Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:

∫f(x)dx=F(x)+C (∀ C∈R)

2. Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
• Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.
• Định lý 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

II. Bảng công thức nguyên hàm

1. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

2. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

3. Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

4. Bảng công thức nguyên hàm hàm số lượng giác

III. Phương pháp giải bài tập nguyên hàm

Phương pháp 1: Phương pháp đổi biến số

Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, các em cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

Phương pháp đổi biến loại 1:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải:

Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp 2: Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx

hay ∫udv = uv−∫vdu (với du=u′(x)dx, dv=v′(x)dx)

Cách giải:

Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:

Tiếp theo, đặt:

Lúc này thì các em sẽ có: