Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính độ dài đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến

A. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi m_a; m_b; m_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là m_a; m_b; m_c.

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, có BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b² + c² = 5a² thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Đặt BE = m_b, CD = m_c

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

Vậy b² + c² = 5a² thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 và độ dài đường trung tuyến . Độ dài AC là:

Hướng dẫn giải:

BM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có:

Đáp án B

Ví dụ 4: Tam giác ABC có BC = 6, AC = , AB = 2. M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Giá trị của AM là?

Hướng dẫn giải:

Mà M thuộc BC.

Do đó M là trung điểm của BC => AM là trung tuyến của tam giác ABC, áp dụng công thức trung tuyến ta có.

Đáp án C

Ví dụ 5: Gọi S = m_a² + m_b² + m_c² là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

Đáp án A

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam giác ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Hướng dẫn giải:

Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC = 6 cm

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMC có:

AC² = AM² + MC² $\Rightarrow AM=\sqrt{A{C}^2-M{C}^2}$ = 8 cm

Bài 2. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc $\widehat{BAC}=120°$, AB = 4 cm, AC = 6 cm

Hướng dẫn giải:

Ta có BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos120^o

$\Rightarrow BC=2\sqrt{9}$

$\Rightarrow A{M}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}$

$\Rightarrow AM=\sqrt{7}$

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Tính độ dài cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6

Suy ra BC = 12

Mặt khác:

Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC= 16 cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC² = AM² + MC² hay 17² = AM² + 8².

Suy ra AM² = 17² – 8² = 225.

Do đó AM = 15 cm.

Bài 5. Cho tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17 cm, NP= 16 cm. Kẻ trung tuyến MI.

a) Chứng minh: MI ⊥ NP;

b) Tính độ dài MI.

Hướng dẫn giải:

a) Do MI là đường trung tuyến MNP nên IP = IN.

Mặt khác tam giác MNP cân tại M.

Do đó MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao hay MI ⊥ NP.

b) Ta có:

• NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.

• MN = MP = 17 cm.

Xét tam giác MIP vuông tại I

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

• MP² = MI² + IP² hay 19² = MI² + 8²

• MI² = 17² – 8² = 225 suy ra MI = 15 cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Cách chứng minh Hai vecto vuông góc (cực hay, chi tiết)

• Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước cực hay (45 độ, góc nhọn, góc tù)