Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

I. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

A.B + A.C = A( B + C )

Giải thích: Phương pháp đặt nhân tử chung trong phân tích đa thức thành nhân tử là nhóm các hạng tử có nhân tử chung.

Ví dụ:

a) 3x² + 6x

= 3x.x + 3x.2

= 3x.( x + 2 )

b) x²y + xy² + x²y²

= xy.x + xy.y + xy.xy

= xy ( x +y + xy )

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

( a + b )² = a² + 2ab + b²

( a - b )² = a² - 2ab + b²

a² - b² = ( a - b )( a + b )

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² )

a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức là áp dụng các hằng đẳng thức đó để biến tổng thành tích

Ví dụ:

a) 4x² - 16y²

= ( 2x )² - ( 4y )²

= ( 2x - 4y )(2x + 4y)

b) x³ + 6x² + 12x + 7

= x³ + 6x² + 12x + 8 - 1

= x³ + 3.x.2 + 3.x.2² + 2³ - 1

= ( x + 2 )³ - 1

= ( x + 2 -1 ) [( x + 2 )² + ( x + 2 ) + 1]

= ( x + 1 )( x² + 4x + 4 + x + 2 + 1 )

= ( x + 1 )( x² + 5x + 7 )

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử là nhóm các hạng tử phù hợp nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc sử dụng các hằng đẳng thức.

Ví dụ:

a) x² - 3x + xy - 3y

= ( x² - 3x ) + ( xy - 3y )

= x( x - 3 ) + y ( x-3 )

= ( x - 3 )( x + y )

b) x² - 2x - y² + 1

= x² - 2x + 1 - y²

= ( x² - 2x + 1 ) - y²

= ( x - 1 )² - y²

= ( x - 1 - y )( x - 1 + y )

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp là sửa dụng kết hợp hai hay nhiều phương pháp như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử.

Ví dụ:

2x - 2y + y² - 2xy + x²

= ( 2x - 2y ) + ( y² - 2xy + x² )

= 2( x - y ) + ( x² - 2xy + y² )

= 2( x- y ) + ( x - y )²

= ( x- y )[ 2 + ( x - y)]

5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử

Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử là tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.

Ví dụ:

x² + 5x + 6

= x² + 2x + 3x + 6

= ( x² + 2x ) + ( 3x + 6 )

= x( x + 2 ) + 3( x + 2 )

= ( x + 2 )( x + 3 )

Chú ý: Với đa thức có dạng ax² + bx + c với ( a ≠ 0 ) ta tách bx = b₁x + b₂x sao cho b₁b₂ = ac

6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ là đặt các hạng tử giống nhau thành biến mới để đưa đa thức đã cho về một đa thức với biến mới vừa đặt. Sau đó áp dụng các phương pháp cơ bản.

Ví dụ:

x⁴ + 3x² - 4

Đặt x² = t ( t ≥ 0 )

Khi đó đa thức ban đầu trở thành:

t² + 3t - 4

= t² + 4t - t - 4

= t( t + 4 ) - ( t + 4 )

= ( t + 4 )( t - 1 )

Đổi biến t thành x² nên ta có

x⁴ + 3x² - 4 = ( x² + 4 )( x² - 1 )

7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử là thêm bớt các hạng tử mới để cùng với các hạng tử cũ có thể ghép thành hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

x⁴ + 4

Lời giải:

x⁴ + 4

= ( x² )² + 2²

= ( x² )² + 4x² - 4x² + 2²

= ( x2 )² + 4x² + 2² - 4x²

= (( x²)²+ 4x²+ 2² ) - (2x)²

= (( x²)²+ 2.x².2+ 2² ) - (2x)²

= ( x² + 2 )² - (2x)²

= ( x² + 2 - 2x )( x² + 2 + 2x )

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a, ( ab - 1 )² + ( a + b )²

b, x³ + 2x² + 2x + 1

c, x² - 2x - 4y² - 4y

Lời giải:

a) Ta có ( ab - 1 )² + ( a + b )² = a²b² - 2ab + 1 + a² + 2ab + b²

= a²b² + a² + b² + 1 = ( a²b² + a² ) + ( b² + 1 )

= a²( b² + 1 ) + ( b² + 1 ) = ( a² + 1 )( b² + 1 )

b) Ta có x³ + 2x² + 2x + 1 = ( x³ + 1 ) + ( 2x² + 2x )

= ( x + 1 )( x² - x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x² + x + 1 )

c) Ta có x² - 2x - 4y² - 4y = ( x² - 4y² ) - ( 2x + 4y )

= ( x - 2y )( x + 2y ) - 2( x + 2y )

= ( x + 2y )( x - 2y - 2 ).

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau A = x⁶ - 2x⁴ + x³ + x² - x, biết x³ - x = 6.

Lời giải:

Ta có: A = x⁶ - 2x⁴ + x³ + x² - x = ( x⁶ - 2x⁴ + x² ) + ( x³ - x )

= ( x³ - x )² + ( x³ - x )

Với x³ - x = 6 = ( x³ - x )² + ( x³ - x ), ta có A = 6² + 6 = 36 + 6 = 42.

Vậy A = 42.

Bài 3: Tìm x biết

Lời giải:

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) A = x⁴ – 11x³ + 26x² – 22x + 48;

b) B = x⁵ + 3x⁴ + x³ − 11x² − 30x – 20.

