – bất phương trình bậc hai

Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai và một số bài toán liên quan

Dạng 3. Bất phương trình tích

Dạng 4. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Dạng 5. Hệ bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Dạng 6. Bài toán chứa tham số

Dạng 6.1. Tìm m để phương trình có n nghiệm

Dạng 6.2. Tìm m để phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 6.3. Tìm m để bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 7. Tìm m để hệ bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 8. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và một số bài toán liên quan

Dạng 9. Bất phương trình chứa căn và một số bài toán liên quan

IV. Phương trình quy về phương trình bậc hai

a. Phương trình trùng phương

+) Phương trình trùng phương là phương trình có dạng $a{x}^4+b{x}^2+c=0(a\ne 0)$

+) Cách giải: Đặt ẩn phụ $t=x^2(t\ge 0)$ để đưa phương trình về phương trình bậc hai: $a{t}^2+bt+c=0(a\ne 0).$

b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của ẩn của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được ở bước 2.

Bước 4. So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận.

c. Phương trình đưa về dạng phương trình tích

Để giải phương trình đưa về dạng tích, ta có các bước giải như sau:

Bước 1. Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng $0$.

Bước 2. Xét từng nhân tử bằng $0$ để tìm nghiệm.

d) Sự tương giao giữa đường thẳng và parabol