Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

    Với tài liệu về Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 1,690 18/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm

    I. Lý thuyết

    1. Định nghĩa nguyên hàm

    Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

    Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:

    3 định lý của nguyên hàm là:

    • Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
    • Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.
    • Định lý 3: Trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

    3 tính chất cơ bản của nguyên hàm được thể hiện như sau:

    II. Bảng công thức nguyên hàm

    1. Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

    Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất (ảnh 1)

    2. Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

    Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất (ảnh 1)

    3. Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

    Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất (ảnh 1)

    4. Bảng công thức nguyên hàm hàm số lượng giác

    Tổng hợp bảng công thức nguyên hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất (ảnh 1)

    III. Phương pháp giải bài tập nguyên hàm

    Phương pháp 1: Phương pháp đổi biến số

    Đây là phương pháp được sử dụng rất nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, các em cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

    Phương pháp đổi biến loại 1:

    Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

    ∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

    Cách giải:

    Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính vi phân hai vế: dt = φ'(t)dt.

    Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

    Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

    Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:

    ∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

    Cách giải:

    Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

    Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

    Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

    Phương pháp 2: Phương pháp nguyên hàm từng phần

    Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

    Cách giải:

    Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:

    Tiếp theo, đặt:

    Lúc này thì các em sẽ có:

    IV. Bài tập vận dụng

    Bài 1:

    a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.

    b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

    Hướng dẫn giải bài tập:

    a. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập xác định D.

    Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D khi Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

    b.

    Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được định nghĩa như sau:

    Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên D, khi đó ta có công thức:

    ∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hay ∫udv = uv – ∫vdv

    Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm số A = ∫xexdx

    Lời giải:

    Bài 2:

    Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

    a. f(x)=(x−1)(1−2x)(1−3x)

    b. f(x)=sin(4x).cos2(2x)

    c. f(x)=11-x2

    d. f(x)=(ex−1)3​

    Hướng dẫn giải bài tập:

    a. Ta có:

    Suy ra

    b. Ta có:

    Suy ra:

    c. Ta có:

    Suy ra:

    d. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc các em còn có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau:

    Ta có:

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 1,690 18/09/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: