Số chính phương là gì? Số chính phương nhỏ nhất, số chính phương lớn nhất

Số chính phương là gì? Số chính phương nhỏ nhất, số chính phương lớn nhất

I. Số chính phương là gì?

Số chính phương là một số nguyên dương mà có thể được viết bằng cách nhân một số nguyên với chính nó. Ví dụ, số 4 là số chính phương vì 4 = 2 x 2, và số 9 cũng là số chính phương vì 9 = 3 x 3. Trong các ví dụ này, chúng ta có thể thấy rằng số chính phương luôn là kết quả của phép nhân một số với chính nó.

Tuy nhiên, không phải tất cả các số đều là số chính phương.

Ví dụ, số 5 không phải là số chính phương vì không có số nguyên nào khi nhân với chính nó sẽ cho kết quả là 5. Tương tự, số 7 cũng không phải là số chính phương.

Các số chính phương đầu tiên là: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...

II. Đặc tính của số chính phương

1. Công thức số chính phương

Một số chính phương có thể được biểu diễn dưới dạng n², trong đó n là một số nguyên. Ví dụ, 4 là số chính phương vì 4 = 2², và 9 là số chính phương vì 9 = 3².

2. Tổng của các số lẻ liên tiếp

Mỗi số chính phương có thể được tính bằng cách cộng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.

Ví dụ, 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, và 16 = 1 + 3 + 5 + 7.

3. Chữ số cuối cùng của một số chính phương

Trong hệ thập phân, chữ số cuối cùng của một số chính phương chỉ có thể là 0, 1, 4, 5, 6 hoặc 9. Ví dụ, 16, 25 và 36 đều là các số chính phương vì chữ số cuối cùng của chúng là 6, 5 và 6 tương ứng.

4. Tính chất chia hết của số chính phương

Nếu một số chính phương chia hết cho một số nguyên tố, thì nó cũng chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 2² = 4.

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 3² = 9.

- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 5² = 25.

- Số chính phương chia hết cho 8 (= 2³) thì cũng chia hết cho 2⁴ = 16 (viết dưới dạng lũy thừa của một số).

- Số chính phương 36 ( 6² ) chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 ( 2² )

- Số chính phương 144 ( 12² ) chia hết cho 3 (144 : 3 = 48) => 144 chia hết cho 9 (144 : 9 = 16)

5. Cấu trúc hình học của số chính phương

Khi sắp xếp các số chính phương vào một dạng hình học, chúng có thể được sắp xếp thành các hình vuông. Mỗi điểm trên hình vuông biểu thị một số chính phương. Độ dài cạnh của hình vuông tương ứng với căn bậc hai của số chính phương.

III. Số chính phương nhỏ nhất, lớn nhất

1. Số chính phương nhỏ nhất

Số chính phương nhỏ nhất là số chính phương có giá trị nhỏ nhất.

Nếu chỉ xét các số tự nhiên dương, thì số chính phương nhỏ nhất là 1. Bởi vì 1 có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của 1, tức là 1² = 1.

Tuy nhiên, nếu xét tất cả các số tự nhiên, bao gồm cả số 0, thì số chính phương nhỏ nhất là 0. Bởi vì 0 có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của 0, tức là 0² = 0.

Còn trong dãy số từ 0 đến 100 thì có có tất cả 10 số chính phương nhỏ hơn 100. Nó bao gồm số: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

2. Số chính phương lớn nhất

- Số chính phương lớn nhất có 1 chữ số là số 9

- Số chính phương lớn nhất có 2 chữ số là số 81

- Số chính phương lớn nhất có 3 chữ số là 312

- Số chính phương lớn nhất có 4 chữ số là 9801

- Số chính phương lớn nhất có 5 chữ số là 99856

3. Hằng đẳng thức tính hiệu hai số chính phương

a² - b² = (a + b)(a - b)

IV. Cách nhận biết số chính phương

- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0,1,4,5,6,9. Nếu các số tận cùng là 2,3,7,8 thì không phải là số chính phương.

- Ngoại trừ số 0 và số 1 thì các số chính phương còn lại: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100..v.v Đều là số chính phương lớn hơn 1.

- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

- Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 4 dạng: 4n hoặc 4n + 1, 3n hoặc 3n + 1

Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2, 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n thuộc tập hợp số tự nhiên N).

- Số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

- Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

- Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; chia cho 4 không bao giờ dư 2 hoặc 3; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1. Ví dụ: 81:8 = 10 dư 1.

- Số ước nguyên dương của số chính phương chính là một số lẻ.

- Tất cả các số chính phương đều có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1. Bắt đầu từ 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9;…v.v

V. Các dạng bài tập về số chính phương

Dạng 1: Chứng minh số chính phương

Ví dụ: Chứng minh rằng số B = 4n⁴ + 4n³ + n² là số chính phương với mọi số nguyên dương n.

Lời giải:

B = 4n⁴ + 4n³ + n² = n² x (4n² + 4n + 1) = n² x (2n + 1)²

Ta thấy, B có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai bình phương. Hoặc B = [n(2n+1)]², và n(2n + 1) là một số nguyên. Vậy nên kết luận B là một số chính phương.

Dạng 2: Tìm n sao cho một số là chính phương

Ví dụ: Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: B = n² + 4n + 1.

Lời giải:

Vì số B là chính phương, ta đặt n² + 4n + 1 = b²

=> 4n² + 16n + 4 = 4b²

=> (4n² + 16n + 16) -16 + 4 = 4b²

=> (2n + 4)² - 4b² = 12

=> (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12

Ta nhận thấy 2n + 4 + 2b > 2n + 4 - 2b, và đây đều những số nguyên dương. Vậy nên ta có thể tìm các cặp số tương ứng: (12,1), (6,2) và (4,3). Bạn cần xét đến từng trường hợp để tìm ra n và b. Cụ thể:

Trường hợp 1: (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 => n = 5/4, b = 11/4

Trường hợp 2: (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 => n = 0, b = 1

Trường hợp 3: (2n + 4 + 2b) x (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 => n = -1/4, b = 1/4

Nhưng n là số tự nhiên, nên chỉ có đáp án n = 0, b = 1 là thỏa mãn. Và n = 0, suy ra số chính phương B = 1.