Công thức nguyên hàm | Lý thuyết, công thức, các dạng bài tập và cách giải
Với tài liệu về Công thức nguyên hàm bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Công thức nguyên hàm
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.
Kí hiệu: ∫ f(x)dx = F(x) + C.
Định lí 1:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Do đó F(x) + C; C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.
2. Tính chất của nguyên hàm
• (∫ f(x)dx)' = f(x) và ∫ f'(x)dx = f(x) + C.
• Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫d(F(x)) = F(x) + C).
• ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx với k là hằng số khác 0.
• ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫g(x)dx.
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng công thức nguyên hàm
Đặc biệt: .
5. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến
1.1. Đổi biến dạng 1
a. Định nghĩa.
Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: ∫ f(u)du = F(u) + C thì:
∫ f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
b. Phương pháp giải
Bước 1: Chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.
Bước 3: Biểu thị: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Bước 4: Khi đó: I = ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
1.2. Phương pháp đổi biến loại 2
a. Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) liên tục trên K; x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Khi đó, ta có:
∫ f(x)dx = ∫ f[φ(t)].φ'(t)dt
b. Phương pháp chung
Bước 1: Chọn x = φ( t), trong đó φ(t) là hàm số mà ta chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
c. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp
2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
a. Định lí
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:
∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u'(x)dx
Hay ∫udv = uv - ∫vdu
(với du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx)
b. Phương pháp chung
Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = ∫ f(x)dx = ∫ f1(x).f2(x)dx
Bước 2: Đặt: 
Bước 3: Khi đó: ∫u.dv = u.v - ∫v.du
c. Các dạng thường gặp
Dạng 1
Dạng 2
Dạng 3
Bằng phương pháp tương tự ta tính được 
sau đó thay vào I.
6. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm I=∫(3x2 - x + 1)exdx
A. I = (3x2 - 7x +8)ex + C
B. I = (3x2 - 7x)ex + C
C. I = (3x2 - 7x +8) + ex + C
D. I = (3x2 - 7x + 3)ex + C
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:
Đặt u = 3x2 - x + 1 và dv = exdx ta có du = (6x - 1)dx và v = ex . Do đó:
∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - ∫(6x - 1)exdx
Đặt u1 = 6x - 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx và v1 = ex .
Do đó ∫(6x - 1)exdx = (6x - 1)ex - 6∫exdx = (6x - 1)ex - 6ex + C
Từ đó suy ra
∫(3x2 - x + 1)exdx = (3x2 - x + 1)ex - (6x - 7)ex + C = (3x2 - 7x + 8)ex + C
Vậy chọn đáp án A.
Bài 2:
Lời giải:
Đặt u = ex + 1 ⇒ u' = ex. Ta có
Bài 3: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?
Lời giải:
Cách 1.
Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:
Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u'dx = -∫udu
Vậy chọn đáp án D.
Bài 4: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .
A. I = sin(4x + 2) + C
B. I = - sin(4x + 3) + C
C. I = ().sin(4x + 3) + C
D. I = 4sin(4x + 3) + C
Lời giải:
Đặt u = 4x + 3
⇒ du = 4dx ⇒ dx = du và cos(4x+3)dx được viết thành
Bài 5:
Lời giải:
Vậy chọn đáp án C.
Bài 6: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?
A. Hàm số y = có nguyên hàm trên (-∞; +∞).
B. 3x2 là một số nguyên hàm của x3 trên (-∞; +∞).
C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).
D. + C là họ nguyên hàm của lnx trên (0;+∞).
Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên
hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .
Phương án A sai vì y= không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).
Phương án B sai vì 3x2 là đạo hàm của x3.
Phương án D sai vì là đạo hàm của lnx trên (0; +∞).
Vậy chọn đáp án C.
Bài 7:
Lời giải:
Vậy chọn đáp án B.
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)