Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính cấp số nhân

Cấp số nhân

I. Lý thuyết cấp số nhân

1) Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1 . q với $n\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

2) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n - 1} với $n\ge 2.$

3) Tính chất

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ với $k\ge 2.$

(Hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}$).

4) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n=\frac{u_1\left(q^n-1\right)}{q-1}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

II. Các dạng toán

Dạng 1. Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số nhân

Phương pháp giải:

- Dãy số (u_n) là một cấp số nhân khi và chỉ khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn u­₁ và q. Tìm u­₁ và q.

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: u_n = u₁ . qn^-1 hoặc công thức truy hồi u_n = u_{n – 1} . q.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng đầu tiên và công bội:

a) 1; – 2; 4; – 8; 16; – 32; 64

b) Dãy (u_n): u_n = n.6ⁿ⁺¹

c) Dãy (v_n): v_n = (– 1)ⁿ.3²ⁿ.

Lời giải

a) Ta thấy $\frac{-2}{1}=\frac{4}{-2}=\frac{-8}{4}=\frac{16}{-8}=\frac{-32}{16}=\frac{64}{-32}=-2$

Nên dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là u₁ = 1 và công bội q = – 2.

b) Ta có: u_n = n. 6ⁿ⁺¹ thì u_n+1 = (n + 1).6ⁿ⁺²

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\left(n+1\right)6^{n+2}}{n{.6}^{n+1}}=\frac{6\left(n+1\right)}{n}$ phụ thuộc vào n

Nên dãy số trên không là cấp số nhân.

c) Ta có: v_n = (– 1)ⁿ. 3²ⁿ thì v_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹. 3²⁽ⁿ⁺¹⁾

Xét $\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}{3}^{2n+2}}{{\left(-1\right)}^n{3}^{2n}}=\left(-1\right){.3}^2=-9$ không đổi.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên u₁ = (– 1)¹.3^2.1 = – 9 và công bội q = – 9.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}\right.$

a) Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên.

d) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

Lời giải

a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_5=51\\ u_2+u_6=102\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_1{q}^4=51\\ u_{1}q+u_1{q}^5=102\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(1+q^4\right)=51\\ u_{1}q\left(1+q^4\right)=102\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên ta được q = 2.

Suy ra $u_1=\frac{51}{1+q^4}=\frac{51}{1+2^4}=3$

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u₁ = 3 và công bội q = 2.

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là u_n = u₁. q^n–1 nên u_n = 3.2^n–1.

c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: u₁₅ = 3.2¹⁴ = 49152.

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:

$$\begin{gathered} u_n=12288\iff {3.2}^{n-1}=12288 \\ \iff 2^{n-1}=2^{12}\iff n=13 \end{gathered}$$.

Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Dạng 2. Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân. Chứng minh cấp số nhân

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng u_{k – 1} ; u_k ; u_{k + 1} là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi $u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm x sao cho các số 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân.

Lời giải

Ta có: 1; x²; 6 – x² lập thành cấp số nhân

$$\begin{gathered} \iff x^4=1.\left(6-x^2\right)\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2=2\\ x^2=-3\left(Loại\right)\end{array}\right. \\ \iff x=\pm \sqrt{2} \end{gathered}$$

Vậy $x=\pm \sqrt{2}$ thì các số trên lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 2: Các số 5x – y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; các số (y + 1)² ; xy + 1 ; (x – 1)² lập thành cấp số nhân. Tìm x và y.

Lời giải

Vậy $(x;y)\in \left\{\left(0;0\right);\left(\frac{10}{3};\frac{4}{3}\right);\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{10}\right)\right\}$.

Dạng 3. Tính tổng của một cấp số nhân

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên S_n được xác định bởi công thức: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q},\left(q\ne 1\right).$

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁; … khi đó S_n = n.u₁.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n)

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2.( –3)^k. Tính S₁₅.

b) (u­_n) có số hạng đầu là 18, số hạng thứ hai kia là 54, số hạng cuối bằng 39366. Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 2. (– 3)^k thì u₁ = 2 và q = – 3

Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

$S_{15}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{2.\left[1-{\left(-3\right)}^{15}\right]}{1-\left(-3\right)}=\frac{3^{15}+1}{2}$

b) Số hạng đầu tiên u₁ = 18

Số hạng thứ hai $u_2=54\Rightarrow u_{1}q=54\Rightarrow q=3$

Số hạng cuối $u_n=39366$

$$\begin{gathered} \iff u_1.q^{n-1}=39366\iff {18.3}^{n-1}=39366 \\ \iff 3^{n-1}=3^7\iff n=8 \end{gathered}$$

Vậy ${\text{S}}_8=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{18.\left(1-3^8\right)}{1-3}=59040$

Ví dụ 2: Tính tổng

a) $S_n=9+99+999+\mathrm{...}+\underset{nsố9}{\underbrace{\mathrm{999..9}}}$

b) $S_n=8+88+888+\mathrm{...}+\underset{nsố8}{\underbrace{\mathrm{88...8}}}$

Lời giải

III. Bài tập tự luyện

Câu 1. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. u_n = 7 – 3n.

B. u_n = 7 – 3ⁿ.

C. $u_n=\frac{7}{3n}.$

D. u_n = 7.3ⁿ.

Câu 2. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_1=-\frac{1}{2},u_7=-32$. Khi đó q là?

A. $\pm 2$.

B. $\pm \frac{1}{2}$.

C. $\pm 4$.

D. Tất cả đều sai.

Câu 3. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_1=-1;q=\frac{-1}{10}$. Số $\frac{1}{{10}^{103}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số hạng thứ 103.

B. Số hạng thứ 104.

C. Số hạng thứ 105.

D. Đáp án khác.

Câu 4. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_2=\frac{1}{4};u_5=16$. Tìm q và số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

A. $q=4,u_1=\frac{1}{16}$.

B. $q=\frac{1}{2};u_1=\frac{1}{2}$.

C. $q=-\frac{1}{2},u_1=-\frac{1}{2}$.

D. $q=-4,u_1=-\frac{1}{16}$.

Câu 5. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3; q = – 2. Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số hạng thứ 6.

B. Số hạng thứ 5.

C. Số hạng thứ 7.

D. Đáp án khác.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập

Giới hạn của hàm số và cách giải bài tập