Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức nguyên hàm

Công thức Nguyên hàm

I. Định nghĩa, công thức Nguyên hàm

1. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.

Định lí 1:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C; C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

2. Tính chất của nguyên hàm

• (∫ f(x)dx)' = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.

• Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).

• ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.

• ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

II. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến

1.1. Đổi biến dạng 1

a. Định nghĩa.

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:

∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

b. Phương pháp giải

Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

1.2. Phương pháp đổi biến loại 2

a. Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi đó, ta có:

∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt

b. Phương pháp chung

Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.

Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

a. Định lí

Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u'(x)dx

Hay ∫udv = uv - ∫vdu

(với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)

b. Phương pháp chung

Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f₁(x).f₂(x)dx

Bước 2: Đặt:

Bước 3: Khi đó: ∫u.dv = u.v - ∫v.du

c. Các dạng thường gặp

Dạng 1

Dạng 2

Dạng 3

Bằng phương pháp tương tự ta tính được sau đó thay vào I.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Nguyên hàm của hàm đa thức, hàm phân thức

• Nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit