Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Bán kính mặt cầu

    Với tài liệu về Bán kính mặt cầu bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 189 03/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Bán kính mặt cầu

    1. Lý thuyết

    Một mặt cầu với tâm O và bán kính R được ký hiệu là S(O, R).

    2. Công thức tìm tâm và bán kính mặt cầu

    + Phương trình (S): (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2} là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

    + Phương trình (S): x^{2}+ y^{2} + z^{2} -2ax -2by -2cz + d = 0thỏa mãn điều kiện x^{2}+ y^{2} + z^{2} - d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính:

    R = \sqrt{x^{2}+ y^{2} + z^{2} - d }

    3. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x+1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-1)^{2} = 9Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).A. I(−1; 2; 1) và R = 3. B. I(1; −2; −1) và R = 3.C. I(−1; 2; 1) và R = 9. D. I(1; −2; −1) và R = 9

    Lời giải chi tiết:

    Mặt cầu (S): (x+1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-1)^{2} = 9 có tâm I (-1; 2; 1) và bán kính R = 3

    Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x+1)^{2} + (y+3)^{2} + z^{2} = 9.. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

    A. I(−1; 3; 0); R = 3.
    B. I(1; −3; 0); R = 9.
    C. I(1; −3; 0); R = 3.
    D. I(−1; 3; 0); R = 9.
    Lời giải chi tiết:
    Mặt cầu đã cho có tâm I(1; −3; 0) và bán kính R = 3.
    3. Bài tập vận dụng

    Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=3a,BC=4a,SA=12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

    Giải

    Ta có: Rd=AC2=AB2+AC22=9a2+16a22=5a2

    Vậy R=R2d+h22=5a12+12a22=13a2

    Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a,ASB^=ASC^=900,BSC^=600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

    Giải

    Ta có SA⊥SBSA⊥SC⇒SA⊥(SBC)

    Vì vậy, R=R2SBC+SA22=BC2sinBSC^2+SA22=712a

    Bài 3: Cho khối chóp tam giác S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Biết rằng SA=24; AB=6; AC=8. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho là

    Giải

    Áp dụng công thức cho chóp có cạnh bên vuông góc với đáy hoặc đặc biệt ở đây là tứ diện vuông đỉnh A ta có

    S=4πR2=4πAS2+AB2+AC24=(AS2+AB2+AC2)π=(242+62+82)π=676π

    Bài 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(−2; 3; 4) cắt mặt phẳng tọa độ (Oxz) theo một hình tròn giao tuyến có diện tích bằng 16π. Thể tích của khối cầu đó bằng

    A. 80π.

    B. \frac{500}{3}π.

    C. 100π.

    D. 25π

    Giải:

    Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến.

    Hình tròn giao tuyến có diện tích bằng 16π ⇔ \pi r^{2} = 16π <=> r = 4

    Khoảng cách từ I(−2; 3; 4) đến (Oxz) là h = |y1 | = 3.

    Suy ra R = 5

    Thể tích khối cầu (S) là \frac{500}{3}π.

    Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 3) cắt mặt phẳng (β) : 2x − y + 2z − 8 = 0 theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng 8π. Diện tích mặt cầu (S) bằng

    A 80π.

    B 50π.

    C 100π.

    D 25π.

    Giải:

    Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên bán kính của nó là r = 4.

    Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là d = d (I, (β)) = 2

    Theo công thức R^{2}= r^{2}+ d^{2} = 20

    Diện tích của mặc cầu (S) là S = 80π.

    Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2). Mặt phẳng (α) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (α).

    A. R = 1.

    B. R = 5.

    C. R = 3.

    D. R = 7

    Bài 7: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó

    a) (x-2)2+(y+3)2+z2=5

    b) x2+y2+z2-2x+4y-6z+1=0

    c) 3x2+3y2+3z2-6x+3y+21=0

    Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

    a) x2+y2+z2-2mx+2(m+1)y-4z+1=0

    b) x2+y2+z2-2(m-3)x-4mz+8=0

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 189 03/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: