Tổng hợp định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết của các hình học phẳng và bài tập (2024) có đáp án

Tổng hợp định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết của các hình học phẳng và bài tập

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết Hình thang cân

a/ Định nghĩa:

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề 1 đáy bằng nhau

b/ Tính chất:

- Hình thang cân có:

+ hai góc kề bằng nhau

+ hai đường chéo bằng nhau

c/ Dấu hiệu nhận biết:

- Hình thang có:

+ hai góc kề bằng nhau là hình thang cân

+ hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân

2. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết Hình bình hành

a/ Định nghĩa:

- Là tứ giác có các cạnh đối song song

b/ Tính chất:

- Hình bình hành có:

+ Các cạnh đối bằng nhau

+ Các góc đối bằng nhau

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

c/ Dấu hiệu nhận biết:

- Tứ giác có:

+ Các cạnh đối song song là hình bình hành

+ Các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

+ Hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

+ Các góc đối bằng nhau là hình bình hành

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

3.Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết Hình chữ nhật:

a/ Định nghĩa:

- Là tứ giác có 4 góc vuông

b/ Tính chất:

- Hình chữ nhật có:

+ Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

+ tất cả các tính chất của hình thang cân và hình thoi.

c/ Dấu hiệu nhận biết:

- Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật

- Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật

- Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật

- Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

4. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết Hình thoi

a/ Định nghĩa:

- Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

b/ Tính chất:

- Trong hình thoi có:

+ Hai đường chéo vuông góc với nhau

+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

+ Tất cả các tính chất của hình bình hành

c/ Dấu hiệu nhận biết:

- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi

- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi

- Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

5. Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết Hình vuông

a/ Định nghĩa:

Hình vuông là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.

b/ Tính chất:

- Hình vuông có các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

c/ Dấu hiệu nhận biết:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kể bằng nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông

- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông

- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hình thang ABCD (AB // CD) có góc ACD = góc BDC. Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Do góc ACD = góc BCD nên tam giác ECD có góc C₁ = góc D₁, nên là tam giác cân. Từ đó suy ra EC = ED. (1)

Tương tự do góc ACD = góc BCD và AB // CD nên tam giác EAB cân tại E, suy ra EA = EB. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EA + EC = EB + ED => AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên hình thang ABCD là hình thang cân (điều phải chứng minh).

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E là giao điểm của hai đường chéo. CHứng mình EA = EB, EC = ED.

Lời giải:

Do ABCD là hình thang cân (giả thiết) nên AD = BC, AC = BD (tính chất hình thang cân)

Xét tam giác ADC và tam giác BCD có:

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (chứng mình trên)

DC chung

=> Tam giác ADC = tam giác BCD (cạnh – cạnh – cạnh)

Suy ra góc ACD = góc BDC (2 góc tương ứng)

Do đó tam giác EDC cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân) => EC = ED (tính chất tam giac cân)

Lại có: AC = BD (chứng minh trên), EC = ED (chứng minh trên)

=> AC – CE = BD – ED => EA = EB

Vậy EA = EB và EC = ED (điều phải chứng minh).

Bài 3: Cho hình thoi ABCD, độ dài mỗi cạnh là 13cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ OH vuông góc AD. Biết OH = 6cm, tính tỉ số của hai đường chéo BD và AC.

Giải

* Tìm cách giải

Vẽ thêm BK vuông góc với AD để dùng định lí đường trung bình của tam giác, định lí Py-ta-go tính bình phương độ dài của mỗi đường chéo.

* Trình bày lời giải

Vẽ BK vuông góc AD.

Xét DBKD có OH // BK (vì cùng vuông góc với AD) và OB = OD nên KH = HD.

Vậy OH là đường trung bình của DBKD.

Suy ra do đó BK = 12cm.

Xét DABK vuông tại K có AK² = AB² – BK² = 13² – 12² = 25 ⇒ AK = 5cm do đó KD = 8cm.

Xét DBKD vuông tại K có BD² = BK² + KD² = 12² + 8² = 208.

Xét DAOH vuông tại H có OA² = OH² + AH² = 6² + 9² = 117.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi.

*Tìm cách giải

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được tứ giác DNGM là hình bình hành. Sau đó chứng minh hai cạnh kề bằng nhau.

*Trình bày lời giải

DABE = DACF (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ AE = AF và BE = CF.

Vì H là trực tâm của DABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.

Vì H là trực tâm của DABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.

Xét DEBC có GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC.

Chứng minh tương tự ta được MF = MB.

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM là hình bình hành.

Mặt khác, DM = DN (cùng bằng của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.