Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tìm m để bất phương tình vô nghiệm

    Với tài liệu về Tìm m để bất phương trình vô nghiệm bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 107 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

    I. Lý thuyết

    1. Định nghĩa

    Bất phương trình là một khẳng định về mối quan hệ giữa hai biểu thức, trong đó ít nhất một biểu thức chứa một dấu bất đẳng thức (dấu ">" - lớn hơn, "<" - nhỏ hơn, ">=" - lớn hơn hoặc bằng, "<=" - nhỏ hơn hoặc bằng, hoặc "≠" - khác nhau). Bất phương trình cho biết mối quan hệ giữa giá trị của các biểu thức và xác định các giá trị của biến để bất phương trình được thoả mãn.

    2. Công thức

    Cho hàm số f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c:

    f(x)<0 vô nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)\ge 0 có nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}

    \Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.

    f(x)>0 vô nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)\le 0 có nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}

    \Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.

    f(x)\le 0 vô nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)>0 có nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}

    \Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta <0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.

    f(x)\ge 0 vô nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)<0 có nghiệm với \forall x\in \mathbb{R}

    \Rightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta <0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm m để BPT \left( m+2 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-m>0 vô nghiệm với mọi x\in \mathbb{R}

    Hướng dẫn giải

    TH1: m+2=0\Leftrightarrow m=-2 \Leftrightarrow -x+2>0

    Vậy m = -2 thì bất phương trình có nghiệm

    TH2: m+2\ne 0\Leftrightarrow m\ne -2

    Để bất phương trình f(x)>0 vô nghiệm x\in \mathbb{R} thì f(x)\le 0 có nghiệm với x\in \mathbb{R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m+2<0 \\ {{(m+3)}^{2}}+4\left( m+2 \right)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<-2 \\ 5{{m}^{2}}+14m+9\le 0 \\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m <-2 \\ m\in [\dfrac{-9}{5};-1] \\ \end{matrix}\right.

    Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm

    Ví dụ 2: Cho bất phương trình m{{x}^{2}}-{{m}^{2}}-mx+4>0. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm \forall x\in \mathbb{R}

    Hướng dẫn giải

    TH1: m=0\Leftrightarrow 4>0 (loại)

    TH2: m\ne 0

    Để bất phương trình f(x)>0 vô nghiệm x\in \mathbb{R} thì f(x)\le 0 có nghiệm với mọi x\in \mathbb{R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<0 \\ {{m}^{2}}-4m\left( 4-{{m}^{2}} \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m\in (-\infty ,\frac{-1-\sqrt{257}}{8}] \right.$

    Vậy BPT vô nghiệm khi m\in (-\infty ,\frac{-1-\sqrt{257}}{8}]

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Cho bất phương trình m{{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m+7\le 0. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm \forall x\in \mathbb{R}

    Hướng dẫn giải

    TH1: m=0\Leftrightarrow 7\le 0 (loại)

    TH2: m\ne 0

    Để bất phương trình f(x)\le 0 vô nghiệm x\in \mathbb{R} thì f(x)>0 có nghiệm với mọi x\in \mathbb{R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta <0 \\ \end{matrix} \right.

    \left\{ \begin{matrix} m>0 \\ \Delta '<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<0 \\ {{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( m+7 \right)<0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<0 \\ -5m+1<0 \\ \end{matrix} \right. \right.(vô lí)

    Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm.

    Bài 2: Tìm m để bất phương trình Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết vô nghiệm

    Lời giải:

    Bất phương trình vô nghiệm khi:

    Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết

    Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết

    Bài 3: Tìm m để bất phương trình Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết vô nghiệm với mọi x thuộc R.

    Lời giải:

    Trường hợp 1: Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết.

    Vậy m = - 2 thì bất phương trình có nghiệm

    Trường hợp 2: Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết

    Để bất phương trình vô nghiệm, ta có:

    Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết

    Tìm m để bất phương trình vô nghiệm kèm bài tập và đáp án chi tiết

    Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình vô nghiệm.

    Bài 4: Với giá trị nào của tham số m để bất phương trình x2 - (m + 2)x + m + 2 ≤ 0 vô nghiệm?

    Giải:

    Bất phương trình x2 - (m + 2)x + m + 2 ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x

    Tam thức f(x) = x2 - (m + 2)x + m + 2 có hệ số a = 1 > 0 nên f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi:

    ∆ = (m + 2)2 - 4(m + 2) = m2 - 4 < 0 => -2 < m < 2

    Vậy m ∈ (-2; 2) thì bất phương trình vô nghiệm

    Bài 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình (m2 - m)x < m vô nghiệm?

    Giải:

    Rõ ràng nếu m2 - m ≠ 0 => m ≠ 0 hoặc m ≠ 1 bất phương trình luôn có nghiệm.

    Với m = 1 bất phương trình trở thành 0x < 1 nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

    Với m = 0 bất phương trình trở thành 0x < 0 vô nghiệm

    Vậy có 1 giá trị của tham số m để bất phương trình (m2 - m)x < m vô nghiệm

    Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m2 - 4)x2 + (m - 2) + 1 < 0 vô nghiệm?

    Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình -2x2 + 2(m - 2)x + m - 2 < 0 vô nghiệm.

    Bài 8: Xác định các giá trị thực của tham số m để bất phương trình mx2 + 2(m + 1)x + m - 2 > 0 vô nghiệm.

    Bài 9: Tìm tham số m để bất phương trình |x - 2| - m + 9 ≤ 0 vô nghiệm.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 107 25/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: