Mệnh đề kéo theo: định nghĩa, các dạng bài và cách giải

Mệnh đề kéo theo: định nghĩa, các dạng bài và cách giải

I. Lý thuyết

+ Định nghĩa: Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo. Kí hiệu là $P\Rightarrow Q$.

+ Ví dụ: P: “$2a-5>0$”, Q: “$a>3$”

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là: “Nếu $2a-5>0$ thì $a>3$”

Mệnh đề $Q\Rightarrow P$ là: “Nếu $a>3$ thì $2a-5>0$”

+ Tính đúng - sai của mệnh đề $P\Rightarrow Q$

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng và Q sai.

+ Phát biểu mệnh đề $P\Rightarrow Q$:

• Tùy theo nội dung, ta có thể phát biểu là “P kéo theo Q”, “Từ P suy ra Q”, “Vì P nên Q”
• Khi mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng, nó là một định lí. Ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí

P là điều kiện đủ để có Q

Q là điều kiện cần để có P

II. Cách giải

- Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.

Kí hiệu là P ⇒ Q.

- Mệnh đề P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

- Tính đúng, sai của mệnh đề kéo theo được xác định như sau:

Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Lưu ý: Để xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q, ta chỉ cần xét trường hợp P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì mệnh đề đúng, nếu Q sai thì mệnh đề sai.

- Trong toán học, định lý là mệnh đề đúng.

- Khi mệnh đề P ⇒ Q là định lý, ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lý;

P là điều kiện đủ để có Q;

Q là điều kiện cần để có P.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai mệnh đề P: “ABCD là hình vuông” và Q: “ABCD là hình bình hành”.

Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: “Nếu ABCD là hình vuông thì ABCD là hình bình hành”.

Ta có:

Với P: “ABCD là hình vuông” và Q: “ABCD là hình bình hành”.

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng (Nếu ABCD là hình vuông thì ABCD là hình bình hành là đúng), nên mệnh đề P ⇒ Q đúng.

Ví dụ 2: Cho hai mệnh đề P: “Tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau” và Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”.

Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.

Hướng dẫn giải:

Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu như sau: “Nếu tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều”.

Ta thấy nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó chưa chắc đã là tam giác đều nên mệnh đề P ⇒ Q sai.

IV. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hai mệnh đề P: “x là số chẵn” và Q: “x chia hết cho 2”.

Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q.

A. Hoặc x là số chẵn hoặc x chia hết cho 2;

B. Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2;

C. Nếu x chia hết cho 2 thì x là số chẵn;

D. x là số chẵn và x chia hết cho 2.

Bài 2: Cho a, b là hai số tự nhiên. Mệnh đề kéo theo nào sau đây đúng?

A. Nếu a, b là số lẻ thì a + b là số lẻ;

B. Nếu a, b là số chẵn thì a.b là số chẵn;

C. Nếu a chẵn, b lẻ thì a.b là số lẻ;

D. Nếu a lẻ, b chẵn thì a + b là số chẵn.

Bài 3: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ∀x ∈ ℝ, x < 0 ⇒ x² < 0;

B. ∀x ∈ ℝ, x > – 1 ⇒ x² > 0;

C. ∀x ∈ ℝ, x > 0 ⇒ x² > x;

D. ∀x ∈ ℝ, x < 0 ⇒ x² > 0.

Bài 4: Cho các mệnh đề kéo theo dưới đây:

(1) “Nếu tam giác ABC vuông tại A thì AB² + AC² = BC²”.

(2) “Nếu ABCD là hình thoi thì ABCD cũng là hình vuông”.

(3) “Tam giác ABC đều thì tam giác ABC có AB = AC”.

Có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3;

Bài 5: Cho ba mệnh đề như sau:

A: “ABCD là hình chữ nhật”.

B: “AB = CD”.

C: “ABCD là hình bình hành”.

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. “A ⇒ B”;

B. “A ⇒ C”;

C. “B ⇒ C”;

D. “C ⇒ B”;

Bài 6: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. “Nếu (– 3) > (– 2) thì (– 3)² > (– 2)²”;

B. “Nếu 3 là số lẻ thì 3 chia hết cho 2”;

C. “Nếu 15 chia hết cho 9 thì 18 chia hết cho 3”;

D. “Nếu 3 chia hết cho 1 và chính nó thì 3 là số nguyên tố”.

Bài 7: Cho hai mệnh đề P: “x chia hết cho 9” và Q: “x chia hết cho 3”.

Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q nào dưới đây là sai?

A. Nếu x chia hết cho 9 thì x chia hết cho 3;

B. x chia hết cho 9 suy ra x chia hết cho 3;

C. x chia hết cho 9 kéo theo x chia hết cho 3;

D. x chia hết cho 3 là điều kiện đủ để x chia hết cho 9.

Bài 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lý?

A. Điều kiện đủ để một số nguyên dương x tận cùng bằng 5 là số đó chia hết cho 5;

B. Điều kiện đủ để diện tích hai tam giác bằng nhau là hai tam giác ấy bằng nhau;

C. Điều kiện đủ để trong mặt phẳng hai đường song song với nhau là hai đường thẳng ấy cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3;

D. Điều kiện đủ để hai đường chéo của một tứ giác vuông góc với nhau là tứ giác ấy là hình thoi.

Bài 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là một định lý?

A. Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau;

B. Nếu một số tự nhiên tận cùng là 5 thì số đó chia hết cho 5;

C. Nếu một tự nhiên chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 9;

D. Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thoi.

Bài 10: Cho mệnh đề kéo theo sau: “Nếu một tứ giác là hình thang cân thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề trên không thể viết là:

A. Một tứ giác là hình thang cân kéo theo tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau;

B. Một tứ giác là hình thang cân là điều kiện đủ để tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau;

C. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện cần để một tứ giác là hình thang cân;

D. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là điều kiện đủ để một tứ giác là hình thang cân.