Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp đường phân giác trong tam giác

Đường phân giác của tam giác

1. Phương pháp giải

a) Nhận biết đường phân giác của tam giác:

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

Chú ý: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của tam giác đó.

– Sự đồng quy của ba đường phân giác: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

b) Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt:

Ta có thể dễ dàng chứng minh được một số tính chất sau:

– Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng đồng thời là đường trung tuyến.

– Trong tam giác cân, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh cân.

– Trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.

– Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB và qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt nhau tại S. Chứng minh SA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{MSN}}.$

Hướng dẫn giải:

Vì BA = BM nên ΔBAM cân tại B, do đó ${\hat{A}}_1={\hat{M}}_2$

Mà AB // SM nên ${\hat{A}}_1={\hat{M}}_1$ (so le trong)

Suy ra ${\hat{M}}_1={\hat{M}}_2$ hay MA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{SMN}}.$

Tương tự, NA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{SNM}}.$

Xét ΔSMN có MA; NA là các đường phân giác cắt nhau tại A nên SA cũng là đường phân giác của $\widehat{\mathrm{MSN}}.$

Ví dụ 2. Cho ΔABC cân tại A. Đường phân giác BD, CE của góc B và góc C cắt nhau tại O. Kẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AB và AC. Chứng minh OB = OC và OH = OK.

Hướng dẫn giải:

⦁ Vì ΔABC cân nên $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ (tính chất tam giác cân)

Vì BD là phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$ nên ${\hat{B}}_1=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{ABC}}$

Vì CE là phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$ nên ${\hat{C}}_1=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{ACB}}$

Do đó ${\hat{B}}_1={\hat{C}}_1$

Suy ra ΔOBC cân tại O nên OB = OC.

⦁ Xét ΔABC có BD; CE là đường phân giác cắt nhau tại O

Suy ra AO là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$

Do đó OH = OK.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. E nằm trên tia phân giác góc B;

B. E cách đều hai cạnh AB, AC;

C. E nằm trên tia phân giác góc C;

D. EB = EC.

Bài 2. Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I. Khi đó

A. AI là trung tuyến kẻ từ A;

B. AI là đường cao kẻ từ A;

C. AI là trung trực cạnh BC;

D. AI là phân giác của góc A.

Bài 3. Em hãy điền cụm từ thích hợp nhất vào chỗ trống:

"Ba đường phân giác của tam giác giao nhau tại 1 điểm. Điểm này cách đều ... của tam giác đó".

A. ba đỉnh;

B. ba cạnh;

C. hai đỉnh;

D. hai cạnh.

Bài 4. Cho ΔABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. I cách đều ba đỉnh của ΔABC;

B. A, I, G thẳng hàng;

C. G cách đều ba cạnh của ΔABC;

D. Cả 3 đáp án trên đều đúng.

Bài 5. Cho ΔABC có trọng tâm G và I là giao của ba đường phân giác của tam giác ΔABC. Biết B; G; I thẳng hàng. Khi đó ΔABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân tại B;

B. Tam giác đều;

C. Tam giác vuông;

D. Tam giác vuông cân.

Bài 6. Cho ΔABC có $\hat{A}=90°,$ các tia phân giác của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại I. Gọi D, Elà chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Khi đó ta có:

A. AI là đường cao của ΔABC;

B. IA = IB = IC;

C. AI là đường trung tuyến của ΔABC;

D. ID = IE.

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AD (D nằm trong tam giác ABC). Biết CD = 5 cm. Độ dài đoạn BD là

A. 2 cm;

B. 3 cm;

C. 4 cm;

D. 5 cm.

Bài 8. Cho ΔABC có $\hat{A}=70°,$ các đường phân giác BE và CD của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại I. Số đo $\widehat{\mathrm{BIC}}$ là

A. 125°;

B. 100°;

C. 105°;

D. 140°.

Bài 9. Cho ΔABC, các đường phân giác của góc B và A cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC ở N. Cho BM = 4 cm; CN = 3 cm. Độ dài đoạn thẳng MN là

A. 5 cm;

B. 6 cm;

C. 7 cm;

D. 8 cm.

Bài 10. Cho tam giác ABC đều có hai đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Biết AI = 3 cm, độ dài đoạn thẳng IM là

A. 1 cm;

B. 1,5 cm;

C. 2 cm;

D. 3 cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết trung tuyến, trọng tâm tam giác và sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác

• Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác