Bán kính mặt cầu

Bán kính mặt cầu

1. Lý thuyết

Một mặt cầu với tâm O và bán kính R được ký hiệu là S(O, R).

2. Công thức tìm tâm và bán kính mặt cầu

+ Phương trình (S): là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

+ Phương trình (S): thỏa mãn điều kiện là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính:

3. Ví dụ minh họa

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu (S): có tâm I (-1; 2; 1) và bán kính R = 3

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình .. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Bài 1 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

Giải

Ta có: $R_d=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{9a^2+16a^2}}{2}=\frac{5a}{2}$

Vậy $R=\sqrt{{R^2}_d+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{5a}{1}\right)}^2+{\left(\frac{12a}{2}\right)}^2}=\frac{13a}{2}$

Bài 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=a,\widehat{ASB}=\widehat{ASC}={90}^0,\widehat{BSC}={60}^0.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

Giải

Ta có $\left\{\begin{array}{l}SA\perp SB\\ SA\perp SC\end{array}\Rightarrow SA\perp \left(SBC\right)\right.$

Vì vậy, $R=\sqrt{{R^2}_{SBC}+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{BC}{2\sin \widehat{BSC}}\right)}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{7}{12}}a$

Bài 3: Cho khối chóp tam giác $S.ABC$ có $SA,AB,AC$ đôi một vuông góc. Biết rằng $SA=24;AB=6;AC=8.$ Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho là

Giải

Áp dụng công thức cho chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hoặc đặc biệt ở đây là tứ diện vuông đỉnh A ta có

$S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{AS}}^2+{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2}{4}=({\mathrm{AS}}^2+{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2)\mathrm{\pi }=({24}^2+6^2+8^2)\mathrm{\pi }=676\mathrm{\pi }$

Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(−2; 3; 4) cắt mặt phẳng tọa độ (Oxz) theo một hình tròn giao tuyến có diện tích bằng 16π. Thể tích của khối cầu đó bằng

A. 80π.

B. π.

C. 100π.

D. 25π

Giải:

Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến.

Hình tròn giao tuyến có diện tích bằng 16π ⇔ = 16π <=> r = 4

Khoảng cách từ I(−2; 3; 4) đến (Oxz) là h = |y1 | = 3.

Suy ra R = 5

Thể tích khối cầu (S) là π.

Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 3) cắt mặt phẳng (β) : 2x − y + 2z − 8 = 0 theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng 8π. Diện tích mặt cầu (S) bằng

A 80π.

B 50π.

C 100π.

D 25π.

Giải:

Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên bán kính của nó là r = 4.

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là d = d (I, (β)) = 2

Theo công thức = 20

Diện tích của mặc cầu (S) là S = 80π.

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2). Mặt phẳng (α) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (α).

A. R = 1.

B. R = 5.

C. R = 3.

D. R = 7

Bài 7: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

a) (x-2)²+(y+3)²+z²=5

b) x²+y²+z²-2x+4y-6z+1=0

c) 3x²+3y²+3z²-6x+3y+21=0

Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a) x²+y²+z²-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

b) x²+y²+z²-2(m-3)x-4mz+8=0