Lý thuyết, cách xác định và bài tập hệ thức lượng tam giác vuông

Hệ thức lượng tam giác vuông

Khái niệm hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho ΔABC, góc A bằng 90⁰, AH ⊥ BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) AB² = BH.BC hay c² = a.c'

AC² = CH.BC hay b² = a.b'

2) AH² = CH.BH hay h² = b'.c'

3) AB.AC = AH.BC hay b.c = a.h

5) AB² + AC² = BC² hay b² + c² = a² (Định lý Pytago)

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa

2. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

3. Một số hệ thức cơ bản

4. So sánh các tỉ số lượng giác

a) Cho α,β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì

* sinα < sinβ; tanα < tanβ

*cosα > cosβ; cotα > cotβ

b) sinα < tanα; cosα < cotα

Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông

1. Các hệ thức

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC

2. Giải tam giác vuông

Là tìm tất cả các yếu tố còn lại của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông)

Ví dụ minh họa:

Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB ∼ ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).

Lời giải

Xét ΔABH và ΔCAH có:

∠(AHB) = ∠(AHC) = 90^o

∠(BAH) = ∠(ACH) (cùng phụ ∠(CAH))

⇒ ΔABH ∼ ΔCAH (g.g)

Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại A có

S_ABC = 1/2 AB.AC

Xét tam giác ABC có AH là đường cao

⇒ S_ABC = 1/2 AH.BC

⇒ 1/2 AB.AC = 1/2 AH.BC ⇒ AB.AC = AH.BC hay bc = ah

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)

Hình 4

Lời giải:

- Hình a

Theo định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí 1 ta có:

- Hình b

Áp dụng định lí 1 ta có:

=> y = 20 - 7,2 = 12,8

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)

Hình 5

Lời giải:

Áp dụng định lí 1 ta có:

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)

Hình 6

Lời giải:

Áp dụng định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí 3 ta có:

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)

Hình 7

Lời giải:

Theo định lí 2 ta có:

2² = 1.x => x = 4

Theo định lí 1 ta có:

y² = x(1 + x) = 4(1 + 4) = 20