Lời giải:

a) A = x⁴ – 8x³ – 3x³ + 24x² + 2x² – 16x – 6x + 48

= (x – 8)(x³ – 3x² + 2x – 6)

= (x – 8)(x – 3)(x² + 2).

b) B = x⁵ + 3x⁴ + x³ − 11x² − 30x – 20

= x⁵ – 5x³ + 3x⁴ – 15x² + 6x³ – 30x + 4x² – 20

= (x² − 5)(x³ + 3x² + 6x + 4)

= (x² − 5)(x³ + 2x² + 4x + x² + 2x + 4)

= (x² − 5)(x² + 2x + 4) (x + 1).

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) A = x⁴ + 5x³ + 7x² + 5x + 6

b) B = x³ − 11x² + 10x

Lời giải:

a) A = x⁴ + 5x³ + 7x² + 5x + 6

= x⁴ + 3x³ + 2x³ + 6x² + x² + 3x + 2x + 6

= (x + 3)(x³ + 2x² + x + 2)

= (x + 3)(x³ + x + 2x² + 2)

= (x + 3)(x² + 1)(x + 2).

b) B = x³ − 11x² + 10x

= x(x² − 11x+ 10)

= x(x² – x – 10x + 10)

= x(x – 1)(x – 10).

Bài 6. Tìm x, biết:

a) x³ − 5x² − 9x + 10 = –35

b) x⁵ − 4x³ + 5x² – 20 = 0

Lời giải:

a) x³ − 5x² − 9x + 10 = –35

x³ − 5x² − 9x + 45 = 0

x(x² – 9) – 5(x² – 9) = 0

(x – 5)(x² – 9) = 0

(x – 5)(x – 3)(x + 3) = 0

x – 5 = 0 hoặc x – 3 = 0 hoặc x + 3 = 0

x = 5 hoặc x = 3 hoặc x = –3

Vậy x ∈ {–3; 3; 5}.

b) x⁵ − 4x³ + 5x² – 20 = 0

x³(x² – 4) + 5(x² – 4) = 0

(x² – 4)(x³ + 5) = 0

(x + 2)(x – 2)(x³ + 5) = 0

x + 2 = 0 hoặc x – 2 = 0 hoặc x³ + 5 = 0

x = 2 hoặc x = – 2 hoặc x = $-\sqrt[3]{5}$.

Vậy $x\in \left\{-2;-\sqrt[3]{5};2\right\}$.

Bài 7. Cho P = x² + 11x + 24. Tìm x để P chia hết cho 4.

Lời giải:

P = x² + 11x + 24

= x² + 3x + 8x + 24

= (x + 3)(x + 8)

Nhận thấy, (x + 3) và (x + 8) không cùng lúc chẵn.

Nên P ⁝ 4 khi và chỉ khi (x + 3) ⁝ 4 hoặc (x + 8) ⁝ 4.

• Trường hợp 1: x + 3 ⁝ 4 nên x = 4k + 1 (k ∈ ℤ).

• Trường hợp 2: x + 8 ⁝ 4 nên x = 4h (h ∈ ℤ).

Bài 8. Tìm x, biết: x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 = 0.

Lời giải:

x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 = 0

x⁴ + x³ + 9x³ + 9x² + 26x² + 26x + 24x + 24 = 0

(x + 1)(x³ + 9x² + 26x + 24) = 0

(x + 1)( x³ + 2x² + 7x² + 14x + 12x + 24) = 0

(x + 1)(x + 2)(x² + 7x + 12) = 0

(x + 1)(x + 2)(x² + 3x + 4x + 12) = 0

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 0

Vậy x ∈ {–1; –2; –3; –4}.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

a) x² - 6x

b) 3( x - y ) - 5x ( y - x )

c) 4x - 6y

d) 5( x + 3y ) - 15x( x + 3y )

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

a) ( x - 3 )² - ( 5 - 2x )²

b) ( x + y )² - x² + 4xy - 4y²

c) ( x + y )³ - ( x - y )³

d) x³ + y³ + z² - 3xyz

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

a) x⁴ - 9x³ + x² - 9x

b) 3x² + 5y - 3xy + ( -5x )

c) x² + y – xy - x

d) 2xy + 3z + 6y +xz

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) x² + 4x - 12

b) 2x² - 3x - 2

c) x⁴ + 2x² - 8

d) x² - 2xy - 3y²

e) ( 2x + 1 )⁴ - 3( 2x + 1 )² + 2

f) 64x⁴ + 1

g) 81x⁴ + 4

h) x⁵ + x + 1

i) x⁴ + 4

Bài 5. Tìm nhân tử chung của các biểu thức:

a) A = $5x^3+16x^2+8x+16+\frac{3}{x}\text{}$;

b) B = $5x^4+21x^2+19+\frac{3}{x^2}$.

Bài 6. Cho biểu thức P = x⁴ + x³ + 2x + 2. Với giá trị nào của x thì P ⁝ 10?

Bài 7. Cho biểu thức P = x⁴ + 8x³ + 32x² + 256x. Với giá trị nào của x thì P ⁝ 16?

Bài 8. Tìm x, biết: $x^2+2x+5+\frac{7}{x-2}=0$.

Bài 9. Tìm nhân tử chung của biểu thức: P = 2x⁴ − 11x³ − 7x² + 51x + 45.