Bội chung nhỏ nhất là gì? Cách tìm bội chung nhỏ nhất và bài tập có đáp án

Bội chung nhỏ nhất

1. Bội là gì? Bội chung là gì?

- Nếu một số tự nhiên a chia hết cho một số b, thì a được gọi là bội của b.

Tập hợp các bội của số b được ký hiệu là: B(b)

VD: B(3) = {3; 6; 9;...}

- Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.

Tập hợp các bội chung của a và b là: BC(a,b)

VD: BC(2,3) = {6; 12; 18; 24;...}

2. Bội chung nhỏ nhất là gì?

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số nguyên a và b được biết đến là số nguyên dương nhỏ nhất có thể chia hết được a và b. (Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b)

Trường hợp, nếu a hoặc b bằng 0 sẽ không tồn tại BCNN.

Tập hợp các bội chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là: BCNN(a,b)

VD: BCNN(2,3) = {6}

3. Cách tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Để tìm được BCNN của hai hoặc nhiều số lớn hơn 1 thì mọi người chỉ cần áp dụng theo 3 bước sau:

• Bước 1: Tiến hành tính toán mỗi số ra thừa số nguyên tố.

• Bước 2: Lựa chọn ra những thừa số nguyên tố chung và riêng.

• Bước 3: Bắt đầu lập tích các thừa số đã chọn, sau đó mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Lúc này, tích đó chính là BCNN đang tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN của 42; 70 và 180

Lời giải:

Ta có: 42 = 6 . 7 = 2 . 3 . 7

70 = 10 . 7 = 2 . 5 . 7

180 = 18 . 10 = 2 . 9 . 10 = 2 . 3 . 3 . 2 . 5 = 22 . 32 . 5

BCNN(42; 70; 180) = 22 . 32 . 5 . 7

Chú ý:

• Nếu những số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau, lúc này BCNN cần tìm chính là tích của những số đó.

• Với những số đã cho, nếu số lớn nhất chính là bội số chung của những số còn lại thì BCNN cần tìm chính là số lớn nhất đó.

Ví dụ:

BCNN (5, 7) = 5.7 = 35. Bởi vì 5 và 7 cùng là số nguyên tố, lúc này BCNN chính là tích của 2 số đó là 35.

BCNN (8, 12, 96) = 96. Bởi vì 96 chia hết được 8 và 12, lúc này BCNN cần tìm của 3 số chính là số lớn nhất đó là 96.

4. Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số:

Để quy đồng mẫu số hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$, ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là BCNN của hai mẫu.

Ví dụ 5. Quy đồng mẫu số các phân số sau:

a) $\frac{9}{12}$ và $\frac{4}{15}$; b) $\frac{2}{7};\frac{5}{21}$ và $\frac{8}{14}$.

Lời giải

a) Ta có 12 = 2².3; 15 = 3.5.

BCNN(12, 15) = 2².3.5 = 60.

Ta có: 60:12 = 5; 60:15 = 4. Khi đó:

$\frac{9}{12}=\frac{9.5}{12.5}=\frac{45}{60}$ và $\frac{4}{15}=\frac{4.4}{15.4}=\frac{16}{60}.$

b) Ta có: 7 = 7, 21 = 3. 7, 14 = 2.7.

BCNN(7, 21, 14) = 2.3.7 = 42.

Ta có: 42:7 = 6, 42:21 = 2, 42:14 = 3. Khi đó:

$\frac{2}{7}=\frac{2.6}{7.6}=\frac{12}{42};\frac{5}{21}=\frac{5.2}{21.2}=\frac{10}{42}$ và $\frac{8}{14}=\frac{8.3}{14.3}=\frac{24}{42}.$

5. Các dạng bài tập về bội chung và bội chung nhỏ nhất

Dạng 1: Xác định bội chung và bội chung nhỏ nhất của các số đã cho

Phương pháp:

- Để kiểm tra xem một số có phải là bội chung của hai số hay không, ta cần xem số đó có chia hết cho cả hai số hay không.

- Để xác định tập hợp các bội chung của hai hoặc nhiều số, ta cần viết tập hợp bội của từng số và sau đó tìm giao của các tập hợp này.

- Áp dụng phương pháp 'ba bước' để tính BCNN của hai hoặc nhiều số:

+ Bước 1: Phân tích từng số thành các thừa số nguyên tố

+ Bước 2: Lựa chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng

+ Bước 3: Tính tích của các thừa số đã chọn, mỗi thừa số dùng với số mũ lớn nhất của nó. Kết quả này chính là BCNN cần tìm.

- Bạn có thể nhanh chóng tính BCNN của hai hoặc nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với các số như 1, 2, 3, 4, ... cho đến khi tìm được số chia hết cho tất cả các số còn lại.

Ví dụ: Tìm BCNN(15, 18)

Ta có: 15 = 3 . 5

18 = 2 . 3²

BCNN (15; 18) = 2 . 5 . 3² = 90

Dạng 2. Bài toán đưa về việc tìm BCNN của hai hay nhiều số

Phương pháp giải: Phân tích bài toán để quy về việc tìm BCNN của hai hoặc nhiều số

Ví dụ 1: Tìm các bội chung của 8 và 10 dựa vào BCNN

Đáp án

BCNN (8; 10) = 40

Do đó, các bội chung của 8 và 10 là {0; 40; 80; 120...}

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a chia hết cho 21 và a chia hết cho 28

A. 7

B. 42

C. 84

D. 588

Đáp án

21 = 3 . 7

28 = 2². 7

BCNN (21, 28) = 2² . 3 . 7 = 84 => Chọn C

Dạng 3. Bài toán có lời văn

Các bước giải:

Bước 1: Đặt ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn

Bước 2: Biểu diễn các dữ kiện của bài toán theo ẩn đã đặt

Bước 3: Giải tìm ẩn và kiểm tra các điều kiện

Bước 4: Đưa ra kết quả và kết luận

Ví dụ: Trường có số học sinh khối 6 nằm trong khoảng từ 300 đến 400. Biết rằng nếu xếp thành hàng 5, 8, 12 thì thiếu 1 học sinh. Tìm số học sinh khối 6 của trường.

Đáp án

Gọi số học sinh khối 6 cần tìm là x (x thuộc N, 300 ≤ x ≤ 400)

Vì khi xếp thành hàng 5, 8, 12 thì thiếu 1 học sinh nên x = 5k - 1, x = 8t - 1, x = 12m - 1

=> x là số có dạng 1 bội chung của 5, 8, 12 trừ 1

BCNN (5; 8; 12) = 120

Tập hợp bội chung của 5, 8, 12 là {0; 120; 240; 360; 480; 600...}

=> x + 1 thuộc {0; 120; 240; 360; 480; 600...}

với điều kiện 300 ≤ x ≤ 400

=> 301 ≤ x + 1 ≤ 401

Do đó, x + 1 = 360, suy ra x = 359 học sinh

Số học sinh khối 6 là 359 học sinh

6. Bài tập về bội chung nhỏ nhất

Bài 1. Tìm BCNN của các số sau:

a) 27 và 36;

b) 49 và 14.

Lời giải

a) Ta có: 27 = 3³, 36 = 2².3².

Khi đó BCNN(27, 36) = 3³.2² = 27.4 = 108.

Vậy BCNN(27, 36) = 108.

b) Ta có 49 = 7², 14 = 2.7.

Khi đó BCNN(49, 14) = 7².2 = 49.2 = 98.

Vậy BCNN(49, 14) = 98.

Bài 2. Học sinh lớp 6A và 6B khi xếp thành 3 hàng, 5 hàng hay 6 hàng đều vừa đủ. Biết số học sinh của hai lớp từ 70 đến 100 học sinh. Tính số học sinh của lớp 6A và 6B.

Lời giải

Vì số học sinh của lớp 6A và 6B xếp thành 3 hàng, 5 thàng hay 6 hàng đều vừa đủ nghĩa là số học sinh của hai lớp 6A và 6B chia hết cho 3 , 5 và 6 hay số học sinh của lớp 6A và 6B là bội chung của 3, 5 và 6.

Ta có: 3 = 3, 6 = 2.3, 5 = 5.

BCNN(3, 5, 6) = 2.3.5 = 30.

BC(3, 5, 6) = B(30) = {0; 30; 60; 90; 120; …}.

Suy ra $x\in \left\{0;30;60;90;120;\dots \right\}$

Biết số học sinh của hai lớp từ 70 đến 100 học sinh nên số học sinh hai lớp là 90.

Vậy số học sinh của hai lớp 6A và 6B là 90 học sinh.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{7}{11}+\frac{5}{3};$ b) $\frac{2}{15}-\frac{1}{20}$.

Lời giải

a) $\frac{7}{11}+\frac{5}{3}=\frac{7.3}{11.3}+\frac{5.11}{3.11}=\frac{21}{33}+\frac{55}{33}=\frac{21+55}{33}=\frac{76}{33};$

b) $\frac{2}{15}-\frac{1}{20}=\frac{2.4}{15.4}-\frac{1.3}{20.3}=\frac{8}{60}-\frac{3}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}.$