Công thức tính tổng dãy số cách đều

Công thức tính tổng dãy số cách đều

I. Phương pháp giải

- Xác định khoảng cách của hai số hạng liên tiếp.

- Xác định số số hạng của tổng:

Số số hạng = (số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1

- Tổng dãy số cách đều = (số hạng đầu + số hạng cuối) × số số hạng : 2

- Cách xác định số hạng thứ n của tổng

Số hạng thứ n của tổng cách đều = số hạng đầu + (n – 1) × khoảng cách.

- Công thức tính số cuối dãy số cách đều

Số cuối dãy số cách đều = Số hạng đầu + (số số hạng - 1) x Đơn vị khoảng cách

Ví dụ: Dãy số 1 + 3 + 5 + 7 + ... có 25 số hạng. Tìm số hạng cuối của dãy số trên?

Số hạng cuối của dãy số trên là:

1 + ( 25 - 1) x 2 = 49

- Công thức tính số đầu dãy số cách đều

Số đầu dãy số cách đều = số hạng cuối - (số số hạng - 1) x Đơn vị khoảng cách

Ví dụ:Tìm số hạng đầu tiên của dãy số cách đều biết dãy có 50 số hạng, số cuối bằng 100, khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy là 2 đơn vị.

Số hạng đầu của dãy số cách đều đó là:

100 - ( 50 - 1 ) x 2 = 2

- Công thức tính trung bình cộng của dãy số các đều

Trung bình cộng của dãy số cách đều = Tổng của dãy số : Số số hạng

Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

Số số hạng của dãy số trên là:

( 100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Tổng của dãy số trên là:

( 1 + 100) x 100 : 2 = 5050

Trung bình cộng của dãy số trên là:

5050 : 100 = 50,5

- Chú ý

+ Đối với dạng bài toán tính tổng dãy số cách đều thì chúng ta cần tập trung xác định số hạng đầu, số hạng cuối và số số hạng của dãy số, hai số liên tiếp trong dãy số cách nhau bao nhiêu đơn vị (đơn vị khoảng cách)

+ Trong bài toán có số số hạng là số lẻ thì số ở giữa bằng (số cuối + số đầu) : 2

+ Tùy vào từng bài toán cụ thể và việc dãy số tăng dần hay giảm dần để áp dụng công thức một cách hợp lý.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + … + 99 + 101

Hướng dẫn giải:

Ta thấy khoảng cách 2 số hạng liên tiếp là 2

Số số hạng = $\left(101-1\right):2+1=51$ (số hạng)

S = $\left(1+101\right)\times 51:2=2601$

Ví dụ 2. Tính tổng: S = 10 + 11 + 12 + … + 49 + 50

Hướng dẫn giải:

Ta thấy khoảng cách 2 số hạng liên tiếp là 1

Số số hạng = $\left(50-10\right):1+1=41$ (số hạng)

S = $\left(10+50\right)\times 41:2=1230$

Ví dụ 3. Biết 19 < x < 72. Tính tổng các số tự nhiên x.

Hướng dẫn giải:

Có 19 < x < 72 và $x\in \mathbb{N}$ nên $x\in$ {20; 21; 22; …; 70; 71}.

Tổng các số tự nhiên x là 20 + 21 + 22 + … + 70 + 71

Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 1.

Số các số hạng là: $\left(71-20\right):1+1=52$(số hạng)

Tổng = $\left(20+71\right)\times 52:2=2366$

Vậy tổng các số tự nhiên x là 2 366

III. Bài tập tự luyện

1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Tính tổng dãy sau: 1 + 3 + 5 + … + 99. Kết quả là

A. 2500;

B. 3000;

C. 3500;

D. 4000.

Hướng dẫn giải

Bài 2. Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; …; 97; 100. Tổng tất cả các số của dãy là

A. 1717;

B. 1700;

C. 1616;

D. 1818.

Bài 3. Biết $12\le x\le 25$ . Tổng các số tự nhiên x là

A. 222;

B. 234;

C. 247;

D. 259.

Bài 4. Tính G = 1 + 6 + 11 + … + 256

A. 32 896;

B. 6682;

C. 13 364;

D. 6656.

Bài 5. Cho dãy số 2; 5; 8; 11; … Tổng 28 số đầu tiên của dãy số là

A. 1193;

B. 1190;

C. 1187;

D. 1196.

Bài 6. Cho x là số tự nhiên chẵn thỏa mãn 4 < x < 95. Tổng các số tự nhiên x là

A. 2250;

B. 2205;

C. 2254;

D. 2245.

Bài 7. Tổng của 97 số tự nhiên chẵn đầu tiên

A. 9321;

B. 9506;

C. 9312;

D. 9560.

Bài 8. Tính tổng của 30 số tự nhiên lẻ liên tiếp. Biết số tự nhiên lẻ đầu tiên là 3.

A. 61;

B. 960;

C. 915;

D. 965.

Bài 9. Một dãy số có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp. Biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Số nhà đầu tiên của dãy phố đó là

A. 15;

B. 49;

C. 45;

D. 47.

Bài 10. Cho dãy tính 100 – 99 + 98 – 97 + … + 4 – 3 + 2 – 1

Kết quả của dãy tính trên là

A. 0;

B. 100;

C. 49;

D. 50.

2. Bài tập tự luận

Bài tập 1: Tính giá trị của T biết: T = 2 + 3 + 4 + 5 +….+ 2015

Lời giải

Dãy số trên có số số hạng là: (2015 – 1) : 2 + 1 = 1008

Giá trị của T là: (2015 + 2) x 1008 : 2 = 1016568

Đáp số: 1016568

Bài tập 2: Tính tổng 40 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy số là 2011?

Lời giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2011 – (40 – 1) x 2 =1933

Tổng của 40 số lẻ cần tìm là: (2011 + 1933) x 40 : 2 = 78880

Đáp số: 78880

Bài tập 3: Một khu phố có 25 nhà. Số nhà cuả 25 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 25 số nhà của dãy số đó bằng 1145. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của khu phố đó là số bao nhiêu?

Lời giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu tiên là: (25 – 1) x 2 = 48

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 1145 x 2 : 25 = 91,6

Số nhà đầu tiên trong khu phố đó là: (91,6 – 48) : 2 = 21,8

Đáp số: 21,8

Bài tập 4: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + …. + 1996

Lời giải

Dãy số trên có số số hạng là

(1996 – 1) : 1 + 1 = 1996 (số hạng)

Giá trị của A là

(1 + 1996) x 1996 : 2 = 1 993 006

Đáp số: 1 993 006

Bài tập 5: Tính giá trị của B biết:

B = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 299

Lời giải

Dãy số trên có số số hạng là

(299 – 1) : 2 + 1 = 150 (số hạng)

Giá trị của B là

(1 + 299) x 150 : 2 = 22500

Đáp số: 22500