Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính độ dài đường trung tuyến

    Với tài liệu về các công thức tính độ dài đường trung tuyến bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

     

    1 76 05/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Độ dài đường trung tuyến

    A. Phương pháp giải

    Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    B. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

    Hướng dẫn giải:

    Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

    Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

    Hướng dẫn giải:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

    Đặt BE = mb, CD = mc

    Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Vậy b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

    Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết). Độ dài AC là:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Hướng dẫn giải:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Đáp án B

    Ví dụ 4: Tam giác ABC có BC = 6, AC = Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết), AB = 2. M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Giá trị của AM là?

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Hướng dẫn giải:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Mà M thuộc BC.

    Do đó M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có.

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Đáp án C

    Ví dụ 5: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Hướng dẫn giải:

    Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Đáp án A

    C. Bài tập tự luyện

    Bài 1. Tam giác ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

    Hướng dẫn giải:

    Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC nên BM = MC = 12BC = 6 cm

    Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMC có:

    AC2 = AM2 + MC2 ⇒AM=AC2-MC2 = 8 cm

    Bài 2. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc BAC^=120°, AB = 4 cm, AC = 6 cm

    Hướng dẫn giải:

    Ta có BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos120o

    ⇒BC=29

    ⇒AM2=AB2+AC22-BC24

    ⇒AM=7

    Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Tính độ dài cạnh AB.

    Hướng dẫn giải:

    Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6

    Suy ra BC = 12

    Mặt khác:

    Công thức, cách tính độ dài đường trung tuyến (cực hay, chi tiết)

    Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC= 16 cm. Kẻ trung tuyến AM.

    a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

    b) Tính độ dài AM.

    Hướng dẫn giải:

    a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

    Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

    Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

    Vậy AM vuông góc với BC

    b. Ta có

    BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

    AB = AC = 17cm

    Xét tam giác AMC vuông tại M

    Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC2 = AM2 + MC2 hay 172 = AM2 + 82.

    Suy ra AM2 = 172 – 82 = 225.

    Do đó AM = 15 cm.

    Bài 5. Cho tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17 cm, NP= 16 cm. Kẻ trung tuyến MI.

    a) Chứng minh: MI ⊥ NP;

    b) Tính độ dài MI.

    Hướng dẫn giải:

    a) Do MI là đường trung tuyến MNP nên IP = IN.

    Mặt khác tam giác MNP cân tại M.

    Do đó MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao hay MI ⊥ NP.

    b) Ta có:

    • NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.

    • MN = MP = 17 cm.

    Xét tam giác MIP vuông tại I

    Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

    • MP2 = MI2 + IP2 hay 192 = MI2 + 82

    • MI2 = 172 – 82 = 225 suy ra MI = 15 cm.

    Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 76 05/08/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: