Câu 1:

Tìm tập hợp các ước của 8; 15; 60; 120; 1; 0

* Lời giải:

Gọi A là tập hợp các ước của 8
A ={1; 2; 4; 8; -1; -2 ; -4; -8 }
Gọi B là tập hợp các ược của 15
B ={ 1; 3; 5; 15; -1; -3; -5; 0; 15}
Gọi C là tập hợp các ược của 60
C = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60; 0 -1; -2; -3; -4; -5; -6; -10; -12; -15; -20; -30; -60}
Gọi D là tập hợp các ước của 120
D = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60; 0 -1; -2; -3; -4; -5; -6; -10; -12; -15; -20; -30; -60} và

D = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60; 0 -1; -2; -3; -4; -5; -6; -10; -12; -15; -20; -30; -60} x2
Gọi E là ước của 1
E ={ 1; 0; -1}
Gọi F là ước của 0
F = { 0}

* Phương pháp giải:

Xác định tất cả các số nguyên chia hết cho số cần tìm ước.
Liệt kê tập hợp ước dương.
Thêm các ước âm tương ứng.

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 2:

17/06/2026

Tìm tập hợp các số có 2 chữ số là bội của:

a) 17

b) 24

c) 91

Xem đáp án

* Lời giải:

a) $B(17) = {17,34,51,68,85}$

b) $B(24) = {24,48,72,96}$

c) $B(91) = {91}$

* Phương pháp giải:

Bội của một số là các số có thể viết dưới dạng $k \cdot n$ với là số nguyên dương.

Tập hợp bội của thường được viết dưới dạng: $B(n) = \{ n, 2n, 3n, 4n, \dots \}$

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 3:

17/06/2026

Tìm tất cả các tập hợp X sao cho:

a/ {1;2} ∪ X = {1;2;3;4}

b/ X ⊂ {1;2;3;4} và X ⊂ {0;2;4;6;8}

Xem đáp án

* Lời giải:

a) X={3;4};{2;3;4};{1;2;3;4}b) X={2;4}X={2}X={4}X=∅

* Phương pháp giải:

Một tập hợp có thể được xác định bởi các phần tử của nó.

Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp: Nếu $A \subseteq B$ , nghĩa là mọi phần tử của đều thuộc .

Tập rỗng $\emptyset$ là tập không chứa phần tử nào.

* Lý thuyết nắm thêm

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n= n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n= n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức:

$A_{n}^{k}$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ (1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_{n}^{n}$

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_{n}^{k}$ , được tính bằng công thức :

$C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)! k!} (0 \leq k \leq n)$

Chú ý :

+) < $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ sẽ được dùng rất nhiều.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án 2023) – Toán 11

Câu 4:

17/06/2026

Vẽ OT là tia phân giác của góc xOy = $70 °$ . Trên tia Ot lấy điểm A, từ A vẽ đường thẳng d song song với tia Ox và cắt Oy tại B. Chứng tỏ rằng $\hat{B A O} = \hat{A O B}$

Xem đáp án

Lời giải:

Vì $A B$ $∥$ $O x$ $(G t)$

$\Rightarrow$ $\hat{B A O}$ $=$ $\hat{A O x}$ ( so le trong ) $(1)$

Lại có $\hat{B O A}$ $=$ $\hat{A O x}$ ( $O A$ là tia phân giác $\hat{B O x}$ ) $(2)$

Từ $(1), (2)$ $\Rightarrow$ $\hat{B A O}$ $=$ $\hat{B O A}$ $(đ p c m)$ .

Phương pháp giải:

Tính chất hai góc trong cùng phía: Nếu hai đường thẳng cắt nhau bởi một đường thẳng thứ ba và tạo ra hai góc trong cùng phía bù nhau, thì hai đường thẳng đó song song.

Sử dụng tính chất các đường vuông góc: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, thì hai đường thẳng này song song.

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về hai đường thẳng song song:

1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{2}}$ ) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ (tương tự $\hat{A_{2}}$ và $\hat{B_{2}}$ ; $\hat{A_{3}}$ và $\hat{B_{3}}$ ; $\hat{A_{4}}$ và $\hat{B_{4}}$ ;) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

2. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

3. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các câu hỏi ôn tập Toán chọn lọc, hay khác:

Lý thuyết Hai đường thẳng song song – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 5:

17/06/2026

Tập hợp các ước của 6 là

Xem đáp án

Lời giải:

Ư(6) = { -6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 }

* Phương pháp giải:

Phân tích số thành thừa số nguyên tố: Viết mỗi số dưới dạng tích các số nguyên tố với số mũ tương ứng.

Tìm UCLN: Chọn các thừa số chung có số mũ nhỏ nhất. Nhân các thừa số đó lại để được UCLN.

Tìm BCNN: Chọn tất cả các thừa số xuất hiện (cả chung và riêng) với số mũ lớn nhất. Nhân các thừa số đó lại để được BCNN.

*Lý thuyết nắm thêm

1. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của a, b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a, b. Kí hiệu ƯCLN (a, b).

Nhận xét: Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b

2. Cách tìm ƯCLN

Bài toán: Tìm ƯCLN(a, b, c,…)

Phương pháp giải

Ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố): Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích của các thừa số chung đó, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Cách 2: (Sử dụng thuật toán Ơclit): Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ, giả sử a = b . x + r

+ Nếu r ≠ 0 ta thực hiện bước 2

+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b

Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư. B = r . y +r₁

+ Nếu r₁ ≠ 0 ta thực hiện bước 3

+ Nếu r₁ = 0 thì ƯCLN(a, b) = r

Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.

3. Bội chung nhỏ nhất

Bội chug nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b).

Nhận xét: Ta có:

BCNN(a, 1) = a

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)

Mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b)

4. Cách tìm BCNN

Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c, …)

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích các thừa số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý:

Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau: ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = a.b

Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Giải Toán lớp 6 Bài 11 (Kết nối tri thức): Ước chung. Ước chung lớn nhất

Câu 6:

17/06/2026

Ước của 81 là những số nào:

Xem đáp án

Lời giải:

Ư(81)={1;3;32;33;34}

* Phương pháp giải:

Phân tích số thành thừa số nguyên tố: Viết mỗi số dưới dạng tích các số nguyên tố với số mũ tương ứng.

Tìm UCLN: Chọn các thừa số chung có số mũ nhỏ nhất. Nhân các thừa số đó lại để được UCLN.

Tìm BCNN: Chọn tất cả các thừa số xuất hiện (cả chung và riêng) với số mũ lớn nhất. Nhân các thừa số đó lại để được BCNN.

*Lý thuyết nắm thêm

1. Ước chung lớn nhất

Ước chung lớn nhất của a, b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a, b. Kí hiệu ƯCLN (a, b).

Nhận xét: Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b

2. Cách tìm ƯCLN

Bài toán: Tìm ƯCLN(a, b, c,…)

Phương pháp giải

Ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: (Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố): Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích của các thừa số chung đó, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN cần tìm.

Cách 2: (Sử dụng thuật toán Ơclit): Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ, giả sử a = b . x + r

+ Nếu r ≠ 0 ta thực hiện bước 2

+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b

Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư. B = r . y +r₁

+ Nếu r₁ ≠ 0 ta thực hiện bước 3

+ Nếu r₁ = 0 thì ƯCLN(a, b) = r

Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.

3. Bội chung nhỏ nhất

Bội chug nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b).

Nhận xét: Ta có:

BCNN(a, 1) = a

BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)

Mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b)

4. Cách tìm BCNN

Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c, …)

Phương pháp giải

Ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Phân tích các thừa số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Chú ý:

Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau: ƯCLN(a, b).BCNN(a, b) = a.b

Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Ước chung và ước chung lớn nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

Giải Toán lớp 6 Bài 11 (Kết nối tri thức): Ước chung. Ước chung lớn nhất

Câu 7:

17/06/2026

Tìm giá trị lớn nhất của 4x - x²+ 1

Xem đáp án

Lời giải:

$4 x - x^{2} + 1$

$= (- x^{2} + 4 x - 4) + 5$

$= - (x^{2} - 4 x + 4) + 5$

$= - {(x - 2)}^{2} + 5 \leq 5$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

Vậy biểu thức đạt giá trị $max = 5 \Leftrightarrow x = 2 .$

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 8:

17/06/2026

Tính nhanh: 425.7.4-170.60

Xem đáp án

Lời giải:

$425 . 7 . 4 - 170 . 60$

$= (425 . 4) . 7 - 170 . 60$

$= 1700 . 7 - (170 . 10) . 6$

$= 1700 . 7 - 1700 . 6$

$= 1700 . (7 - 6)$

$= 1700 . (7 - 6)$ = 1700

* Phương pháp giải:

Bước 1: Biến đổi biểu thức:

Bước 2: Nhóm các số lượng hợp lý để tính toán nhanh:

Bước 3: Thực hiện được phép

Bước 4: Kết luận kết quả.

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 9:

17/06/2026

Tính: (372 - 19 x 4) + (981 : 9 - 13)

Xem đáp án

Lời giải:

( 372 - 19 x 4 ) + ( 981 : 9 - 13 )

=( 372 - 76 ) + ( 109 - 13 )

= 296 + 96

= 392

* Phương pháp giải:

Bước 1: Biến đổi biểu thức:

Bước 2: Nhóm các số lượng hợp lý để tính toán nhanh:

Bước 3: Thực hiện được phép

Bước 4: Kết luận kết quả.

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 10:

17/06/2026

Tính nhanh: 58 x 42 + 32 x 8 + 5 x 16

Xem đáp án

Lời giải:

$58 \times 42 + 32 \times 8 + 5 \times 16$

$= 58 \times 2 \times 21 + 16 \times (8 \times 2 + 5)$

$= 116 \times 21 + 16 \times 21$

$= 21 \times (116 + 16)$

$= 21 \times 132$

$= 2772$

* Phương pháp giải:

Bước 1: Biến đổi biểu thức:

Bước 2: Nhóm các số lượng hợp lý để tính toán nhanh:

Bước 3: Thực hiện được phép

Bước 4: Kết luận kết quả.

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 11:

17/06/2026

Hai thùng dầu có tất cả 142 lít dầu sau khi chuyển 46 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ 2 thì thùng thứ 2 nhiều hơn thùng thứ nhất 14 lít hỏi ban đầu mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu

Xem đáp án

Lời giải:

khi chưa chuyển thùng thứ nhất sang thùng thứ hai số lít dầu:

46-14=32(l)

lúc đầu thùng thứ nhất có :

(142+14):2=78(l)

lúc đầu thùng thứ hai có :

142-78= 64(l)

* Phương pháp giải:

B1: Tính tổng thùng rác ban đầu

B2: Sau khi chuyển 46 lít, thùng thứ hai nhiều hơn thứ

B3: Sử dụng phương pháp giả định ban đầu hoặc cài đặt tính cộng, trừ để

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 12:

17/06/2026

Vẽ đồ thị hàm số y = 2x².

Xem đáp án

Lời giải:

Bảng giá trị:

Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A(-2;8), B(-1;2), O(0;0), B’(1;2), A’(2;8)

Đồ thị hàm số y = 2x² là một đường parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như dưới đây.

Phương pháp giải:

Để vẽ đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$, ta thực hiện các bước sau:

+ Lập bảng giá trị của hàm số với một số giá trị của x (thường lấy 5 giá trị gồm số 0 và hai cặp giá trị đối nhau).

+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đánh dấu các điểm (x;y) trong bảng giá trị (gồm điểm (0;0) và hai cặp điểm đối xứng nhau qua trục Oy).

+ Vẽ đường parabol đi qua các điểm vừa được đánh dấu.

Lý thuyết nắm thêm:

- Đồ thị của hàm số: Đồ thị của hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) là một parabol đi qua gốc tọa độ O, nhận Oy làm trục đối xứng (O là đỉnh của parabol)

+) Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+) Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Dạng 1: Cách vẽ đồ thị của hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 3 đến 4 giá trị) tương ứng giữa x và y sao cho các điểm tương ứng nằm bên phải trục Oy.

Bước 3: Vẽ trục tọa độ Oxy và đánh dấu điểm O, các điểm đã lập trong bảng giá trị và các điểm đối xứng với chúng qua trục Oy.

Bước 4: Đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Vẽ đường cong parabol đi qua các điểm đã đánh dấu ta được đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) và kết luận.

Dạng 2: Điểm thuộc, không thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp giải:

Điểm M $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số y = a $x^{2}$ (a ≠ 0) khi và chỉ khi $a {x_{0}}^{2} = y_{0}$

Dạng 3: Các bài toán về đường thẳng và parabol

Phương pháp giải:

- Cho đường thẳng y = a’x + b và parabol y = a $x^{2}$ (a khác 0). Hoành độ giao điểm của chúng là nghiệm của phương trình: a’x + b = a $x^{2}$ (*). Giải phương trình ta tìm được hoành độ giao điểm, từ đó tìm được tọa độ giao điểm. Tọa độ giao điểm vừa là nghiệm của phương trình đường thẳng, vừa là nghiệm của phương trình parabol.

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đường thẳng và parabol, ngược lại, số giao điểm của đường thẳng và parabol là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Đồ thị của hàm số y=ax^2 (a ≠ 0) (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Các dạng bài tập Đồ thị hàm số y = a.x^2 (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 13:

17/06/2026

Tìm y: (y + 3)³- (y + 1)³= 56

Xem đáp án

Lời giải:

${(y + 3)}^{3} - {(y + 1)}^{3} = 56$

$\Leftrightarrow y^{3} + 9 y^{2} + 27 y + 27 - y^{3} - 3 y^{2} - 3 y - 1 = 56$

$\Leftrightarrow 6 y^{2} + 24 y + 26 - 56 = 0$

$\Leftrightarrow (y + 5) (y - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} y = - 5 \\ y = 1 \end{matrix}$

* Phương pháp giải:

Nhóm nhân tử chung rồi giải bài toán dạng phương trình tích = 0

* Lý thuyết nắm thêm

Cộng và trừ hai đa thức

Để cộng, trừ hai đa thức ta thực hiện các bước:

- Bỏ dấu ngoặc (sử dụng quy tắc dấu ngoặc);

- Nhóm các đơn thức đồng dạng (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp);

- Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các lũy thừa cùng biến, rồi nhân các kết quả đó với nhau.

Ví dụ: $(- 3 x^{2} y) (4 x y) = [(- 3.4)] . (x^{2} . x) . (y . y) = - 12. x^{3} . y^{2}$

3. Nhân đơn thức với đa thức

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân từng hạng tử của đa thức này với đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} (x y + 1) (x y - 3) \\ = (x y) . (x y) + x y - 3 x y - 3 \\ = x^{2} y^{2} - 2 x y - 3 \end{array}$

Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} 16 x^{4} y^{3} : (- 8 x^{3} y^{2}) \\ = (16 : (- 8)) . (x^{4} : x^{3}) . (y^{3} : y^{2}) \\ = - 2 x y \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các phép toán với đa thức nhiều biến – Toán lớp 8

Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1: Đa thức

Câu 14:

17/06/2026

Tính diện tích một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền bằng 7cm.

Xem đáp án

* Lời giải:

Đặt $A M = x$ , ta có $B C = 2 x$ $,$ $A H = x - 7$

Theo hệ thức tam giác vuông $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} = 4 x$ $(1)$

$A B . A C = B C . A H = 2 x (x - 7)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $:$

$A B^{2} + A C^{2} + 2 A B . A C = 4 x^{2} + 4 x (x - 7)$

$\Leftrightarrow$ ${(A B + A C)}^{2} = 8 x^{2} - 28 x = 0$

$\Leftrightarrow$ ${(72 - 2 x)}^{2} = 8 x^{2} - 28 x .$

Đưa về phương trình $:$

$x^{2} + 65 x = 296 = 0$

$\Leftrightarrow$ $(x - 16) (x + 81) = 0$

$\Rightarrow$ $[\begin{array}{l} x = 16 (Nhận) \\ x = - 81 (Loại) \end{array}$

Từ đó suy ra $:$ $B C = 2 x = 32 c m$ và $A H = x - 7 = 9 c m$

$S_{A B C} = \frac{1}{2} .32 .9 = 144 (c m^{2})$

Vậy $S_{A B C} = 144 c m^{2}$

$S_{A B C} = 144 c m^{2}$

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số.

+ Biểu diễn các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.

+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Đối chiếu nghiệm của phương trình với điều kiện của ẩn số (nếu có) và với đề bài để đưa ra kết luận. $S_{A B C} = 144 c m^{2}$

$S_{A B C} = 144 c m^{2}$

Dạng 1: Toán công việc

Phương pháp giải:

- Năng suất được tính bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành.

- Đối với bài toán công việc làm chung, làm riêng: Thường coi khối lượng công việc là 1 đơn vị. Năng suất 1 + Năng suất 2 = Tổng năng suất.

Dạng 2: Toán chuyển động

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: Quãng đường = Vận tốc . Thời gian

+ Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe điđược là như nhau, Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.

+ Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B (chiều từ A đến B), xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đường đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB

Dạng 3: Toán về quan hệ giữa các số

Phương pháp giải:

Biểu diễn số có hai chữ số: $\bar{a b} = 10 a + b$ với $0 < a \leq 9$ , $0 \leq b \leq 9$ và a, b là các số tự nhiên.

Tương tự với việc biểu diễn số có nhiều chữ số.

Dạng 4: Toán về hình học

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức hình học như diện tích hình chữ nhật, diện tích hình thoi, diện tích tam giác vuông, diện tích hình vuông…. Để lập phương trình giải bài toán.

$S_{A B C} = 144 c m^{2}$

Lý thuyết Phương trình bậc nhất hai ẩn (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 15:

17/06/2026

Tìm GTLN của biểu thức: G= 1 - 5x²- y²- 4xy + x

Xem đáp án

Lời giải:

$G = 1 - 5 x^{2} - y^{2} - 4 x y + x$

$\Rightarrow G = - (4 x^{2} + 4 x y + y^{2}) - (x^{2} - x + \frac{1}{4}) + \frac{5}{4}$

$\Rightarrow G = - {(2 x + y)}^{2} - {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{5}{4} \leq \frac{5}{4} \forall x; y \in ℝ$

Dấu " $=$ " xảy ra $\Leftrightarrow {\begin{cases} - {(2 x + y)}^{2} = 0 \\ - {(x - \frac{1}{2})}^{2} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 2 x + y = 0 \\ x - \frac{1}{2} = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} y = - 2 x \\ x = \frac{1}{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} y = - 1 \\ x = \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy GTLN của $G$ là $\frac{5}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}; y = - 1$

* Phương pháp giải:

- Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Khi đó min/max chính là số lẻ đó

- Đạt được khi dấu bằng xảy ra

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 16:

17/06/2026

Tìm x, y. z ∈ ℝ thỏa mãn $\frac{x + 3 y}{19} = \frac{3 y + 9 z}{114} = \frac{5 z + 15 x}{115}$ và x + y + 2z = –31.

Xem đáp án

*Lời giải

Đặt $\frac{x + 3 y}{19} = \frac{3 y + 9 z}{114} = \frac{5 z + 15 x}{115} = t$ $\frac{x + 3 y}{19} = \frac{3 y + 9 z}{114} = \frac{5 z + 15 x}{115} = t$

⇒ x + 3y = 19t (1); 3y + 9z = 114t (2); 5z + 15x = 115t hay z + 3x = 23t (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

x = 4t, y = 5t, z = 11t

x + y + 2z = – 31

⇔ 4t + 5t + 11t = –31

⇔ 31t = – 31

⇔ t = –1

Suy ra: x = –4; y = –5; z = –11.

1. Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Hay được viết: a:b=c:d . Trong đó a, d là các số hạng ngoài (ngoại tỉ), b, c là các số hạng trong (trung tỉ).

2. Tính chất:

Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ad = bc.

Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 5.1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên.

- Viết các số hữa tỉ dưới dạng phân số.

- Thực hiện phép chia phân số.

Dạng 5.2: Lập tỉ lệ thức từ các tỉ số cho trước.

- Xét xem hai tỉ số đã cho co bằng nhau không?

- Nếu hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.

Dạng 5.3: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước, từ các số cho trước.

Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước:

Nếu ad = bc và abcd ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

Lập tất cả các tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước:

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ta có thể lập được ba tỉ lệ thức nữa bằng cách:

- Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ các trung tỉ: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

- Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ các ngoại tỉ: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau: $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Lập tỉ lệ thức từ các số cho trước: Từ các số đã cho, trước hết phải lập được đẳng thức dạng ad = bc. Sau khi có đẳng thức này, áp dụng tính chất 2 để lập các tỉ lệ thức.

Các dạng toán về Tỉ lệ thức và cách giải – Toán lớp 7

Toán 7 Bài 5 (Cánh diều) giải sgk: Tỉ lệ thức

Câu 17:

17/06/2026

Tính tổng: $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + . . . + \frac{1}{{(- 2)}^{n + 1}}$ $S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{(- 2)}^{n - 1}} + ...$

A. $S = \frac{3}{2}$

B. $S = \frac{2}{3}$

C. $S = 2$

D. $S = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 1; q = - \frac{1}{2}$ .

Do đó ta có: $S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{2})} = \frac{2}{3}$

* Phương pháp giải:

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n = u_n-1. q với $n \in ℕ^{*} .$

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁; u₁; … u₁;…

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁. q^{n - 1} với $n \geq 2.$

Tính chất cấp số nhân

Ba số hạng u_{k - 1}, u_k, u_{k + 1}là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ với $k \geq 2.$

(Hay $|u_{k}| = \sqrt{u_{k - 1} . u_{k + 1}}$ ).

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được xác định bởi công thức:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} = \frac{u_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}$

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁; u₁; u₁; … u₁;.. khi đó S_n = n.u₁.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính Cấp số nhân (2025) và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

Toán 11 Bài 7 (Kết nối tri thức): Cấp số nhân

.

Câu 18:

17/06/2026

Trên đoạn [0;3] hàm số y=x³- 3x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào??

Xem đáp án

* Lời giải:

$y^{'} = 3 x^{2} - 3$

$y^{'} = 0 \to x = 1$ do $x \in [0; 3]$

So sánh $f (0), f (1), f (3)$ :

$f (0) = 4$

$f (1) = 1 - 3 + 4 = 2$

$f (3) = 22$

Vậy $min_{[0; 3]} f (x) = f (1) = 2$

$y (- \frac{1}{2}) = 9$

* Dạng bài toán về tìm cực trị hàm số:

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

cách 1:

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

cách 2:

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi xi tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 – 3ac > 0

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập Cực trị của hàm số Toán 12 mới

Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án)

15 đề thi THPTQG môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

Câu 19:

17/06/2026

Tìm số tự nhiên n để sao cho $k = n^{3} - n^{2} - 7 n + 10$ $n^{3} - n^{2} - 7 n + 10$ là số nguyên tố

Xem đáp án

* Lời giải:

$n^{3} - n^{2} - 7 n + 10 = n^{3} - 2 n^{2} + n^{2} - 2 n - 5 n + 10 = (n - 2) (n^{2} + n - 5)$

Vì P nguyên tố nên

$\Rightarrow n - 2 = 1 \Rightarrow n = 3$ (nhận)

$\Rightarrow n^{2} + n - 5 = 1 \Rightarrow n = 2$ (nhận) hoặc $n = - 3$ (loại)

Ta có: $n = 3 \Rightarrow P = 7$

$n = 2 \Rightarrow P = 0$ (loại)

Vậy n cần tìm là n=3

* Phương pháp giải:

Phân tích đa thức $n^3 - n^2 - 7n + 10$ bằng phương pháp nhóm hạng tử, ta được $(n - 2)(n^2 + n - 5)$ .

Vì là số nguyên tố, nên xét từng nhân tử: $n - 2 = 1 \Rightarrow n = 3$ hoặc giải phương trình $n^2 + n - 5 = 1$ .

Tìm giá trị phù hợp của và kiểm tra tương ứng để xác định giá trị thỏa mãn bài toán.

* Lý thuyết nắm thêm

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

50 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 mới nhất

Câu 20:

17/06/2026

Tìm x thuộc N để $2^{x} + 5$ là số chính phương

Xem đáp án

* Lời giải

Đặt $x^{2} + 5 = k^{2}$ (mttq giả sử không nguyên)
$\Rightarrow x^{2} - k^{2} = 5$
$\Rightarrow (x - k) (x + k) = 5$
$x + k > x - k > 0$ và 5=1.5
$\Rightarrow x - k = 1, x + k = 5 \Rightarrow x = 3$ (thỏa)

* Phương pháp giải

Đặt $x^2 + 5 = k^2$ và biến đổi thành $x^2 - k^2 = 5$ , sau đó phân tích thành $(x - k)(x + k) = 5$ .

Xét các cặp số nguyên thỏa mãn $x - k$ và $x + k$ là ước của 5, tìm giá trị .

Kiểm tra và chọn giá trị phù hợp để kết luận nghiệm của bài toán.

* Lý thuyết nắm thêm

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

50 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 mới nhất

Câu 21:

17/06/2026

Tìm $\frac{4}{7} : x = \frac{5}{15}$

Xem đáp án

* Lời giải

$\frac{4}{7} : x = \frac{5}{15} = \frac{4}{7} : \frac{5}{15} = \frac{12}{7}$

* Phương pháp giải:

Chia phân số $\frac{4}{7}$ cho tức là nhân với nghịch đảo của .

Biến đổi phép chia thành phép nhân: $\frac{4}{7} \times \frac{15}{5}$ .

Thực hiện phép nhân và rút gọn để tìm giá trị của .

* Lý thuyết nắm thêm

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 22:

17/06/2026

Tính $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{33} + \frac{1}{88} + . . . + \frac{1}{4368}$

Xem đáp án

* Lời giải:

S= $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{33}$ + $\frac{1}{88}$ +...+ $\frac{1}{4368}$

S $\times$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{5}{2}$ $\times$ ( $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{33}$ + $\frac{1}{88}$ +...+ $\frac{1}{4368}$ )

S $\times$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{5}{6} + \frac{5}{66} + \frac{5}{176} + . . . + \frac{5}{8736}$

S $\times$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{5}{1.6}$ + $\frac{5}{6.11}$ + $\frac{5}{11.16}$ +...+ $\frac{5}{91.96}$

S $\times$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{1}{1}$ - $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ - $\frac{1}{11}$ + $\frac{1}{11}$ - $\frac{1}{16}$ +...+ $\frac{1}{91}$ - $\frac{1}{96}$

S $\times$ $\frac{5}{2}$ =1 - $\frac{1}{96}$

S $\times$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{95}{96}$

S = $\frac{95}{96}$ : $\frac{5}{2}$

S = $\frac{19}{48}$

* Phương pháp giải:

Đưa các phân số có trong tổng cần tính thành các phân số có tử số bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu

Tách các phân số ở bước 1 thành hiệu hai phân số

Triệt tiêu các phân số giống nhau, thu gọn ta được tổng cần tìm

* Lý thuyết nắm thêm

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 23:

17/06/2026

Biết MN//BC; AB = 3cm; AM = 2cm; AN = 2,6cm; BC = 4,5cm. Tính độ dài đoạn NC.

Xem đáp án

* Lời giải:

Xét $∆ A B C$ có $M N / / B C$

Nên $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$

$\Rightarrow \frac{2.6}{A C} = \frac{2}{3} \Rightarrow A C = 3, 9 (c m)$

$A N + N C = A C \Rightarrow N C = 3, 9 - 2, 6 = 1, 3 (c m)$

* Phương pháp giải:

Nắm vững về kiến thức hai đường thẳng song song

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B. Với mỗi cặp góc gồm một

góc đỉnh A và một góc đỉnh B, ta có:

a) Hai góc và (tương tự và) gọi là hai góc so le trong.

b) Hai góc và (tương tự và) gọi là hai góc đồng vị.

Tính chất: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

2. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song.

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

3. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc so le trong bằng nhau

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hai đường thẳng song song – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Toán 7 Bài 9 (Kết nối tri thức): Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết

TOP 20 câu Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Câu 24:

17/06/2026

Cho $\cot x = - 3, \frac{π}{2} < x < π$ . Tính $\sin x, \cos x, \tan x$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: $\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}$ .

Áp dụng công thức $1 + \cot^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x}$ , ta được $\sin^{2} x = \frac{1}{1 + \cot^{2} x} = \frac{1}{1 + {(- 3)}^{2}} = \frac{1}{10}$ .

Mà $\frac{π}{2} < x < π$ nên sinx > 0. Suy ra $\sin x = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Khi đó từ $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ , suy ra cos x = cot x . sin x = $- 3. \frac{\sqrt{10}}{10} = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ .

* Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\tan x = \frac{1}{\cot x}$ để tìm , sau đó áp dụng công thức $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ để xác định $\sin^2 x$ .

Xác định dấu của dựa vào khoảng $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ để tính .

Dùng công thức $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ để tìm và hoàn tất bài toán.

* Lý thuyết nắm thêm:

Công thức nhân đôi:

* Công thức hạ bậc:

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác đặc biệt

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất

Giải Toán 10 Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác (có đáp án)

Câu 25:

17/06/2026

Trong một tứ giác, hỏi số góc tù nhiều nhất là bao nhiêu và số góc nhọn nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao?

Xem đáp án

* Lời giải:

• Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (mỗi góc nhỏ hơn $90^{o}$ ).

Khi đó, tổng 4 góc nhỏ hơn: $4 . 90^{o} = 360^{o}$ (vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng $360^{o}$ ).

• Nếu tứ giác có 3 góc nhọn (nhỏ hơn $90^{o}$ ); 1 góc tù (góc lớn hơn $90^{o}$ ).

Khi đó, tổng 3 góc nhọn nhỏ hơn: $3 . 90^{o} = 270^{o}$ ;

Số đo góc còn lại lớn hơn: $360^{o} - 270^{o} = 90^{o}$ (thỏa mãn).

Do đó, một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn.

• Nếu 4 góc tứ giác đều tù (mỗi góc lớn hơn $90^{o}$ ).

Khi đó, tổng 4 góc lớn hơn: $4 . 90^{o} = 360^{o}$ (vô lí vì tổng 4 góc trong một tứ giác bằng $360^{o}$ ).

• Nếu tứ giác có 3 góc tù và 1 góc nhọn.

Tổng 3 góc tù lớn hơn: $3 . 90^{o} = 270^{o}$ ;

Số đo góc còn lại của tứ giác nhỏ hơn: $360^{o} - 270^{o} = 90^{o}$ (thỏa mãn).

Do đó, một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù.

Vậy một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn; một tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc tù.

* Phương pháp giải:

Áp dụng định lí tổng các góc trong một tứ giác

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Khái niệm

Tứ giác ABCD là một hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Ví dụ:

Đặc điểm

+ Có 4 đỉnh

+ Có 4 cạnh

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác đó.

Ví dụ: ABCD là tứ giác lồi, EFGH không phải là tứ giác lồi.

2. Tính chất

+ Hai cạnh kề nhau là hai cạnh chung đỉnh.

+ Hai cạnh kề nhau tạo thành góc của tứ giác.

+ Hai cạnh đối nhau không chung đỉnh.

+ Hai đỉnh đối nhau là hai đỉnh không cùng nằm trên một cạnh.

+ Đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.

3. Định lí tổng các góc của một tứ giác

Tổng số đo các góc của một tứ giác bằng $360^{o}$

Tứ giác ABCD, $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{o}$

Ví dụ:

$\hat{B} = 360^{o} - 93^{o} - 123^{o} - 75^{o} = 69^{o}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tứ giác – Toán lớp 8 Kết nối tri thức

50 Bài tập Tứ giác Toán 8 mới nhất

TOP 40 câu Trắc nghiệm Tứ giác (có đáp án 2023) - Toán 8

Câu 26:

17/06/2026

Viết phân số sau $\frac{42}{28}$ thành phân số thập phân

Xem đáp án

* Lời giải:

Phân số thập phân có mẫu là: 10, 100, 1000,...

Mẫu số: 10

$\frac{42}{28} = \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10}$

* Phương pháp giải:

Rút gọn phân số $\frac{42}{28}$ bằng cách chia cả tử và mẫu cho 14 để được $\frac{3}{2}$ .

Quy đồng mẫu số về 10 bằng cách nhân cả tử và mẫu của $\frac{3}{2}$ với 5 để được $\frac{15}{10}$ .

Kết luận phân số thập phân có mẫu số 10 là $\frac{15}{10}$ .

* Lý thuyết nắm thêm

- Các phép toán liên quan đến phân số đó là các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia, phân số.

Dạng 1: Phép cộng phân số

1. Phương pháp giải

Phép cộng phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Cộng phân số cùng mẫu số: Ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Cộng phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi cộng các phân số đó lại với nhau.

Dạng 2: Phép trừ phân số

1. Phương pháp giải

Phép trừ phân số được chia ra làm 2 dạng nhỏ:

- Trừ phân số cùng mẫu số: Ta trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

- Trừ phân số khác mẫu số: Ta quy đồng mẫu số các phân số, rồi trừ các phân số đó lại với nhau.

Dạng 3: Phép nhân phân số

1. Phương pháp giải

-Muốn nhân các phân số với nhau, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

Dạng 4: Phép chia phân số

1. Phương pháp giải

- Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

- Phân số đảo ngược là phân số đảo ngược tử số thành mẫu số, mẫu số thành tử số.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài tập Các phép toán với phân số lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

35 Bài tập tổng hợp Phân số và hỗn số lớp 5 (có đáp án)

Câu 27:

17/06/2026

Rút gọn biểu thức M = cos⁴ $15 °$ - sin⁴ $15 °$

Xem đáp án

*Lời giải:

M = cos⁴(15°) - sin⁴(15°) + (cos² 15° - sin² 15°)
M = (cos² 15° - sin² 15°)(cos² 15° + sin² 15°) + cos(2.15°)
M = cos(2.15°).1 + cos(2.15°)
M = cos30° + cos(2.15°)
M = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . 2
M = $\sqrt{3}$

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chu kì và hai góc phụ nhau, bù nhaun để tính giá trị của biểu thức.

*Lý thuyết nắm thêm

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = - cos α;

tan (180° – α) = - tan α (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = - cot α (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau ; có côsin , tang, côtang đối nhau.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tổng hợp lý thuyết Chương 3 – Toán 10 Kết nối tri thức

TOP 30 câu Trắc nghiệm Ôn tập chương 7 (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 7

Câu 28:

17/06/2026

Rút gọn $A = \frac{\sin a + \sin 2 a + \sin 3 a}{\cos a + \cos 2 a + \cos 3 a}$

Xem đáp án

* Lời giải:

$A = \frac{(\sin a + \sin 3 a) + \sin 2 a}{(\cos a + \cos 3 a) + \cos 2 a} A = \frac{2 \sin 2 a . \cos (- a) + \sin 2 a}{2 \cos 2 a . \cos (- a) + \cos 2 a} A = \frac{\sin 2 a (2 \cos a + 1)}{\cos 2 a (2 \cos a + 1)} A = \tan 2 a$

* Phương pháp giải:

biến đổi biểu thức đã cho để thu được kết quả rút gọn

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập chi tiết nhất

Giải Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án – Toán lớp 10

Câu 29:

17/06/2026

Giá trị của biểu thức: $\frac{\tan 225 ° - c o t 81 ° . c o t 69 °}{c o t 261 ° + \tan 201 °}$

Xem đáp án

* Lời giải:

$\frac{t a n 225 - c o t 81 \cdot c o t 69}{c o t 261 + t a n 201}$

$= \frac{t a n (180 + 45) - t a n (90 - 81) \cdot t a n (90 - 69)}{c o t (180 + 81) + t a n (180 + 21)}$

$= \frac{t a n 45 - t a n 9 \cdot t a n 21}{c o t 81 + t a n 21}$

$= \frac{1 - t a n 9 \cdot t a n 21}{t a n 9 + t a n 21}$

$= \frac{1 - \frac{s i n 9}{c o s 9} \cdot \frac{s i n 21}{c o s 21}}{\frac{s i n 9}{c o s 9} + \frac{s i n 21}{c o s 21}}$

$= \frac{c o s 9 \cdot c o s 21 - s i n 9 \cdot s i n 21}{c o s 9 \cdot c o s 21} : \frac{s i n 9 \cdot c o s 21 + s i n 21 \cdot c o s 9}{c o s 9 \cdot c o s 21}$

$= \frac{c o s (9 + 21)}{c o s 9 \cdot c o s 21} \cdot \frac{c o s 9 \cdot c o s 21}{s i n (9 + 21)} = \frac{c o s 30}{s i n 30} = c o t 30 = \sqrt{3}$

* Phương pháp giải:

biến đổi biểu thức đã cho để thu được kết quả rút gọn

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập chi tiết nhất

Giải Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án – Toán lớp 10

Câu 30:

17/06/2026

Tìm x, y biết $x^{2} + y^{2} + 17 = 2 x - 8 y$

Xem đáp án

* Lời giải:

$x^{2} + y^{2} + 17 = 2 x - 8 y$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 17 - 2 x + 8 y = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 8 y + 16 = 0$

$\Leftrightarrow (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 8 y + 16) = 0$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 0$

Ta có:

${(x - 1)}^{2} \geq 0 \forall x$

${(y + 4)}^{2} \geq 0 \forall y$

$\Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} \geq 0 \forall x; y$

Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi:

${\begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 4 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x = 1 \\ y = - 4 \end{cases}$ ${(y + 4)}^{2} \geq 0 \forall y$

Vậy : $x = 1; y = - 4$

* Phương pháp giải:

Chuyển vế phương trình về dạng $x^2 + y^2 + 17 - 2x + 8y = 0$ , sau đó hoàn thành bình phương để đưa về dạng chuẩn.

Nhận xét rằng tổng hai bình phương $(x - 1)^2 + (y + 4)^2$ luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi $x - 1 = 0$ và $y + 4 = 0$ .

Giải hệ phương trình $x - 1 = 0, y + 4 = 0$ để tìm nghiệm duy nhất $x = 1, y = -4$ .

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Cách 1:

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

Cách 2:

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi xi tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

a. Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 – 3ac > 0

b. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

- Nếu (C) có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C) có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập Cực trị của hàm số Toán 12 mới

Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án)

15 đề thi THPTQG môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

Câu 31:

17/06/2026

Bội của 6 có dạng tổng quát là:

A. 2k + 4k;

B. k;

C. 6k + 1;

D. 6k (k ∈ ℕ)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

*Lời giải:

Bội của 6 có dạng 6k với k ∈ ℕ.

*Phương pháp giải:

tìm công bội cuả 6

*Lý thuyết nắm thêm

Hệ thập phân

+ Cách ghi số tự nhiên trong hệ thập phân

- Trong hệ thập phân, mỗi số tự nhiên được viết dưới dạng một dãy những chữ số lấy trong 10 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 và 9; vị trí của các chữ số trong dãy gọi là hàng.

- Cứ 10 đơn vị ở một hàng thì bằng 1 đơn vị ở hàng liền trước nó. Chẳng hạn, 10 chục thì bằng 1 trăm; 10 trăm thì bằng 1 nghìn; …

Chú ý: Khi viết các số tự nhiên ta quy ước:

1. Với các số tự nhiên khác 0, chữ số đầu tiên (từ trái sang phải) khác 0.

2. Để dễ đọc với các số có bốn chữ số ta viết tách riêng từng lớp. Mỗi lớp là một nhóm ba chữ số kể từ phải sang trái.

Số La Mã

Để viết các số La Mã không quá 30, ta dùng các kí tự I, V và X (gọi là những số La Mã).

Ba chữ số đó cộng với hai cụm chữ số là IV và Ĩ là năm thành phần dùng để ghi số La Mã.

Giá trị của mỗi thành phần được ghi lại trong bảng sau và không thay đổi dù đứng ở bất kì vị trí nào:

Thành phần	I	V	X	IV	IX
Giá trị (viết trong hệ thập phân)	1	5	10	4	9

+ Dưới đây là các số La Mã biểu diễn các số từ 1 đến 10:

I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

+ Để biểu diễn các số từ 11 đến 20, ta thêm X vào bên trái mỗi số từ I đến X:

XI	XII	XIII	XIV	XV	XVI	XVII	XVIII	XIX	XX
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

+ Để biểu diễn các số từ 21 đến 30, ta thêm XX vào bên trái mỗi số từ I đến X:

XXI	XXII	XXIII	XXIV	XXV	XXVI	XXVII	XXVIII	XXIX	XXX
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cách ghi số tự nhiên chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Giải Toán lớp 6 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 1

Câu 32:

17/06/2026

$P = \frac{\sin 2 a}{\cos 4 a + 1}$

Xem đáp án

* Lời giải:

$\tan a = - 2$

$P = \frac{\sin 2 a}{\cos 4 a + 1}$

$P = \frac{\sin 2 a}{2 \cos^{2} (2 a)}$

$P = \frac{\sin a \cdot \cos a}{\cos^{2} (2 a)}$

$\cos^{2} (2 a) = {(\cos^{2} a - \sin^{2} a)}^{2}$

$\Rightarrow {(\cos^{2} a + \sin^{2} a)}^{2} - 4 \sin^{2} a \cdot \cos^{2} a$

$\Rightarrow 1 - 4 \sin^{2} a \cdot \cos^{2}$

$\tan a = - 2$

$\Rightarrow \frac{1}{\cos^{2} a} = 1 + 4$

$\Rightarrow \cos^{2} a = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow \sin^{2} a = \frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sin^{2} a \cdot \cos^{2} a = \frac{4}{25}$

$\Rightarrow \sin a \cdot \cos a = - \frac{2}{5}$

$\Rightarrow \cos^{2} (2 a) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\Rightarrow P = \frac{- \frac{2}{5}}{\frac{9}{25}}$

$P = - \frac{10}{9}$

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 33:

17/06/2026

Chứng minh rằng: $\sin^{6} x + \cos^{6} x = 1 - 3 \sin^{2} x \cos^{2} x$

Xem đáp án

* Lời giải:

VT = sin⁶ x + cos⁶ x

= (sin² x)³ + (cos² x)³

= (sin² x + cos² x)³ – 3sin² x cos² x(sin² x + cos² x)

= 1³ – 3sin² x cos² x . 1

= 1 – 3sin² x cos² x (đpcm)

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 34:

17/06/2026

Cho $\sin x + \cos x = m$ . Tính theo m giá trị của $M = \sin x . \cos x$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: sin x + cos x = m

⇔ (sin x + cos x)² = m²

⇔ sin²x + 2sin x.cos x + cos²x = m²

⇔ (sin²x + cos² x) + 2sin x.cos x = m²

⇔ 1 + 2sin x.cos x = m²

$\Leftrightarrow \sin x . \cos x = \frac{m^{2} - 1}{2}$

$\Rightarrow M = \frac{m^{2} - 1}{2}$

Vậy $M = \frac{m^{2} - 1}{2}$ .

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 35:

17/06/2026

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

A = 2008 x 2010

B = 2009 x 2009

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: A = 2008 x 2010 = 2008 x (2009 + 1)

= 2008 x 2009 + 2008 x1

B = 2009 x 2009 = 2009 x (2008 + 1)

= 2009 x 2008 + 2009 x 1

Vì 2008 x 2009 = 2009 x 2008

Do 2008 x 1 < 2009 x 1, nên A < B

* Phương pháp giải:

Biến đổi A và B để thấy điểm giống nhau rồi so sánh

* Lý thuyết nắm thêm:

1. So sánh các số tự nhiên

+ Số nào có nhiều chữ số hơn thì số kia lớn hơn. Số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn.

2. Xếp thứ tự các số tự nhiên

+ Các số tự nhiên có thể so sánh với nhau nên chúng ta có thể sắp xếp thứ tự của các số tự nhiên từ bé đến lớn hoặc từ lớn đến bé.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết So sánh và sắp xếp thứ tự các số tự nhiên (mới 2022 + Bài Tập) - Toán lớp 4

Toán lớp 4 trang 64, 65 Bài 27: So sánh và xếp thứ tự các số tự nhiên - Chân trời sáng tạo

Câu 36:

17/06/2026

Không thực hiện phép tính, hãy so sánh hai tổng sau: A=100+320+540+760+980 và B=540+900+360+120+780

Xem đáp án

* Lời giải:

100+320+540+760+980=100+300+20+500+40+700+60+900+80

=100+300+500+700+900+20+40+60+80

540+900+360+120+780=500+40+900+300+60+100+20+700+80

=100+300+500+700+900+20+40+60+80

So sánh 2 cái trên đều giống nhau nên: A=B

100+320+540+760+980 = 540+900+360+120+780

* Phương pháp giải:

Biến đổi A và B để thấy điểm giống nhau rồi so sánh

* Lý thuyết nắm thêm:

1. So sánh các số tự nhiên

+ Số nào có nhiều chữ số hơn thì số kia lớn hơn. Số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn.

2. Xếp thứ tự các số tự nhiên

+ Các số tự nhiên có thể so sánh với nhau nên chúng ta có thể sắp xếp thứ tự của các số tự nhiên từ bé đến lớn hoặc từ lớn đến bé.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết So sánh và sắp xếp thứ tự các số tự nhiên (mới 2022 + Bài Tập) - Toán lớp 4

Toán lớp 4 trang 64, 65 Bài 27: So sánh và xếp thứ tự các số tự nhiên - Chân trời sáng tạo

Câu 37:

17/06/2026

Nhân hay chia:

- Khi nhân một số với 0,5; 0,25 ta có thể lấy số đó .?. cho 2; 4.

- Khi chia một số cho 0,5; 0,25 ta có thể lấy số đó .?. với 2; 4.

Xem đáp án

* Lời giải:

Nhân hay chia

– Khi nhân một số với 0,5; 0,25 ta có thể lấy số đó chia cho 2; 4.

– Khi chia một số cho 0,5; 0,25 ta có thể lấy số đó nhân với 2; 4.

* Phương pháp giải:

Nhân với 0,5 tức là lấy một nửa của số đó. Điều này giống như chia số đó cho 2.

Nhân với 0,25 tức là lấy một phần tư của số đó. Điều này giống như chia số đó cho 4.

Chia cho 0,5 tức là tìm một số có bao nhiêu nửa (một phần hai) của nó trong số ban đầu. Điều này giống như nhân với 2.

Chia cho 0,25 tức là tìm một số có bao nhiêu phần tư (một phần bốn) của nó trong số ban đầu. Điều này giống như nhân với 4.

* Lý thuyết nắm thêm:

Dạng 1: Thực hiện phép tính.
Để thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (tính nhanh), ta cần đưa về tổng, hiệu, tích, thương của số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn … và áp dụng các tính chất:
+ Tính chất kết hợp của phép cộng.
+ Tính chất kết hợp của phép nhân.
+ Chia một tổng cho một số.
Dạng 2: Tìm x.
Xác định vai trò của số đã biết và số chưa biết trong phép tính, sau đó áp dụng:
+ Phép cộng: Số hạng chưa biết = Tổng – Số hạng đã biết.
+ Phép trừ: Số trừ = Số bị trừ – Hiệu; Số bị trừ = Hiệu + Số trừ.
+ Phép nhân: Thừa số chưa biết = Tích : Thừa số đã biết.
+ Phép chia hết: Số chia = Số bị chia : Thương; Số bị chia = Số chia . Thương.
Dạng 3: Bài toán có lời văn.
Dạng 4: Toán về phép chia có dư.
Trong phép chia có dư:
+ Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư (0 < Số dư < Số chia).
+ Số chia = (Số bị chia – Số dư) : Thương.
+ Thương = (Số bị chia – Số dư) : Số chia.
+ Số dư = Số bị chia – Số chia x Thương.
Dạng 5: Tìm số chưa biết trong một phép tính.
+ Phép cộng và phép trừ: Tính lần lượt theo cột từ phải sang trái. Chú ý những trường hợp có “nhớ”.
+ Phép nhân: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, suy luận từng bước để tìm ra những số chưa biết.
+ Phép chia: Đặt tính và lần lượt thực hiện phép chia từ hàng lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Toán lớp 5 trang 9 (Kết nối tri thức) Ôn tập các phép tính với số tự nhiên

Giải Toán lớp 5 trang 13 Bài 3: Ôn tập và bổ sung các phép tính với phân số – Chân trời sáng tạo

Câu 38:

17/06/2026

Tung độ là gì? Hoành độ là gì? (Trong hàm số bậc nhất)

Xem đáp án

* Lời giải:

- Tung độ là giá trị của hàm số tại một điểm trên trục tung. Nó thể hiện độ cao của điểm đó trên đồ thị. Tung độ được ký hiệu là $y$ và thường được biểu diễn dưới dạng $y$ $=$ $f (x)$ , trong đó $f (x)$ là hàm số bậc nhất.

- Hoành độ là giá trị của biến độc lập (thường là $x$ ) tại một điểm trên trục hoành. Nó thể hiện vị trí ngang của điểm đó trên đồ thị. Hoành độ được ký hiệu là $x$ và thường được biểu diễn dưới dạng $y$ $=$ $f (x)$ , trong đó $f (x)$ là hàm số bậc nhất.

* Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết tung độ và hoành độ trong hàm số bậc nhất

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Tọa độ của một điểm

a. Khái niệm:

Mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy.

Ox nằm ngang gọi là trục hoành;
Oy thẳng đứng gọi là trục tung;
O gọi là gốc tọa độ.
Hai trục tọa độ Ox, Oy chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành bốn góc: góc phần tư thứ I, II, III, IV.

b. Tọa độ của một điểm:

Trong mặt phẳng tọa độ, mỗi điểm P xác định duy nhất một cặp số (a; b) và mỗi cặp số (a; b) xác định duy nhất một điểm M.

Cặp số (a; b) gọi là tọa độ của M, kí hiệu là M(a; b), trong đó a là hoành độ, b là tung độ của điểm M.

Ví dụ: Điểm M có tọa độ là (2; -3), kí hiệu là M(2; -3). Số 2 gọi là hoành độ, số -3 gọi là tung độ của điểm M.

2. Xác định một điểm trên mặt phẳng tọa độ khi biết tọa độ của nó

Để xác định một điểm điểm P có tọa độ là (a; b), ta thực hiện các bước sau:

- Tìm trên trục hoành điểm a và vẽ đường thẳng vuông góc với trục này tại điểm a.

- Tìm trên trục tung điểm b và vẽ đường thẳng vuông góc với trục này tại điểm b.

- Giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ cho ta điểm P cần tìm.

Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, mỗi cặp số (a; b) xác định một điểm P duy nhất.

Ví dụ: Biểu diễn điểm M(2; -3) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) trên mặt phẳng tọa độ Oxy là tập hợp tất cả các điểm M(x; f(x)).

Ví dụ: Đồ thị của hàm số y = f(x) cho bởi bảng:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tọa độ của một điểm và đồ thị của hàm số – Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo

50 bài toán về tương giao của đồ thị hàm số (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 39:

17/06/2026

Hình chữ nhật có mấy tâm đối xứng?

1

2

3

4

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

Hình chữ nhật có 1 tâm đối xứng.

* Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất của hình chữ nhật

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Hình có tâm đối xứng trong thực tế

Mỗi hình có mổ điểm O, mà khi quay hình đó xung quanh điểm O đúng một nửa vòng thì hình thu được “trùng khít” với chính nó ở vị trí ban đầu (trước khi quay).

Những hình như thế được gọi là “hình có tâm đối xứng” và điểm O được gọi là “tâm đối xứng” của hình.

Ví dụ 1. Đoạn thẳng là một hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của nó là điểm nào?

Lời giải

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là điểm O

Khi quay đoạn thẳng AB xung quanh điểm O đúng nửa vòng ta thư được hình sau:

Hình thu được là một hình trùng khít với hình ban đầu.

Do đó đoạn thẳng là một hình có tâm đối xứng và tâm đối xứng của nó là điểm O.

Ví dụ 2. Trong những hình nào dưới đây hình nào có tâm đối xứng? Hãy dự đoán tâm đối xứng và kiểm tra bằng cách quay nửa vòng.

Lời giải

Hình có tâm đối xứng là hình a

Tâm đối xứng của hình là tâm O của đường tròn.

Khi quay biển báo một nửa vòng quanh tâm O ta được:

Hình này trùng khít với hình ban đầu.

Do đó hình này có tâm đối xứng và tâm đối xứng là tâm O của đường tròn.

2. Tâm đối xứng của một số hình phẳng

Tâm đối xứng của hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo.

Tâm đối xứng của hình lục giác đều là giao điểm của các đường chéo chính.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình có tâm đối xứng chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

TOP 25 câu hỏi Trắc nghiệm Hình có tâm đối xứng có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 40:

17/06/2026

Điều kiện trong đẳng thức $\tan α . c o t α = 1$ là:

Xem đáp án

* Lời giải:

tanα.cotα=1ĐKXĐ:sinα≠0;cosα≠0⇒sinαcosα≠0⇒2sinαcosα≠0⇒sin2α≠0⇒2α≠kπ(k∈Z)⇒ $α \neq \frac{k π}{2}$ (k∈Z).

* Phương pháp giải:

biến đổi biểu thức đã cho để thu được kết quả rút gọn

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập chi tiết nhất

Giải Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án – Toán lớp 10

Câu 41:

17/06/2026

Chứng minh: cos⁴x + 2sin²x = 1 + sin⁴x

Xem đáp án

* Lời giải:

$\cos^{4} + 2 \sin^{2} x$

$= \cos^{4} x - 1 + 2 \sin^{2} x + 1$

$= (\cos^{2} x - 1) (\cos^{2} x + 1) + 2 \sin^{2} x + 1$

$= - \sin^{2} x (2 \cos^{2} x + \sin^{2} x) + 2 \sin^{2} x + 1$

$= - 2 \cos^{2} x \sin^{2} x - \sin^{4} x + 2 \sin^{2} x + 1$

$= - 2 \sin^{2} x (\cos^{2} x - 1) - \sin^{4} x + 1$

$= 1 - 2 \sin^{2} x \cdot (- \sin^{2} x) - \sin^{4} x$

$= 1 + 2 \sin^{4} x - \sin^{4} x$

$= 1 + \sin^{4} x$

* Phương pháp giải:

biến đổi biểu thức đã cho để thu được kết quả rút gọn

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập chi tiết nhất

Giải Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án – Toán lớp 10

Câu 42:

17/06/2026

Rút gọn các biểu thức sau:

a) sinxcos5x ‒ cosxsin5x;

b) $\frac{\sin 3 x \cos 2 x + \sin x \cos 6 x}{\sin 4 x};$

c) $\frac{\cos x - \cos 2 x + \cos 3 x}{s inx - \sin 2 x + \sin 3 x};$

d) $\frac{2 \sin (x + y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} - \tan y .$

Xem đáp án

* Lời giải:

a) sinxcos5x ‒ cosxsin5x = sinxcosx(cos4x ‒ sin4x)

$= \frac{1}{2} sin 2 x ({cos}^{2} x - {sin}^{2} x) ({cos}^{2} x + {sin}^{2} x)$

$= \frac{1}{2} sin 2 x cos 2 x = \frac{1}{4} sin 4 x .$

b) $\frac{sin 3 x cos 2 x + sin x cos 6 x}{sin 4 x} = \frac{\frac{1}{2} (sin x + sin 5 x) + \frac{1}{2} [sin (- 5 x) + sin 7 x]}{sin 4 x}$

$= \frac{sin x + sin 5 x - sin 5 x + sin 7 x}{2 sin 4 x} = \frac{sin x + sin 7 x}{2 sin 4 x}$

$= \frac{2 sin 4 x cos 3 x}{2 sin 4 x} = cos 3 x .$

$c) \frac{cos x - cos 2 x + cos 3 x}{sin x - sin 2 x + sin 3 x} = \frac{(cos x + cos 3 x) - cos 2 x}{(sin x + sin 3 x) - sin 2 x}$

$= \frac{2 cos 2 x cos x - cos 2 x}{2 sin 2 x cos x - sin 2 x}$

$= \frac{cos 2 x (2 cos x - 1)}{sin 2 x (2 cos x - 1)} = \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = cot 2 x .$

d) $\frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} - tan y = \frac{2 (sin x cos y + cos x sin y)}{2 cos x cos y} - tan y$

$= \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} - \tan y = \tan x + \tan y - \tan y = \tan x .$

* Phương pháp giải:

biến đổi biểu thức đã cho để thu được kết quả rút gọn

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm

Tính chất:

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng $180^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng $90^{o}$ . Cho góc $α$ ta có:

Các dạng bài.

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 và cách giải bài tập chi tiết nhất

Giải Toán 10 Bài 5 (Kết nối tri thức): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án – Toán lớp 10

Câu 43:

17/06/2026

Điểm cực tiểu của hàm số $y = x^{4} + x^{2} + 1$

A. x = 0

B. x= -1

C. x = -2

D. x=1

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

Có $y^{'} = 4 x^{3} + 2 x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ . Qua $x = 0$ thì $y'$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ .

*Phương pháp giải:

Tính y'

Tìm nghiệm y' thay vào y để tìm yCĐ

* Lý thuyết nắm thêm về cực trị hàm số:

- Định nghĩa.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là $- \infty$ ; b là $+ \infty$ ) và điểm x₀ $\in$ (a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x(x₀ – h; x₀ + h) và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x $\in$ (x₀ – h; x₀ + h) và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

- Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.

Kí hiệu là f_CĐ (f_CT) còn điểm M(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x₀ thì f’(x₀) = 0.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Định lí 1

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ – h; x₀ + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x₀}; với h > 0.

a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) < 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h; x₀) và f’(x) > 0 trên khoảng (x₀; x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cực trị của hàm số (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án 2024) - Toán 12

Câu 44:

17/06/2026

Thế nào là hai cạnh kề nhau?

Xem đáp án

* Lời giải:

Hai cạnh kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa cạnh chung

* Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết hai cạnh kề nhau

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Hai góc kề bù

Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và không có điểm trong chung.

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180⁰.

Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau gọi là hai góc kề bù.

Ví dụ:

a) Hai góc $\hat{z O y}$ và $\hat{t O y}$ có cạnh chung Oy và không có điểm trong chung. Vì thế, hai góc $\hat{z O y}$ và $\hat{t O y}$ là hai góc kề nhau.

b)

Ta có: $\hat{x O z} + \hat{x O y} = 60^{0} + 120^{0} = 180^{0}$ .

Vì vậy, hai góc xOz và góc xOy là hai góc bù nhau.

Mặt khác: hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O y}$ có cạnh chung Ox và không có điểm trong chung nên hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O y}$ là hai góc kề nhau.

Vậy, hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O y}$ là hai góc kề bù.

Chú ý : Nếu M là điểm trong của góc xOy thì $\hat{x O M} + \hat{M O y} = \hat{x O y}$ .

2. Hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Ví dụ :

Cạnh Oy của $\hat{O_{4}}$ là tia đối của cạnh Ox của _{$\hat{O_{2}}$};

Cạnh Ot của $\hat{O_{4}}$ là tia đối của cạnh Oz của _{$\hat{O_{2}}$};

Vì vậy, _{$\hat{O_{2}}$} và $\hat{O_{4}}$ là hai góc đối đỉnh.

Tương tự, góc $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ cũng là hai góc đối đỉnh.

Chú ý: Khi $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ là hai góc đối đỉnh, ta còn nói $\hat{O_{1}}$ đối đỉnh với $\hat{O_{3}}$ ; $\hat{O_{3}}$ đối đỉnh với $\hat{O_{1}}$ ; $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ đối đỉnh với nhau.

3. Tính chất của hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Ví dụ:

Hai góc $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ đối đỉnh với nhau.

Vì vậy, $\hat{O_{1}} = \hat{O_{3}}$ .

Tương tự, $\hat{O_{2}}$ và $\hat{O_{4}}$ là hai góc đối đỉnh, nên $\hat{O_{2}} = \hat{O_{4}}$ _.

Chú ý: Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O tạo thành bốn góc $\hat{O_{1}}$ , $\hat{O_{2}}$ , $\hat{O_{3}}$ , $\hat{O_{4}}$ .

Do tính chất của hai góc đối đỉnh hoặc kề bù, ta thấy trong bốn góc nêu trên, nếu có một góc vuông thì ba góc còn lại cũng là góc vuông.

Khi đó, ta nói hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và kí hiệu là a ⊥ b, hoặc b ⊥ a.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các góc ở vị trí đặc biệt – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Các dạng bài tập về Hai góc đối đỉnh và cách giải – Toán lớp 7

Câu 45:

17/06/2026

Cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Chứng minh $\vec{A B} = \vec{C D}$

Xem đáp án

* Lời giải:

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành

=> ${\begin{array}{c} A B = D C \\ A B / / D C \end{array}$

=> $\vec{A B} = \vec{D C}$

Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \{\begin{cases} A B / / C D \\ A D / / B C \end{cases}$

Trong hình bình hành

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

Các dạng toán và phương pháp giải

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học

Vận dụng định nghĩa, các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình hành.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Áp dụng các dấu hiệu nhận biết của hình bình hành

a) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành;

b) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành;

c) Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành;

d) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành;

e) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành

50 bài tập về hình bình hành (có đáp án 2025) và cách giải

Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành

Câu 46:

17/06/2026

Hai cạnh tương ứng là gì? Hai góc tương ứng là gì?

Xem đáp án

* Lời giải:

- Hai cạnh tương ứng là hai cạnh của hai tam giác khác nhau. Hai cạnh đó bằng nhau và nằm trong hai tam giác bằng nhau

- Hai góc tương ứng là hai góc của hai tam giác khác nhau. Hai góc đó bằng nhau và nằm trong hai tam giác bằng nhau

Ví dụ trên hình vẽ, ta có $Δ A B C = Δ D E F$ thì:

Các cặp góc $\hat{A} - \hat{D}, \hat{B} - \hat{E}, \hat{C} - \hat{F}$ là các cặp góc tương ứng

Các cặp cạnh $A B - D E, B C - E F, C A - F D$ là các cặp cạnh tương ứng.

* Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết hai cạnh tương ứng, hai góc tương ứng

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Hai góc kề bù

Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và không có điểm trong chung.

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180⁰.

Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau gọi là hai góc kề bù.

Ví dụ:

a) Hai góc $\hat{z O y}$ và $\hat{t O y}$ có cạnh chung Oy và không có điểm trong chung. Vì thế, hai góc $\hat{z O y}$ và $\hat{t O y}$ là hai góc kề nhau.

b)

Ta có: $\hat{x O z} + \hat{x O y} = 60^{0} + 120^{0} = 180^{0}$ .

Vì vậy, hai góc xOz và góc xOy là hai góc bù nhau.

Mặt khác: hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O y}$ có cạnh chung Ox và không có điểm trong chung nên hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O y}$ là hai góc kề nhau.

Vậy, hai góc $\hat{x O z}$ và $\hat{x O y}$ là hai góc kề bù.

Chú ý : Nếu M là điểm trong của góc xOy thì $\hat{x O M} + \hat{M O y} = \hat{x O y}$ .

2. Hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

Ví dụ :

Cạnh Oy của $\hat{O_{4}}$ là tia đối của cạnh Ox của _{$\hat{O_{2}}$};

Cạnh Ot của $\hat{O_{4}}$ là tia đối của cạnh Oz của _{$\hat{O_{2}}$};

Vì vậy, _{$\hat{O_{2}}$} và $\hat{O_{4}}$ là hai góc đối đỉnh.

Tương tự, góc $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ cũng là hai góc đối đỉnh.

Chú ý: Khi $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ là hai góc đối đỉnh, ta còn nói $\hat{O_{1}}$ đối đỉnh với $\hat{O_{3}}$ ; $\hat{O_{3}}$ đối đỉnh với $\hat{O_{1}}$ ; $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ đối đỉnh với nhau.

3. Tính chất của hai góc đối đỉnh

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Ví dụ:

Hai góc $\hat{O_{1}}$ và $\hat{O_{3}}$ đối đỉnh với nhau.

Vì vậy, $\hat{O_{1}} = \hat{O_{3}}$ .

Tương tự, $\hat{O_{2}}$ và $\hat{O_{4}}$ là hai góc đối đỉnh, nên $\hat{O_{2}} = \hat{O_{4}}$ _.

Chú ý: Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O tạo thành bốn góc $\hat{O_{1}}$ , $\hat{O_{2}}$ , $\hat{O_{3}}$ , $\hat{O_{4}}$ .

Do tính chất của hai góc đối đỉnh hoặc kề bù, ta thấy trong bốn góc nêu trên, nếu có một góc vuông thì ba góc còn lại cũng là góc vuông.

Khi đó, ta nói hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và kí hiệu là a ⊥ b, hoặc b ⊥ a.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các góc ở vị trí đặc biệt – Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo

Các dạng bài tập về Hai góc đối đỉnh và cách giải – Toán lớp 7

Câu 47:

17/06/2026

Cho hàm số $y = 3 x + m - \frac{1}{x + 2}$ . Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0 ;1) khi m bằng

A. 1

B. 0

C. m=3

D. m =-3

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa để giải bài toán.

* Lý thuyết nắm thêm

1. Đường tiệm cận đứng

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a; + \infty)$ ; $(- \infty; b)$ hoặc $(- \infty; + \infty)$ ).

- Định nghĩa: Đường thẳng $x = x_{0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty$ ; $\lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty$ ;

$\lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$ ; $\lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty$ .

2. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Đường thẳng $y = y_{0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\lim_{x \to + \infty} f (x) = y_{0}$ ; $\lim_{x \to - \infty} f (x) = y_{0}$

Chú ý:

- Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}, (a d - b c \neq 0, c \neq 0)$ luôn có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là $y = \frac{a}{c}$ ; $x = - \frac{d}{c}$ .

- Nếu $y = f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ là hàm số phân thức hữu tỉ.

+ Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x₀, và x₀không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là .

+ Nếu bậc (P(x)) $\leq$ bậc (Q(x)) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số – Toán lớp 12

50 bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số (có đáp án 2025) và cách giải

Câu 48:

17/06/2026

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x + cos²x trên đoạn $[0; \frac{π}{4}]$ $[0; \frac{π}{4}]$

Xem đáp án

* Lời giải:

$\forall x_{1}, x_{2} \in [0; \frac{π}{4}], x_{2} > x_{1}$

Xét $f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) + \cos^{2} x_{2} - \cos^{2} x_{1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) = (x_{2} - x_{1}) - \sin (x_{2} + x_{1}) . \sin (x_{2} - x_{1}) \\ \geq (x_{2} - x_{1}) - \sin (x_{2} - x_{1}) > 0 \end{array}$

Vì $0 < x_{2} - x_{1} \leq \frac{π}{4}$ và ta có $x > \sin x$ với bất kì thuộc $(0; \frac{π}{2}]$ (1)

(dùng: cạnh huyền > cạnh góc vuông và độ dài cung tròn > độ dài cung trương cung đó ⇒ (1))

⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn $[0; \frac{π}{4}]$

$\Rightarrow f (0) = 1 \leq f (x) \leq f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}, \forall [0; \frac{π}{4}]$

⇒ GTLN bằng $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ khi $x = \frac{π}{4}$ và GTNN bằng 1 khi x = 0.

$y (- \frac{1}{2}) = 9$

* Dạng bài toán về tìm cực trị hàm số:

Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

cách 1:

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

cách 2:

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi xi tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b2 – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b2 – 3ac > 0

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập Cực trị của hàm số Toán 12 mới

Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án)

15 đề thi THPTQG môn Toán cực hay có lời giải chi tiết

Câu 49:

17/06/2026

Giải phương trình lượng giác: $\sin 3 x . \cos x = \sin \frac{5 x}{2} . \cos \frac{3 x}{2}$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 50:

17/06/2026

Cho ΔABC, điểm M nằm trong tam giác. BM cắt AC tại I. Chứng minh: MA+MB+MC<AB+AC+BC

Xem đáp án

* Lời giải:

Áp dụng bđt tam giác, ta có:

AB+AI > BI = MB+MI, CI + MI > MC

=> AB + AI + CI + MI > MB + MI + MC

Mà AI + CI = AC

=> AB + AC > MB + MC [1]

Áp dụng bđt tam giác, ta cũng có:

BA + BC > MA + MC [2], CA + CB > MA + MB [3]

Từ [1][2][3] => 2 (AB+AC+CA) > MA + MB + MC

=> MA + MB + MC < AB + AC + BC (đpcm)

*Phương pháp giải:

Bất đẳng thức tam giác

– Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác ABC, ta có: AB + BC > AC; AB + AC > BC; AC + BC > AB.

* Lý thuyết nắm thêm

Góc đối diện với cạnh lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Góc A được gọi là góc đối diện với cạnh BC;

• Góc B được gọi là góc đối diện với cạnh CA;

• Góc C được gọi là góc đối diện với cạnh AB.

– Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì $\hat{B} > \hat{C} .$

Cạnh đối diện với góc lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Cạnh BC được gọi là cạnh đối diện với góc A;

• Cạnh CA được gọi là cạnh đối diện với góc B;

• Cạnh AB được gọi là cạnh đối diện với góc C.

– Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu $\hat{B} > \hat{C}$ thì AC > AB.

– Nhận xét:

+ Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

+ Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác – Toán 7 Cánh diều

Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác | Cánh diều Giải Toán lớp 7

Câu 51:

17/06/2026

Giải và biện luận hệ phương trinh ( giải hệ phương trình bằng phương pháp thế )

(1):mx-y=2m

(2):4x-my=m+6

Xem đáp án

* Lời giải:

${\begin{matrix} m x - y = 2 m \\ 4 x - m y = m + 6 \end{matrix} \leftrightarrow {\begin{matrix} x = \frac{2 m + y}{m} = 2 + \frac{y}{m} (1) \\ 4 (2 + \frac{y}{m}) - m y = m + 6 (2) \end{matrix}$ (đk:m khác 0)

từ (2): $8 + \frac{4 y}{m} - m y = m + 6 \leftrightarrow \frac{4 y - m^{2} y}{m} = m - 2$

$\leftrightarrow y (2 - m) (2 + m) = m (m - 2)$

Nếu m=2 => 0=0 hệ có vô số nghiệm ${\begin{matrix} x = \frac{y + 4}{2} \\ y \in R \end{matrix}$

Nếu m=-2 => 0=8 , hệ vô nghiệm

Nếu m=0 , hệ có 1 nghiệm ${\begin{matrix} x = 1, 5 \\ y = 0 \end{matrix}$

Nếu $m \neq 0; m \neq \pm 2$ ,hệ có 1 nghiệm duy nhất ${\begin{matrix} x = 2 + \frac{y}{m} = 2 - \frac{1}{m + 2} = \frac{2 m + 3}{m + 2} \\ y = \frac{- m}{m + 2} \end{matrix}$

*Phương pháp giải:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

*Cách giải và các dạng bài toán về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Các dạng toán

Dạng 1: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Vận dụng một số kiến thức về chuyển động sau:

- Với ba đại lượng tham gia là quãng đường (S); vận tốc (v); thời gian (t), ta có công thức liên hệ giữa ba đại lượng như sau:

S = vt

Với: S là quang đường có đơn vị là km; m…

v là vận tốc có đơn vị là km/h; m/s…

t là thời gian có đơn vị là h; s…

- Khi vật chuyển động trên dòng nước ta có:

$v_{x u o i} = v_{t h u c} + v_{n u o c}$

$v_{n g u o c} = v_{t h u c} - v_{n u o c}$

Dạng 2: Bài toán công việc làm chung làm riêng

Phương pháp giải: Khi giải một bài toán làm chung làm riêng công việc ta cần chú ý đến một số đại lượng sau:

- Có ba đại lượng tham gia bài toán là:

+ Toàn bộ công việc.

+ Phần công việc làm được trong một đơn vị thời gian.

+ Thời gian hoàn thành một phần công việc hoặc toàn bộ công việc.

- Nếu một đội (một người,…) làm xong công việc trong x ngày thì mỗi ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ (công việc), làm a ngày thì được $\frac{a}{x}$ (công việc).

- Ta thường coi toàn bộ công việc là 1.

Dạng 3: Bài toán về quan hệ các số

Phương pháp giải: Ta sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Biểu diễn số có hai chữ số $\bar{a b} = 10 a + b$ trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ $(a, b \in ℕ)$ .

- Biểu diễn số có ba chữ số $\bar{a b c} = 100 a + 10 b + c$ , trong đó a là chữ số hàng trăm b là chữ số hàng trục; c là chữ số hàng đơn vị và $0 < a \leq 9$ ; $0 \leq b \leq 9$ ; $0 \leq c \leq 9$ $(a, b, c \in ℕ)$ .

Dạng 4: Bài toán về hình học

Phương pháp giải: Sử dụng đến công thức tính chu vi, diện tích các hình như hình vuông; hình chữ nhật; hình thang;…

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Sách bài tập Toán 9 Bài 3 (Kết nối tri thức): Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

50 bài tập về Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hay (có đáp án 2024) - Toán 9

TOP 40 câu Trắc nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương cách lập hệ phương trình (có đáp án 2024) – Toán 9

Câu 52:

17/06/2026

Chứng minh biểu thức luôn dương:
a) A= x² - 7x + 20 > 0 với mọi x
b) B= 2x² + 5x + 14 > 0 với mọi x

Xem đáp án

* Lời giải:

$a) A = x^{2} - 7 x + 20 = x^{2} - 2 . \frac{7}{2} x + \frac{49}{4} + \frac{31}{4} = {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{31}{4} > 0 v ớ i m ọ i x (d p c m) b) B = 2 x^{2} + 5 x + 14 = (x^{2} + 2 . \frac{5}{4} x + \frac{25}{16} + \frac{87}{16}) = 2 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{87}{8} > 0 (d p c m)$

*Phương pháp giải:

Biến đổi về dạng Hằng đẳng thức +/- 1 số lẻ bên ngoài

- Lập luận để luôn dương

* Lý thuyết nắm thêm:

Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Xác định các hệ số a, b, c của phương trình bậc hai.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (1)

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1, (2)

- Nếu không rơi vào trường hợp (1) và (2) thì tính ∆ = b2 – 4ac

+ ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ ∆ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Lưu ý: Nếu b = 2bꞌ thì giải phương trình theo công thức nghiệm thu gọn

Ta có ∆ꞌ = (bꞌ)2 – ac

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức cosi

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực không âm ta có:

Dạng 1: $\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 2: x1 + x2 +...+xn $\geq n . \sqrt[n]{x_{1} . x_{2} . . . x_{n}}$

Dạng 3: ${(\frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n})}^{n} \geq x_{1} . x_{2} . . . x_{n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =....= xn

Cho x1, x2, x3 ,…, xn là các số thực dương ta có:

Dạng 1: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}} \geq \frac{n^{2}}{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}$

Dạng 2: (x1 + x2 + ... + xn) $(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + . . . + \frac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Giải Toán 9 Bài 19 (Kết nối tri thức): Phương trình bậc hai một ẩn

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, tìm GTLN - GTNN của biểu thức (2025 + Bài tập)

Câu 53:

17/06/2026

Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn $y^{2} + 2 x y - 3 x - 2 = 0$

Xem đáp án

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Ta đưa phương trình về dạng tích bằng cách đặt nhân tử chung, sau đó phân tích thành nhân tử bằng hằng đẳng thức

Giải từng nhân tử bằng cách cho mỗi biểu thức bằng 0 để tìm nghiệm

Kết luận các giá trị của thỏa mãn phương trình

* Lý thuyết nắm thêm

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

- Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

A.B + A.C = A.(B + C)

Các dạng bài

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

- Ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều biến đổi từ một vế là một đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đơn thức đơn giản hơn.

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. Phương pháp giải:

Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, bài tập và cách giải (2024) – Toán 8

50 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 mới nhất

Câu 54:

17/06/2026

Chứng minh rằng với a>b>0 thì: $\sqrt{a} - \sqrt{b} > \sqrt{a - b}$

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có: ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b {(\sqrt{a - b})}^{2} = a - b = a + b - 2 b V ì a > b > 0 n ê n a . b > b^{2} h a y 2 \sqrt{a . b} > 2 \sqrt{b^{2}} \Leftrightarrow 2 \sqrt{a b} > 2 b$

*Phương pháp giải:

Với hai số a và b không âm, ta có: $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

* Lý thuyết nắm thêm

Căn bậc hai

a. Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a.

Tính chất:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết $\sqrt{0} = 0$ .

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là $\sqrt{a}$ , số âm ký hiệu là $- \sqrt{a}$ .

Căn bậc hai số học

a. Định nghĩa: Với số dương a, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Phép khai phương:

- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Căn bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) - Toán 9

Toán 9 Bài 8 (Kết nối tri thức): Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Câu 55:

17/06/2026

Tỉ số phần trăm của $3$ và $4$ là

A. 25%

B. 50%

C. 75%

D. 15%

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

Tỉ số phần trăm của $3$ và $4$ là $\frac{3}{4} .100 % = \frac{3.100}{4} % = 75 %$ .

* Phương pháp giải:

Tỉ số phần trăm của a và b là $\frac{a}{b} .100 %$ .

* Lý thuyết nắm thêm

Tỷ số của hai số là thương của phép chia số a cho số b với b khác 0, được viết dưới dạng a / b hoặc a : b.

Tỷ số phần trăm chính là tỉ số của hai số mà ở đó ta sẽ quy mẫu số của tỉ số về số 100. Tỷ số phần trăm thường được sử dụng để biểu thị độ lớn tương đối của một lượng này so với lượng khác. Ví dụ: 2/100 = 2%, 35/100 = 35%

Ký hiệu thường dùng là “%” – ký hiệu phần trăm. Ví dụ: 50% (đọc là “năm mươi phần trăm”) tương đương với 50/100, nói cách khác là 0,5.

Cách tính tỉ số phần trăm của 1 số

Trong toán học, phần trăm là tỷ lệ được hiển thị dưới dạng phân số với mẫu số luôn luôn bằng 100. Ngoài ra, phần trăm còn được biểu diễn ở dạng khác bằng cách dùng ký hiệu % mà bạn thường gặp như 1%, 5%, 10%,… Điều đặc biệt là phần trăm không có đơn vị đo lường.

Bạn sẽ thường thấy rằng phần trăm được dùng để chỉ ra mức độ (hay độ lớn) của một lượng này so với một lượng kia. Ví dụ, một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 15 học sinh là nữ thì ta có thể nói rằng số học sinh nữ chiếm tỉ lệ 50% trong tổng số học sinh của lớp học đó.

Để hiểu rõ hơn về tỷ lệ phần trăm, dưới đây là cách tính phần trăm của 1 số:

Tính phần trăm khi biết tổng thể với a là một số, b là tổng thể, ta tính như sau: (a/b)*100 (%).

Ví dụ, một một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 5 học sinh là nữ. Thì ta có, 20 học sinh là tổng thể, 5 học sinh nữ là số bạn cần so sánh. Ta có phép tính như sau: (5/20)*100(%).

Tính phần trăm khi chưa biết tổng thể với a là một số, b là một số, ta tính như sau: a/(a+b))*100 hay b/(a+b))*100 (%).

- Cách tính phần trăm của 2 số

Cách tính phần trăm của 2 số a, b đó chính là lấy số a đem chia số b và nhân cho 100. Chúng ta sẽ ghi ký hiệu phần trăm (%) ở đằng sau kết quả mình nhận được. Cụ thể là:

(a : b) x 100 = a/b x 100 (%)

- Cách tính phần trăm của một tổng

Đây là cách tính phần trăm được dùng nhiều nhất trong tất cả. Khi tính phần trăm 1 tổng, bạn sẽ biết đại lượng này chiếm bao nhiêu phần trong tổng chung.

Cách tính phần trăm A so với tổng (A+B): A/(A+B)*100

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 Bài toán về tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án 2025) và cách giải

35 Bài tập Tỉ số phần trăm lớp 5 (có đáp án)

Câu 56:

17/06/2026

Nguyên hàm của hàm số f (x) = 5^x là

A. $F (x) = 5^{x} + C$

B. $F (x) = 5^{x} . \ln 5 + C$

C. $F (x) = - \frac{5^{x}}{\ln 5} + C$

D. $F (x) = \frac{5^{X}}{\ln 5} + C$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

* Lời giải:

Nguyên hàm của hàm số f (x) = 5^xlà

$F (x) = \int f (x) d x = \int 5^{x} d x = \frac{5^{x}}{l n 5} + C .$

* Phương pháp giải

vận dụng công thức biến đổi nguyên hàm để biến đổi

* Các dạng bài toán về tìm nguyên hàm và tích phân:

Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R).

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi $x \in K$ .

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó $F (x) + C; C \in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: $\int_{}^{} f (x) d x = F (x) + C$

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

$\int f' (x) d x = f (x) + C$

Ví dụ 3.

$\int ( 4^{x})' d x$ $= \int 4^{x} . \ln 4. d x = 4^{x} + C$

- Tính chất 2.

$\int k f (x) d x = k . \int f (x) d x$ (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

$\int [f (x) \pm g (x)] d x$ $= \int f (x) d x \pm \int g (x) d x$

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu $\int f (u) d u = F (u) + C$ và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

$\int f (u (x)) . u' (x) d x$ $= F (u (x)) + C$

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

$\int f (a x + b) d x$ $= \frac{1}{a} F (a x + b) + C$

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

$\int u (x) . v' (x) . d x$ $= u (x) . v (x) - \int u' (x) . v (x) d x$

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

$\int u d v = u v - \int v d u$

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Nguyên hàm – Toán 12

Trắc nghiệm Nguyên hàm (có đáp án) - Toán 12

150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (P1)

$F (x) = \int f (x) d x = \int 5^{x} d x = \frac{5^{x}}{l n 5} + C .$

Câu 57:

17/06/2026

Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Xem đáp án

* Lời giải:

Là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3.

Ví dụ : 726 : 3 vì 7 + 2 + 6 = 15 chia hết cho 3

Chú ý : Các số có tổng các chữ số không chia hết cho 3 thì không cia

hết cho 3 đồng thời tổng này chia cho 3 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3 dư bấy nhiêu

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

Chú ý : Các số có tổng không chia hết cho 9 thì không chia hết cho 9

đồng thời tổng này chia cho 9 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 9 dư bấy nhiêu

* Phương pháp giải:

Nắm lại dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

* Lý thuyết nắm thêm

1. Dấu hiệu số các số chia hết cho 2

– Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số chia hết cho 2 là các số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 tức là số tận cùng là những số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8.

– Ví dụ: số 20 có chữ số tận cùng là số 0 thì chia hết cho 2, tương tự với số 12, 16, 18, 36 đều chia hết cho 2. Số 33 có chữ số tận cùng là 3 thì không chia hết cho 2, tương tự như vậy số 13, 43, 55, 89 thì không chia hết cho 2.

2. Dấu hiệu số các số chia hết cho 3

– Dấu hiệu chia hết cho 3 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

– Ví dụ: 12 có tổng các chữ số: 1 + 2 = 3, 126 có tổng các chữ số là: 1 + 2 + 6 = 9 chia hết cho 3. 333 có tổ các chữ số: 3+3+3 = 9 mà 9 chia hết cho 3 nên 333 cũng chia hết cho 3.

23 có tổng các chữ số: 2+3 = 5 mà 5 không chia hết cho 3 nên 23 cũng không chia hết cho 3.

3. Dấu hiệu số các số chia hết cho 5

– Dấu hiệu chia hết cho 5 là: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

– Ví dụ: số 10 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5, tương tự như vậy những số: 15, 55, 30, 45 đều chia hết cho 5.

Số 43 có chữ số tận cùng là 3, không phải 0 và 5 nên không chia hết cho 5, tương tự số 13, 23, 33 cũng vậy nên đều không chia hết cho 5.

4. Dấu hiệu số các số chia hết cho 9

– Dấu hiệu chia hết cho 9 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

– Ví dụ: 171 có tổng các chữ số là: 1+7+1= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 171 chia hết cho 9. Số 27 có tổng các chữ số là: 2+7= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 27 chia hết cho 9.

Số 65 có tổng các chữ số là +: 6+5= 11 mà 11 không chia hết cho 9 cho nên 65 không chia hết cho 9. Tương tự như vậy 994 có tổng các chữ số là: 9+9+4= 22 mà 22 không chia hết cho 9 nên 994 không chia hết cho 9.

5. Dấu hiệu số các số chia hết cho 4

– Dấu hiệu chia hết cho 4: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.

– Ví dụ: 136 có 2 chữ số tận cùng là 36 mà 36 chia hết cho 4 cho nên 136 cũng chia hết cho 4. Hoặc số 172 có 2 chữ số tận cùng 73 mà 72 chia hết cho 4 cho nên 172 cũng chia hết cho 4.

Số 413 có 2 chữ số tận cùng là 13 mà 13 không chia hết cho 4 nên 413 cũng không chia hết cho 4. Số 233 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 4 cho nên 233 cũng không chia hết cho 4.

6. Dấu hiệu số các số chia hết cho 8

– Dấu hiệu chia hết cho 8: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8

– Ví dụ: 3904 có chia hết cho 8 vì 904 chia hết cho 8. 1800 có 3 chữ tận cùng là 800 mà 800 chia hết cho 8 cho nên 1800 chia hết cho 8. Số 1128 có 3 chữ số tận cùng là 128 mà 128 chia hết cho 8 cho nên 1128 cũng chia hết cho 8.

Số 2123 có 3 chữ số tận cùng là 123 mà 123 không chia hết cho 8 cho nên 2123 không chia hết cho 8. Số 3162 có chữ số tận cùng là 162 mà 162 không chia hết cho 8 cho nên 3162 cũng không chia hết cho 8.

7. Dấu hiệu số các số chia hết cho 25

– Dấu hiệu chia hết cho 25: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25.

– Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25. Số 5350 có 2 chữ số tận cùng là 50 mà 50 chia hết cho 25 nên 5350 chia hết cho 25. Số 375 có 2 chữ số tận cùng là 75 mà 75 chia hết cho 25 cho nên 375 chia hết cho 25.

Số 333 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 25 cho nên số 333 không chia hết cho 25. Số 652 có 2 chữ số tận cùng là 52 mà 52 không chia hết cho 25 nên 652 cũng không chia hết cho 25. Tương tự như vậy các số 487, 222, 999… vì 2 chữ số tận cùng không chia hết cho 25 nên chúng cũng không chia hết cho 25.

8. Dấu hiệu số các số chia hết cho 125

– Dấu hiệu chia hết cho 125: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125

– Ví dụ: 1125 có 3 chữ số tận cùng là 125 mà 125 chia hết cho 125 cho nên 1125 cũng chia hết cho 25. Số 2250 có 3 chữ số tận cùng là 250 mà 250 chia hết cho 25 cho nên 2250 cũng chia hết cho 25. Tương tự như vậy những số 12125, 3250, 5375, 10375… vì có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 nên những số đó đều chia hết cho 125.

Số 1225 có 3 chữ số tận cùng là 225 mà 225 không chia hết cho 125 nên 1225 cũng không chia hết cho 125. Số 7561 có 3 chữ số tận cùng là 561 mà 561 không chia hết cho 125 cho nên số 7561 cũng không chia hết cho 125. Tương tự như vậy những số 80124, 14255,… có 3 chữ số tận cùng không chia hết cho 125 nên những số đó đều không chia hết cho 125.

9. Dấu hiệu số các số chia hết cho 11

– Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11.

– Ví dụ: 253 có chia hết cho 11 không?

Ta có: (2 + 3) – 5 = 5 – 5 = 0 ⋮ 11

=> 253 ⋮ 11.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Dấu hiệu chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 6 Bài 8 (Kết nối tri thức): Quan hệ chia hết và tính chất

Câu 58:

17/06/2026

Chứng minh S=n²+3n-38 không chia hết cho 49

Xem đáp án

* Lời giải:

Giả sử tồn tại n sao cho $S = n^{2} + 3 n - 38$ chia chết cho $49$ .

Khi đó xét biểu thức:

$n^{2} - 4 n + 4 = n^{2} + 3 n - 7 n - 38 + 42$

$= n^{2} + 3 n - 38 - 7 (n - 6)$ chia hết cho $7$

Biểu thức đem xét là $n^{2} - 4 n + 4$ viết $- 4 n$

$= - 7 n + 3 n; 4$

$= - 38 + 42$

$\Rightarrow$ $n^{2} - 4 n + 4$

$= (n - 2)^{2}$ chia hết cho $7$ hay $n - 2$ chia hết cho $7$

Gọi $n - 2 = 7 t$

$\Rightarrow$ $n = 2 + 7 t$ . Thay vào $S$ ta có:

$S = (2 + 7 t)^{2} + 3 (2 + 7 t) - 38$

$= 4 + 28 t + 49 t^{2} + 6 + 21 t - 38$

$= 49 t^{2} + 49 t - 28$

$\Rightarrow S$ không chia hết cho $49$

$\Rightarrow Đ p c m$

1. Dấu hiệu số các số chia hết cho 2

– Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số chia hết cho 2 là các số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 tức là số tận cùng là những số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8.

– Ví dụ: số 20 có chữ số tận cùng là số 0 thì chia hết cho 2, tương tự với số 12, 16, 18, 36 đều chia hết cho 2. Số 33 có chữ số tận cùng là 3 thì không chia hết cho 2, tương tự như vậy số 13, 43, 55, 89 thì không chia hết cho 2.

2. Dấu hiệu số các số chia hết cho 3

– Dấu hiệu chia hết cho 3 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

– Ví dụ: 12 có tổng các chữ số: 1 + 2 = 3, 126 có tổng các chữ số là: 1 + 2 + 6 = 9 chia hết cho 3. 333 có tổ các chữ số: 3+3+3 = 9 mà 9 chia hết cho 3 nên 333 cũng chia hết cho 3.

23 có tổng các chữ số: 2+3 = 5 mà 5 không chia hết cho 3 nên 23 cũng không chia hết cho 3.

3. Dấu hiệu số các số chia hết cho 5

– Dấu hiệu chia hết cho 5 là: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

– Ví dụ: số 10 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5, tương tự như vậy những số: 15, 55, 30, 45 đều chia hết cho 5.

Số 43 có chữ số tận cùng là 3, không phải 0 và 5 nên không chia hết cho 5, tương tự số 13, 23, 33 cũng vậy nên đều không chia hết cho 5.

4. Dấu hiệu số các số chia hết cho 9

– Dấu hiệu chia hết cho 9 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

– Ví dụ: 171 có tổng các chữ số là: 1+7+1= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 171 chia hết cho 9. Số 27 có tổng các chữ số là: 2+7= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 27 chia hết cho 9.

Số 65 có tổng các chữ số là +: 6+5= 11 mà 11 không chia hết cho 9 cho nên 65 không chia hết cho 9. Tương tự như vậy 994 có tổng các chữ số là: 9+9+4= 22 mà 22 không chia hết cho 9 nên 994 không chia hết cho 9.

5. Dấu hiệu số các số chia hết cho 4

– Dấu hiệu chia hết cho 4: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.

– Ví dụ: 136 có 2 chữ số tận cùng là 36 mà 36 chia hết cho 4 cho nên 136 cũng chia hết cho 4. Hoặc số 172 có 2 chữ số tận cùng 73 mà 72 chia hết cho 4 cho nên 172 cũng chia hết cho 4.

Số 413 có 2 chữ số tận cùng là 13 mà 13 không chia hết cho 4 nên 413 cũng không chia hết cho 4. Số 233 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 4 cho nên 233 cũng không chia hết cho 4.

6. Dấu hiệu số các số chia hết cho 8

– Dấu hiệu chia hết cho 8: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8

– Ví dụ: 3904 có chia hết cho 8 vì 904 chia hết cho 8. 1800 có 3 chữ tận cùng là 800 mà 800 chia hết cho 8 cho nên 1800 chia hết cho 8. Số 1128 có 3 chữ số tận cùng là 128 mà 128 chia hết cho 8 cho nên 1128 cũng chia hết cho 8.

Số 2123 có 3 chữ số tận cùng là 123 mà 123 không chia hết cho 8 cho nên 2123 không chia hết cho 8. Số 3162 có chữ số tận cùng là 162 mà 162 không chia hết cho 8 cho nên 3162 cũng không chia hết cho 8.

7. Dấu hiệu số các số chia hết cho 25

– Dấu hiệu chia hết cho 25: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25.

– Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25. Số 5350 có 2 chữ số tận cùng là 50 mà 50 chia hết cho 25 nên 5350 chia hết cho 25. Số 375 có 2 chữ số tận cùng là 75 mà 75 chia hết cho 25 cho nên 375 chia hết cho 25.

Số 333 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 25 cho nên số 333 không chia hết cho 25. Số 652 có 2 chữ số tận cùng là 52 mà 52 không chia hết cho 25 nên 652 cũng không chia hết cho 25. Tương tự như vậy các số 487, 222, 999… vì 2 chữ số tận cùng không chia hết cho 25 nên chúng cũng không chia hết cho 25.

8. Dấu hiệu số các số chia hết cho 125

– Dấu hiệu chia hết cho 125: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125

– Ví dụ: 1125 có 3 chữ số tận cùng là 125 mà 125 chia hết cho 125 cho nên 1125 cũng chia hết cho 25. Số 2250 có 3 chữ số tận cùng là 250 mà 250 chia hết cho 25 cho nên 2250 cũng chia hết cho 25. Tương tự như vậy những số 12125, 3250, 5375, 10375… vì có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 nên những số đó đều chia hết cho 125.

Số 1225 có 3 chữ số tận cùng là 225 mà 225 không chia hết cho 125 nên 1225 cũng không chia hết cho 125. Số 7561 có 3 chữ số tận cùng là 561 mà 561 không chia hết cho 125 cho nên số 7561 cũng không chia hết cho 125. Tương tự như vậy những số 80124, 14255,… có 3 chữ số tận cùng không chia hết cho 125 nên những số đó đều không chia hết cho 125.

9. Dấu hiệu số các số chia hết cho 11

– Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11.

– Ví dụ: 253 có chia hết cho 11 không?

Ta có: (2 + 3) – 5 = 5 – 5 = 0 ⋮ 11

=> 253 ⋮ 11.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Dấu hiệu chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 6 Bài 8 (Kết nối tri thức): Quan hệ chia hết và tính chất

Câu 59:

17/06/2026

Chứng minh rằng: (7²⁰⁰⁴+32).(49¹⁰¹²+34) chia hết cho 6

Xem đáp án

* Lời giải:

= ( 7²⁰²⁴ + 32 ). ( 7¹⁰¹² . 7¹⁰¹² + 34 )

= ( 7²⁰²⁴ + 32 ) . ( 7²⁰²⁴ + 34 )

= 7²⁰²⁴ ( 32 + 34 )

= 7²⁰²⁴ . 66 ⋮ 6

$\Rightarrow Đ p c m$

* Phương pháp giải:

Biến đổi và dùng dấu hiệu nhận biết chia hết cho 1 số

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Dấu hiệu số các số chia hết cho 2

– Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số chia hết cho 2 là các số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 tức là số tận cùng là những số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8.

– Ví dụ: số 20 có chữ số tận cùng là số 0 thì chia hết cho 2, tương tự với số 12, 16, 18, 36 đều chia hết cho 2. Số 33 có chữ số tận cùng là 3 thì không chia hết cho 2, tương tự như vậy số 13, 43, 55, 89 thì không chia hết cho 2.

2. Dấu hiệu số các số chia hết cho 3

– Dấu hiệu chia hết cho 3 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

– Ví dụ: 12 có tổng các chữ số: 1 + 2 = 3, 126 có tổng các chữ số là: 1 + 2 + 6 = 9 chia hết cho 3. 333 có tổ các chữ số: 3+3+3 = 9 mà 9 chia hết cho 3 nên 333 cũng chia hết cho 3.

23 có tổng các chữ số: 2+3 = 5 mà 5 không chia hết cho 3 nên 23 cũng không chia hết cho 3.

3. Dấu hiệu số các số chia hết cho 5

– Dấu hiệu chia hết cho 5 là: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

– Ví dụ: số 10 có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5, tương tự như vậy những số: 15, 55, 30, 45 đều chia hết cho 5.

Số 43 có chữ số tận cùng là 3, không phải 0 và 5 nên không chia hết cho 5, tương tự số 13, 23, 33 cũng vậy nên đều không chia hết cho 5.

4. Dấu hiệu số các số chia hết cho 9

– Dấu hiệu chia hết cho 9 là: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

– Ví dụ: 171 có tổng các chữ số là: 1+7+1= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 171 chia hết cho 9. Số 27 có tổng các chữ số là: 2+7= 9 mà 9 chia hết cho 9 cho nên 27 chia hết cho 9.

Số 65 có tổng các chữ số là +: 6+5= 11 mà 11 không chia hết cho 9 cho nên 65 không chia hết cho 9. Tương tự như vậy 994 có tổng các chữ số là: 9+9+4= 22 mà 22 không chia hết cho 9 nên 994 không chia hết cho 9.

5. Dấu hiệu số các số chia hết cho 4

– Dấu hiệu chia hết cho 4: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4.

– Ví dụ: 136 có 2 chữ số tận cùng là 36 mà 36 chia hết cho 4 cho nên 136 cũng chia hết cho 4. Hoặc số 172 có 2 chữ số tận cùng 73 mà 72 chia hết cho 4 cho nên 172 cũng chia hết cho 4.

Số 413 có 2 chữ số tận cùng là 13 mà 13 không chia hết cho 4 nên 413 cũng không chia hết cho 4. Số 233 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 4 cho nên 233 cũng không chia hết cho 4.

6. Dấu hiệu số các số chia hết cho 8

– Dấu hiệu chia hết cho 8: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8

– Ví dụ: 3904 có chia hết cho 8 vì 904 chia hết cho 8. 1800 có 3 chữ tận cùng là 800 mà 800 chia hết cho 8 cho nên 1800 chia hết cho 8. Số 1128 có 3 chữ số tận cùng là 128 mà 128 chia hết cho 8 cho nên 1128 cũng chia hết cho 8.

Số 2123 có 3 chữ số tận cùng là 123 mà 123 không chia hết cho 8 cho nên 2123 không chia hết cho 8. Số 3162 có chữ số tận cùng là 162 mà 162 không chia hết cho 8 cho nên 3162 cũng không chia hết cho 8.

7. Dấu hiệu số các số chia hết cho 25

– Dấu hiệu chia hết cho 25: Có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 25.

– Ví dụ: 12231225 chia hết cho 25 vì 25 chia hết cho 25. Số 5350 có 2 chữ số tận cùng là 50 mà 50 chia hết cho 25 nên 5350 chia hết cho 25. Số 375 có 2 chữ số tận cùng là 75 mà 75 chia hết cho 25 cho nên 375 chia hết cho 25.

Số 333 có 2 chữ số tận cùng là 33 mà 33 không chia hết cho 25 cho nên số 333 không chia hết cho 25. Số 652 có 2 chữ số tận cùng là 52 mà 52 không chia hết cho 25 nên 652 cũng không chia hết cho 25. Tương tự như vậy các số 487, 222, 999… vì 2 chữ số tận cùng không chia hết cho 25 nên chúng cũng không chia hết cho 25.

8. Dấu hiệu số các số chia hết cho 125

– Dấu hiệu chia hết cho 125: Có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125

– Ví dụ: 1125 có 3 chữ số tận cùng là 125 mà 125 chia hết cho 125 cho nên 1125 cũng chia hết cho 25. Số 2250 có 3 chữ số tận cùng là 250 mà 250 chia hết cho 25 cho nên 2250 cũng chia hết cho 25. Tương tự như vậy những số 12125, 3250, 5375, 10375… vì có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 nên những số đó đều chia hết cho 125.

Số 1225 có 3 chữ số tận cùng là 225 mà 225 không chia hết cho 125 nên 1225 cũng không chia hết cho 125. Số 7561 có 3 chữ số tận cùng là 561 mà 561 không chia hết cho 125 cho nên số 7561 cũng không chia hết cho 125. Tương tự như vậy những số 80124, 14255,… có 3 chữ số tận cùng không chia hết cho 125 nên những số đó đều không chia hết cho 125.

9. Dấu hiệu số các số chia hết cho 11

– Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng lẻ – Tổng các chữ số hàng chẵn hoặc ngược lại chia hết cho 11.

– Ví dụ: 253 có chia hết cho 11 không?

Ta có: (2 + 3) – 5 = 5 – 5 = 0 ⋮ 11

=> 253 ⋮ 11.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Dấu hiệu chia hết chi tiết – Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 6 Bài 8 (Kết nối tri thức): Quan hệ chia hết và tính chất

Câu 60:

17/06/2026

Giá trị của biểu thức $A = \tan 1^{0} \tan 2^{0} \tan 3^{0} ... \tan 88^{0} \tan 89^{0}$ là:

A. 0

B. 2

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án đúng: D

*Lời giải:

A=(tan10tan890).(tan20.tan880)...(tan440.tan460).tan450=(tan10.cot10).(tan20.cot20)....(tan440.cot440).tan450=1.1....1.1=1

*Phương pháp giải:

- Áp dụng tính chất về góc(cung) hơn kém nhau $π$ hay chính là 180 $°$ để giải quyết

*Một số dạng bài thêm về cung và góc lượng giác:

Dạng 2.1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

Dạng 2.2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Dạng 2.3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° có đáp án (Phần 2)

Giải Toán 10 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

Câu 61:

17/06/2026

Rút gọn A= tanx. tan(x+ $\frac{π}{3}$ )+tan(x+ $\frac{π}{3}$ ).tan(x+ $\frac{2 π}{3}$ ) +tan(x+ $\frac{2 π}{3}$ ).tanx

Xem đáp án

* Lời giải:

Áp dụng công thức:

$\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a . \tan b}$

$\Rightarrow \tan (a - b) . (1 + \tan a . \tan b) = \tan a - \tan b$ (*)

$A = \tan x . \tan (x + \frac{π}{3}) + \tan (x + \frac{π}{3}) . \tan (x + \frac{2 π}{3}) + \tan (x + \frac{2 π}{3}) . \tan x$

Áp dụng (*) ta có:

+)

$\tan \frac{π}{3} . [1 + \tan x . \tan (x + \frac{π}{3})]$

$= \tan [(x + \frac{π}{3}) - x)] . [1 + \tan x . \tan (x + \frac{π}{3})]$

$= \tan (x + \frac{π}{3}) - \tan x$ (1)

+)

$\tan \frac{π}{3} . [1 + \tan (x + \frac{π}{3}) . \tan (x + \frac{2 π}{3})]$

$= \tan [(x + \frac{2 π}{3}) - (x + \frac{π}{3})] . [1 + \tan (x + \frac{π}{3}) . \tan (x + \frac{2 π}{3})]$

$= \tan (x + \frac{2 π}{3}) - \tan (x + \frac{π}{3})$ (2)

+)

$\tan \frac{π}{3} . [1 + \tan (x + \frac{2 π}{3}) . \tan x]$

$= \tan \frac{- 2 π}{3} . [1 + \tan (x + \frac{2 π}{3}) . \tan x]$

$= \tan [x - (x + \frac{2 π}{3})] . [1 + \tan (x + \frac{π}{3}) . \tan x]$

$= \tan x - \tan (x + \frac{2 π}{3})$ (3)

Lấy vế cộng vế phương trình (1) + (2) + (3) ta có:

$\tan \frac{π}{3} . (3 + A) = 0$

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình lượng giác:

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết $f (x) = 0 \Leftrightarrow g (x) = 0$

*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at + b = 0 (1)

Trong đó; a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Phương pháp:

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã được học để đưa về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác hoặc đưa về phương trình tích để giải phương trình.

Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác

Định nghĩa.

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

at² + bt + c = 0

Trong đó a; b; c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Một số phương trình lượng giác thường gặp và cách giải các dạng bài tập

Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản (có đáp án) – Toán 11

Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Câu 62:

17/06/2026

Tập hợp Z là gì ? Tập hợp N là gì ?

Tập hợp Z gồm những số nào ? Tập hợp N gồm những số nào ?

Xem đáp án

* Lời giải:

Tập hợp Z là tập hợp các số nguyên âm, số nguyên dương và số 0.

Z= {...; -2; -1; 0; 1; 2; ...}

Tập hợp N là tập hợp các số tự nhiên (trong đó có 0)

N= {0; 1; 2; 3; ...}

* Phương pháp giải:

+ Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.

+ Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.

* Lý thuyết nắm thêm

Tập hợp $ℤ$ các số nguyên

+ Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.

+ Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là $ℤ$

Chú ý:

+ Số 0 không phải số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.

+ Các số nguyên dương 1, 2, 3,... đều mang dấu “+" nên còn được viết là + 1, + 2, + 3,...

Biểu diễn số nguyên trên trục số

Ta có thể biểu diễn số nguyên trên trục số. Có hai loại trục số:

Trục số nằm ngang

Trên trục số nằm ngang, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm bên phải điểm 0.

Tập hợp và phần tử của tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học (không định nghĩa).

Tập hợp được kí hiệu là các chữ cái in hoa: A, B, C, D, …

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tập hợp các số nguyên chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

TOP 15 câu Trắc nghiệm tập hợp có lời giải - Toán lớp 6 Kết nối tri thức

Câu 63:

17/06/2026

Hệ số nguyên tối giản là gì?

Xem đáp án

* Lời giải:

$-$ Hệ số nguyên tối giản là kiểu là hệ số đó đã rút gọn hết mức có thể và là số nguyên

ví dụ như : $2 F e + 4 H C l \to 2 F e C l_{2} + 2 H_{2}$ nếu để như thế này thì là hệ số của nó : $2 : 4 : 2 : 2$ chưa tối giản phải chuyển về tối giản là : $1 : 2 : 1 : 1$

$\Rightarrow$ $F e + 2 H C l \to F e C l_{2} + H_{2}$

* Phương pháp giải:

Chúng ta cân bằng phương trình hóa học rồi tìm ra hệ số của nó và tối giản hệ số đó

* Lý thuyết nắm thêm

*Lý thuyết và Phương pháp giải

Dựa vào định luật tác dụng khối lượng cho các cân bằng thông qua mối quan hệ giữa nồng độ cân bằng với hằng số cân bằng nồng độ hay quan hệ giữa áp suất riêng phần tại thời điểm cân bằng với hằng số cân bằng áp suất.

- Trong dung dịch tồn tại cân bằng: aA + bB cC + dD

K_C =

- Phản ứng xảy ra trong pha khí: aA (k) + bB (k) cC (k) + dD (k)

Hằng số cân bằng tính theo nồng độ: K_C =

Hằng số cân bằng tính theo áp suất: K_P =

Xác định sư chuyển dịch cân bằng

* Lý thuyết và Phương pháp giải

Dựa vào nguyên lí chuyển dịch cân bằng: “ Một phản ứng thuận nghịch đang ở trạng thái cân bằng khi chịu một tác động bên ngoài, như biến đổi nồng độ, áp suất, nhiệt độ sẽ chuyển dịch cân bằng theo chiều làm giảm tác đọng bên ngoài.”

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Luyện tập: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học có đáp án - Hóa học lớp 10

Lý thuyết, cách xác định và bài tập cân bằng phương trình hóa học

Câu 64:

17/06/2026

Cho $\tan α = \sqrt{2}, (0 < α < 90^{0})$ . Tính $\cos (α - 30^{0})$ .

A. $\frac{3 - \sqrt{6}}{6}$

B. $\frac{3 + \sqrt{6}}{6}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{2 + \sqrt{6}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

Ta có:

$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \Leftrightarrow 1 + {(\sqrt[]{2})}^{2} = \frac{1}{\cos^{2} α} \Leftrightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{3} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos α = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \cos α = - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}$

Vì $0 < α < 90^{0} \Rightarrow \cos α > 0 \Rightarrow \cos α = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} \Leftrightarrow \sqrt{2} = \frac{\sin α}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \Leftrightarrow \sin α = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Ta có: $\cos (α - 30^{0}) = \cos α \cos 30^{0} + \sin α \sin 30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2} = \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$ $\cos (α - 30^{0}) = \cos α \cos 30^{0} + \sin α \sin 30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2} = \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$

$\cos (α - 30^{0}) = \cos α \cos 30^{0} + \sin α \sin 30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} . \frac{1}{2} = \frac{3 + \sqrt{6}}{6}$

- Biến đổi và giải phương trình tìm ra nghiệm sao cho thỏa mãn x thuộc đoạn $[0; 2 π]$

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về hàm số lượng giác:

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là $R$ .

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là $R$ .

- Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{\sin α}{\cos α}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ .

- Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{\cos α}{\sin α}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $R ∖ {k π | k \in Z}$ .

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = f (x)$ . Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.

+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f (- x) = - f (x)$ . Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b, Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\neq$ 0 sao cho với mọi $x \in D$ ta có:

+) $x + T \in D$ và $x - T \in D$

+) $f (x + T) = f (x)$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì $π$ .

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

- Tập xác định là $R$ .

- Tập giá trị là [-1;1].

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

- Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{π}{2} + k 2 π; \frac{3 π}{2} + k 2 π)$ .

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Tập xác định là $R$ .

Tập giá trị là [-1;1].

Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2 $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- π + k 2 π; k 2 π)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k 2 π; π + k 2 π)$ .

Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

Tập xác định là $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

Tập xác định là $R ∖ {k π | k \in Z}$ .

Tập giá trị là $R$ .

Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $π$ .

Đồng biến trên mỗi khoảng $(k π; π + k π)$ , $k \in Z$ .

Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Hàm số lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Toán 11 Bài 3 giải vở bài tập (Kết nối tri thức): Hàm số lượng giác

50 bài tập về Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số lượng giác (có đáp án 2024) và cách giải

Câu 65:

17/06/2026

Góc trong cùng phía và góc ngoài cùng phía là gì?

Xem đáp án

* Lời giải:

Góc yBA và góc xAB là hai góc trong cùng phía.
góc aBy & góc xAa là hai góc ngoài cùng phía.
Hai góc cùng ở bên trong ( nội tâm hình) và cùng ở một phía ( phải / trái) gọi là hai góc trong cùng phía.
Hai góc cùng ở bên ngoài ( nội tâm hình) và cùng ở một phía ( phải / trái) gọi là hai góc ngoài cùng phía. hihi hỉu không?

* Phương pháp giải:

Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.

* Lý thuyết nắm thêm

- Định nghĩa: Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.

Cho tam giác ABC, vẽ tia đối CD của tia CB, khi đó $\hat{A C D}$ là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC.

- Tính chất

+ Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Ta có: ${\hat{A}}_{1}; {\hat{B}}_{1}; {\hat{C}}_{1}$ lần lượt là các góc ngoài tại các đỉnh A; B; C của tam giác ABC.

Khi đó:

$\hat{A_{1}} = \hat{B_{2}} + \hat{C_{2}}$

$\hat{B_{1}} = \hat{A_{2}} + \hat{C_{2}}$

$\hat{C_{1}} = \hat{B_{2}} + \hat{A_{2}}$

- Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó:

${\hat{A}}_{1} > {\hat{B}}_{2}; {\hat{A}}_{1} > {\hat{C}}_{2}$ (Hình trên)

- Tổng ba góc trong của một tam giác bằng $180 °$ .

Xét tam giác ABC ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$

- Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

Xét tam giác ABC vuông tại A có là hai góc nhọn của tam giác

Khi đó: $\hat{B} + \hat{C} = 90 °$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính góc ngoài tam giác hay, chi tiết hay nhất - Toán lớp 7

Công thức Tổng ba góc trong một tam giác chi tiết hay nhất - Toán lớp 7

Câu 66:

17/06/2026

Chứng minh :

a³+ b³ = (a+b).(a²- ab + b²)

a³- b³ = (a-b).(a²+ ab + b²)

Xem đáp án

* Lời giải:

+) VP $= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

$= a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + (a^{2} b - a^{2} b) + (a b^{2} - a b^{2}) + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3}$ ( dpcm)

+) VP $= (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

$= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} + (a^{2} b - a^{2} b) + (a b^{2} - a b^{2}) - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3}$

1. Bình phương của một tổng

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

2. Bình phương của một hiệu

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

3. Hiệu hai bình phương

$A^{2} - B^{2}$ = (A – B)(A + B)

Các dạng bài

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức.

Dạng 3: Tính nhanh

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý:

$A^{2} \geq 0$ và $- A^{2} \leq 0$

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

Câu 67:

17/06/2026

Chứng minh hằng đẳng thức: $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)$

Xem đáp án

* Lời giải:

a3+b3+c3−3abc=(a+b)3+c3−3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2−c(a+b)+c2−3ab]=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca

* Phương pháp giải:Vận dụng hằng đẳng thức biến đổi để ra được điểu cần cm

1. Bình phương của một tổng

${(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

2. Bình phương của một hiệu

${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

3. Hiệu hai bình phương

$A^{2} - B^{2}$ = (A – B)(A + B)

Các dạng bài

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Sử dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển các biểu thức

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức, lựa chọn vế có thể dễ dàng áp dụng các hằng đẳng thức.

Dạng 3: Tính nhanh

Áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức cho các số tự nhiên

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Sử dụng các hằng đẳng thức và cần chú ý:

$A^{2} \geq 0$ và $- A^{2} \leq 0$

200 bài tập về những hằng đẳng thức đáng nhớ (có đáp án 2025) và cách giải

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8

Câu 68:

17/06/2026

Hằng số cân bằng của phản ứng A(g)+2B(g) -> C(g)+ $\frac{5}{2}$ D(g) có giá trị là 4,0 thì giá trị của hằng số cân bằng của phản ứng 2C(g)+5D(g) -> 2A(g)+4B(g) là bao nhiêu nếu ở cùng nhiệt độ?

Xem đáp án

* Lời giải:

$K = \frac{[C] . {[D]}^{\frac{5}{2}}}{[A] . {[B]}^{2}} K' = \frac{{[A]}^{2} . {[B]}^{4}}{{[C]}^{2} . {[D]}^{5}} = {(\frac{[A] {[B]}^{\frac{2}{5}}}{[C] {[D]}^{2}})}^{2} = K^{- 2} = 4^{- 2}$

$K^{'} = \frac{[A]^{2} [B]^{4}}{[C]^{2} [D]^{5}} = {(\frac{[A] [B]^{2}}{[C] [D]^{\frac{5}{2}}})}^{2} = K^{- 2} = 4^{- 2} = 0, 0625$

Xét phản ứng thuận nghịch sau:

aA + bB ⇄ cC + dD

A, B, C, D là những chất khí hoặc những chất tan trong dung dịch.

Khi phản ứng ở trạng thái cân bằng, ta có:

$K^{'} = \frac{[A]^{2} [B]^{4}}{[C]^{2} [D]^{5}} = {(\frac{[A] [B]^{2}}{[C] [D]^{\frac{5}{2}}})}^{2} = K^{- 2} = 4^{- 2} = 0, 0625$

Xét phản ứng thuận nghịch sau:

aA + bB ⇄ cC + dD

A, B, C, D là những chất khí hoặc những chất tan trong dung dịch.

Khi phản ứng ở trạng thái cân bằng, ta có:

Trong đó:

Kc là hằng số cân bằng

[A], [B], [C], [D] là nồng độ mol của A, B, C, D $K^{'} = \frac{[A]^{2} [B]^{4}}{[C]^{2} [D]^{5}} = {(\frac{[A] [B]^{2}}{[C] [D]^{\frac{5}{2}}})}^{2} = K^{- 2} = 4^{- 2} = 0, 0625$

a, b, c, d là các hệ số trong phương trình hóa học cân bằng.

Tại trạng thái cân bằng, nồng độ các chất không đổi.

- Hằng số cân bằng K_c xác định chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ.

- Hằng số cân bằng là đại lượng không thứ nguyên (không có đơn vị).

Xét cân bằng trong hệ dị thể

Xét hệ cân bằng sau :

C(r) + CO₂ (k) ⇄ 2CO (k)

Nồng độ của chất rắn được coi là hằng số, nên nó không có mặt trong biểu thức hằng số cân bằng K. Đối với cân bằng trên ta có :

$K^{'} = \frac{[A]^{2} [B]^{4}}{[C]^{2} [D]^{5}} = {(\frac{[A] [B]^{2}}{[C] [D]^{\frac{5}{2}}})}^{2} = K^{- 2} = 4^{- 2} = 0, 0625$

Công thức tính hằng số cân bằng (2025) chi tiết nhất

Lý thuyết Khái niệm về cân bằng hóa học – Hóa 11 Kết nối tri thức

Câu 69:

17/06/2026

So sánh A=2002²và B=2001×2003

Xem đáp án

* Lời giải:

Ta có :

$B = 2001 x 2003 = 2001 x (2001 + 2) = 200 1^{2} + 4002$

$A = 200 2^{2} = {(2001 + 1)}^{2} = 200 1^{2} + 4002 + 1 = 200 1^{2} + 4003$

=> A>B

* Phương pháp giải

Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số rồi so sánh số mũ hoặc đưa về cùng số mũ rồi so sánh cơ số. Ngoài ra có thể dùng lũy thừa trung gian để so sánh.

*Lý thuyết và các dạng bài tập liên quan đến lũy thừa

Với a, b, m, n ∈ N, ta có:

Với A, B là các biểu thức ta có:

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên.

Nắm vững định nghĩa:

$(x \in Z, n \in N, n > 1)$

Quy ước: x1 = x; x0 = 1 (x ≠ 0)

Dạng 2: Tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

$x^{m} . x^{n} = x^{m + n} (x \in Z; m, n \in N)$

$x^{m} : x^{n} = x^{m - n} (x \neq 0, m ⩾ n)$

Dạng 3: Tính lũy thừa của một lũy thừa:

Phương pháp giải:

- tính lũy thừa của một lũy thừa: (xm)n = xm.n.

- Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng công thức này theo chiều từ phải sang trái: xm.n = (xm)n = (xn)m. $x^{m} : x^{n} = x^{m - n} (x \neq 0, m ⩾ n)$

- Tránh sai lầm do lẫn lộn hai công thức: xm.xn = xm+n và (xm)n = xm.n

Dạng 4: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương.

Phương pháp giải

${(x . y)}^{n} = x^{n} . y^{n}$ (Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)

${(\frac{x}{y})}^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}} (y \neq 0)$ (Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa).

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Toán 7 Bài 3. Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Giải SGK Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Các dạng toán về Lũy thừa của số hữu tỉ và cách giải – Toán lớp 7

Câu 70:

17/06/2026

Tìm tập xác định của hàm số $y = 1 - \frac{\cos x}{2 \sin x} + 1$

Xem đáp án

* Lời giải:

Điều kiện: $2 \sin x + 1 \neq 0$
$\Leftrightarrow 2 \sin x \neq 1 \Leftrightarrow \sin x \neq - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - \frac{π}{6} + k 2 π (k \in ℤ) \\ x \neq \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{cases}$

=> Tập xác định: $D = ℝ \ \{- \frac{π}{6} + k 2 π; \frac{7 π}{6} + k 2 π | k \in ℤ\}$

* Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định cho hàm số. Chỉ cần cho sinx khác 0

* Lý thuyết và các dạng bài cần nắm thêm về hàm số lượng giác:

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D = R \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D = R \ \{k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y = \frac{f (x)}{g (x)}$ xác định khi $g (x) \neq 0$

$y = \sqrt{f (x)}$ xác định khi $f (x) \geq 0$

$y = \frac{f (x)}{\sqrt{g (x)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u (x) \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

y = cot[u(x)] xác định khi $u (x) \neq k π, k \in ℤ$

$\sin x \neq 0$ khi $x \neq k π (k \in ℤ)$

$\cos x \neq 0$ khi $x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

$x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1; 0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1; 0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$\begin{array}{l} m \geq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \geq \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m > f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m > \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m \leq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \leq \min_{x \in [a; b]} f (x) \\ m < f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m < \min_{x \in [a; b]} f (x) \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Kết nối tri thức) có đáp án - Toán 11

Bài tập Hàm số lượng giác Toán 11 mới nhất

Câu 71:

17/06/2026

Tìm tập xác định $\frac{\tan x - 1 - \cos^{3} x}{1 - \sin^{3} x}$

Xem đáp án

* Lời giải:

đkxđ: {cosx≠0sinx≠1<=>{x≠π2+kπ, k∈Zx≠π2+k2π, k∈Z<=>x≠π2+kπ, k∈Zvậy D=R\{π2+kπ}, k∈Z

* Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện xác định cho hàm số. Chỉ cần cho sinx khác 0

* Lý thuyết và các dạng bài cần nắm thêm về hàm số lượng giác:

a. Hàm số y = sinx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

b. Hàm số y = cosx

- Tập xác định: D = R

- Tập giá trị: [-1;1]

c. Hàm số y = tanx

- Tập xác định: $D = R \ \{\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

d. Hàm số y = cotx

- Tập xác định: $D = R \ \{k π, k \in ℤ\}$

- Tập giá trị: R

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Phương pháp giải:

$y = \frac{f (x)}{g (x)}$ xác định khi $g (x) \neq 0$

$y = \sqrt{f (x)}$ xác định khi $f (x) \geq 0$

$y = \frac{f (x)}{\sqrt{g (x)}}$ xác định khi g(x) > 0

y = tan[u(x)] xác định khi $u (x) \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

y = cot[u(x)] xác định khi $u (x) \neq k π, k \in ℤ$

$\sin x \neq 0$ khi $x \neq k π (k \in ℤ)$

$\cos x \neq 0$ khi $x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

$x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$

- Phương pháp giải:

Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác

$- 1 \leq \sin [u (x)] \leq 1; 0 \leq \sin^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\sin [u (x)]| \leq 1$

$- 1 \leq \cos [u (x)] \leq 1; 0 \leq \cos^{2} [u (x)] \leq 1;$ $0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$0 \leq |\cos [u (x)]| \leq 1$

$\begin{array}{l} m \geq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \geq \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m > f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m > \max_{x \in [a; b]} f (x) \\ m \leq f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m \leq \min_{x \in [a; b]} f (x) \\ m < f (x) \forall x \in [a; b] \Rightarrow m < \min_{x \in [a; b]} f (x) \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Kết nối tri thức) có đáp án - Toán 11

Bài tập Hàm số lượng giác Toán 11 mới nhất

Câu 72:

17/06/2026

Cho $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ . Tính $\cos 4 a$ .

Xem đáp án

* Lời giải:

$\cos 4 a = 2 \cos^{2} 2 a - 1$

$\sin^{2} 2 a + \cos^{2} 2 a = 1 \Rightarrow \cos^{2} 2 a = 1 - {(- \frac{3}{4})}^{2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\cos 2 a = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos 4 a = 2 {(\frac{\sqrt{7}}{4})}^{2} - 1 = 2 . \frac{7}{16} - 1 = \frac{14}{16} - 1 = \frac{14}{16} - \frac{16}{16} = - \frac{2}{16} = - \frac{1}{8}$

* Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi lượng giác để biến đổi

*Lý thuyết nắm thêm

I. Công thức cộng

$\begin{array}{l} \sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a s i n b \\ s i n (a - b) = \sin a \cos b - \cos a s i n b \\ \cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a s i n b \\ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a s i n b \\ \tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \\ \tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \end{array}$

II. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l} \sin 2 a = 2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a \\ \tan 2 a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^{2} a} \end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

$\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}, \cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}$

III. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l} \cos a \cos b = \frac{1}{2} [\cos (a + b) + \cos (a - b)] \\ \sin a \sin b = \frac{1}{2} [\cos (a - b) - \cos (a + b)] \\ \sin a \cos b = \frac{1}{2} [\sin (a + b) + \sin (a - b)] \end{array}$

IV. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l} \cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \cos a - \cos b = - 2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \\ \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} \\ \sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} \end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác – Toán 11 Cánh diều

TOP 12 câu Trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác (Cánh diều 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 73:

17/06/2026

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA' = 2a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

$2 \sqrt{5} a$

$\frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

$\frac{\sqrt{5} a}{5}$

$\frac{3 \sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Xác định hình chiếu và khoảng cách cần tìm sau đó tính độ dài AH

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$V_{L T} = S . h$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$V = a . b . c$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$V = a^{3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu $O A / / (α)$ thì $d (O, (α)) = d (A, (α))$

Nếu $O A \cap (α) = \{I\}$ thì $\frac{d (O, (α))}{d (A, (α))} = \frac{I O}{I A}$ (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là $V = S_{A B C} . A A'$

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 74:

17/06/2026

Cho hình lăng trụ tứ giác đều có các cạnh đều bằng a. Thể tích khối lăng trụ đều là

$\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$a^{3}$

$\frac{2 a^{3}}{3}$

$\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết thể tích hình lăng trụ

*Lý thuyết cần nắm và dạng bài tập về thể tích khối lăng trụ:

Công thức thể tích:

a) Thể tích khối lăng trụ

$V_{L T} = S . h$

với: S: Diện tích đáy

h: Chiều cao.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật

$V = a . b . c$

với a, b, c là ba kích thước.

c) Thể tích khối lập phương

$V = a^{3}$

Trong đó a là độ dài cạnh.

PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Bước 1: Xác định và tính chiều cao của khối đa diện

+) Trong nhiều trường hợp, chiều cao của khối đa diện được cho ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc (chiều cao cho gián tiếp), hay dùng nhất là: định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, …

+) Tính độ dài chiều cao: Sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, định lý cosin, …

+) Có thể tính chiều cao bằng cách chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Nếu $O A / / (α)$ thì $d (O, (α)) = d (A, (α))$

Nếu $O A \cap (α) = \{I\}$ thì $\frac{d (O, (α))}{d (A, (α))} = \frac{I O}{I A}$ (định lý Ta-lét)

Bước 2: Tìm diện tích đáy bằng các công thức.

Bước 3: Sử dụng công thức tính thể tích.

Dạng 1: Thể tích lăng trụ đứng tam giác:

Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác.

(1) Chiều cao h là cạnh bên AA’ (hoặc BB’, CC’).

(2) Mặt đáy là tam giác ABC (hoặc tam giác A’B’C’).

Khi đó thể tích lăng trụ ABC. A’B’C’ là $V = S_{A B C} . A A'$

Dạng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ xiên

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Công thức tính thể tích khối lăng trụ và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

50 bài toán về thể tích khối lăng trụ (có đáp án 2024) – Toán 12

Câu 75:

17/06/2026

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDD'B') bằng

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDD'B') bằng (ảnh 1)

$a$

$\frac{a \sqrt{2}}{4}$

$\sqrt{2} a$

$\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: D

* Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có $\{\begin{matrix} A C ⊥ B D \\ A C ⊥ B B' \end{matrix} \Rightarrow A C ⊥ (B D D' B') \Rightarrow d (A, (B D D' B')) = A O = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

* Phương pháp giải:

Xác định giao điểm và mặt phẳng liên quan sau đó tính khoảng cách từ đến mặt phẳng

* Lý thuyết nắm thêm:

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

- Thể tích hình lập phương: V = a.a.a = $a^{3}$

- Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là S = a²

- Diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) của hình lập phương là Stp = 6a²

- Độ dài đường chéo của hình lập phương là d = $a \sqrt{3}$

- Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương là $a \sqrt{2}$

- d(A, (A'BD)) = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

- d(A, (CB'D')) = $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

- d (AC', CD) = d(AC', A'B') = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

1. Định nghĩa

Hình hộp chữ nhật là một hình không gian có 6 mặt đều là hình chữ nhật.

Hai mặt đối diện nhau của hình chữ nhật được xem là hai mặt đáy của hình chữ nhật. Các mặt còn lại đều là mặt bên của hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật ba chiều: chiều dài, chiều rộng, chiều cao

Hình hộp chữ nhật có:

+ 12 cạnh: AB, BC, CD, DA, A’B’, B’C’, C’D’, D’A’, AA’, BB’, CC’, DD’

+ 8 đỉnh: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C, đỉnh D, đỉnh A’, đỉnh B’, đỉnh C, đỉnh D’

+ 6 mặt: ABCD, BCC’B’, A’B’C’D’, DCD’C’, ADD’C’, ABB’A’.

2. Công thức

Cho hình vẽ:

Trong đó:

a: Chiều dài

b: Chiều rộng

h: Chiều cao

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Công thức tính thể tích hình lập phương (chính xác nhất) và cách giải các dạng bài tập

Câu 76:

17/06/2026

Cho khối hộp lập phương có đường chéo bằng 3a. Thể tích khối lập phương đã cho là

$\frac{27 a^{3} \sqrt{2}}{4}$

$a^{3}$

$3 a^{3} \sqrt{3}$

$a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: C

* Lời giải:

Gọi cạnh của hình lập phương là x.

Đường chéo của hình lập phương được tính bằng công thức

* Phương pháp giải:

Xác định cạnh sau đó tính thể tích

* Lý thuyết nắm thêm:

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

- Thể tích hình lập phương: V = a.a.a = $a^{3}$

- Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là S = a²

- Diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) của hình lập phương là Stp = 6a²

- Độ dài đường chéo của hình lập phương là d = $a \sqrt{3}$

- Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương là $a \sqrt{2}$

- d(A, (A'BD)) = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

- d(A, (CB'D')) = $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

- d (AC', CD) = d(AC', A'B') = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

1. Định nghĩa

Hình hộp chữ nhật là một hình không gian có 6 mặt đều là hình chữ nhật.

Hai mặt đối diện nhau của hình chữ nhật được xem là hai mặt đáy của hình chữ nhật. Các mặt còn lại đều là mặt bên của hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật ba chiều: chiều dài, chiều rộng, chiều cao

Hình hộp chữ nhật có:

+ 12 cạnh: AB, BC, CD, DA, A’B’, B’C’, C’D’, D’A’, AA’, BB’, CC’, DD’

+ 8 đỉnh: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C, đỉnh D, đỉnh A’, đỉnh B’, đỉnh C, đỉnh D’

+ 6 mặt: ABCD, BCC’B’, A’B’C’D’, DCD’C’, ADD’C’, ABB’A’.

2. Công thức

Cho hình vẽ:

Trong đó:

a: Chiều dài

b: Chiều rộng

h: Chiều cao

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Công thức tính thể tích hình lập phương (chính xác nhất) và cách giải các dạng bài tập

Câu 77:

17/06/2026

Một hình lập phương có độ dài cạnh bằng $a \sqrt{2}$ . Thể tích khối lập phương đó là

$a^{3} \sqrt{2}$

$2 a^{3} \sqrt{2}$

$\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

Thể tích khối lập phương là: $V = {(a \sqrt{2})}^{3} = 2 a^{3} \sqrt{2}$

* Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết tính thể tích khối lập phương

* Lý thuyết nắm thêm:

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

- Thể tích hình lập phương: V = a.a.a = $a^{3}$

- Diện tích mỗi mặt của hình lập phương là S = a²

- Diện tích toàn phần (tổng diện tích các mặt) của hình lập phương là Stp = 6a²

- Độ dài đường chéo của hình lập phương là d = $a \sqrt{3}$

- Độ dài đường chéo mỗi mặt của hình lập phương là $a \sqrt{2}$

- d(A, (A'BD)) = $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

- d(A, (CB'D')) = $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

- d (AC', CD) = d(AC', A'B') = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

1. Định nghĩa

Hình hộp chữ nhật là một hình không gian có 6 mặt đều là hình chữ nhật.

Hai mặt đối diện nhau của hình chữ nhật được xem là hai mặt đáy của hình chữ nhật. Các mặt còn lại đều là mặt bên của hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật ba chiều: chiều dài, chiều rộng, chiều cao

Hình hộp chữ nhật có:

+ 12 cạnh: AB, BC, CD, DA, A’B’, B’C’, C’D’, D’A’, AA’, BB’, CC’, DD’

+ 8 đỉnh: đỉnh A, đỉnh B, đỉnh C, đỉnh D, đỉnh A’, đỉnh B’, đỉnh C, đỉnh D’

+ 6 mặt: ABCD, BCC’B’, A’B’C’D’, DCD’C’, ADD’C’, ABB’A’.

2. Công thức

Cho hình vẽ:

Trong đó:

a: Chiều dài

b: Chiều rộng

h: Chiều cao

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương (mới 2024 + Bài Tập) - Toán lớp 5

Công thức tính thể tích hình lập phương (chính xác nhất) và cách giải các dạng bài tập

Câu 78:

17/06/2026

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

$3 {πa}^{2}$

$2 {πa}^{2}$

$3 a^{2}$

$4 {πa}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: B

* Lời giải:

*Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón

* Các lý thuyết thêm về mặt trụ, mặt cầu và mặt nón:

1. Diện tích và thể tích hình trụ

Cho hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = 2πRh.

- Diện tích toàn phần: Stp = 2πRh + 2πR2.

- Thể tích: V = πR2h.

2. Diện tích và thể tích của hình nón

Đặt AC = l; l là đường sinh.

Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh l, chiều cao h.

- Diện tích xung quanh: Sxq = πRl.

- Diện tích toàn phần: Stp = πRl + πR2.

- Thể tích: $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

3. Diện tích và thể tích hình nón cụt

Cho hình nón cụt có các bán kính đáy R và r, chiều cao h, đường sinh l.

- Diện tích xung quanh: S_xq = π (R + r) l.

- Thể tích: $V = \frac{1}{3} π h (R^{2} + R r + r^{2})$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Chuyên đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu mới nhất - Toán 12

190 Bài trắc nghiệm Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải chi tiết

Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu có đáp án

Câu 79:

17/06/2026

Cho cấp số nhân (un) với u1 = 1 và u2 = 2. Công bội của cấp số nhân đã cho là:

A. $q = \frac{1}{2}$

B. $q = 2$

C. $q = - 2$

D. $q = \frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

* Lời giải:

Ta có u₂ = u₁.q $\Rightarrow q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = 2.$

* Phương pháp giải:

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n \in ℕ *$ .

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về cấp số nhân:

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

u_{n + 1} = u_n. q với $n \in ℕ *$ .

- Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, …., 0,…..

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, …., u₁,…

Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, 0..

Số hạng tổng quát.

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁.q^{n - 1} với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số nhân

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}; k \geq 2$

( hay $|u_{k}| = \sqrt{u_{k - 1} . u_{k + 1}}$ ).

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n .

Khi đó: $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

- Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,….u₁,….Khi đó, S_n = n.u₁.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Cấp số nhân (mới + Bài Tập) – Toán 11

Toán 11 Bài 3 giải SGK (Cánh diều): Cấp số nhân

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cấp số nhân (có đáp án) – Toán 11

Câu 80:

17/06/2026

Cho cấp số cộng (un) với u1=2 và u2=6. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3

B. -4

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Đáp án đúng: D

* Lời giải:

Ta có: u2 = 6

nên: 6 = u1 + d

suy ra: d = 4

*Phương pháp giải

(u_n) là cấp số cộng khi u_n+1 = u_n + d, n ∈ N^* (d gọi là công sai)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1)d với n ∈ N^*, n ≥ 2.

*Lý thuyết nắm thêm về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

un+1 = un + d với $n \in ℕ^{*}$ (1)

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

- Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = 3.

Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:

un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.

Tính chất các số hạng của cấp số cộng.

- Định lí 2:

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số cuối) đều là trung bình cộng của hai số đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}; k \geq 2$

Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Định lí: Cho cấp số cộng (un). Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un.

Khi đó: $S_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$ .

- Chú ý: vì un = u1 + (n – 1)d nên ta có: $S_{n} = n u_{1}^{} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức tính Cấp số cộng và cách giải các dạng bài tập

50 bài tập về Cấp số cộng có đáp án và cách giải

Câu 81:

17/06/2026

Khối chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $6 a,$ tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy có thể tích bằng

A. $36 \sqrt{3} a^{3}$

B. $36 a^{3}$

C. $36 \sqrt{2} a^{3}$

D. $108 \sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: A.

* Lời giải:

Khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 6a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc (ảnh 1)

Vẽ đường cao

$S O$ của tam giác đều $S A B .$

Ta có $(S A B) ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ (A B C D) .$

Do đó $S O$ là đường cao của hình nón $S . A B C D$ và $S O = \frac{6 a \sqrt{3}}{2} = 3 a \sqrt{3} .$

Thể tích của khối chóp $S . A B C D : V = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S O = \frac{1}{3} . {(6 a)}^{2} .3 a \sqrt{3} = 36 \sqrt{3} a^{3} .$

* Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều để tính toán: mặt đáy của khối chóp tứ giác đều là hình vuông, các cạnh từ đỉnh chóp xuống 4 góc sẽ bằng nhau

*Lý thuyết về khối chóp tứ giác đều

a) Hình chóp

- Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh.

– Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

b) Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Chân đường cao của hình chóp đều trùng với tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+ Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

a) Diện tích xung quanh của hình chop đều

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

b) Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

S_tp = S_xq + S (S: diện tích đáy)

c) Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

50 bài toán về thể tích khối chóp (có đáp án) – Toán 12

50 Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Toán 12

Câu 82:

17/06/2026

Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Xác suất để khoảng cách giữa hai đỉnh đó bằng $R \sqrt{2}$ là

A. $\frac{2}{7}$

B. $\frac{3}{7}$

C. $\frac{4}{7}$

D. $\frac{5}{36}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

* Lời giải:

Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R (ảnh 1)

Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh trong 8 đỉnh, ta có $C_{8}^{2} = 28$ cách. Suy ra n(W) = 28.

Gọi A là biến cố “khoảng cách giữa hai đỉnh đó bằng = $R \sqrt{2}$ ”.

Để khoảng cách giữa hai đỉnh bằng $R \sqrt{2}$ thì 2 đỉnh cách nhau 1 đỉnh nên có 8 cách.

Suy ra, n(A) = 8.

Do đó $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$ .

* Phương pháp giải:

Tìm không gian mẫu

Tính số phần tử của biến cố A

Tính xác suất biến cố A

* Lý thuyết nắm thêm

1. Quy tắc cộng

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

- Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn và không giao nhau thì:

$n (A \cup B) = n (A) + n (B)$

- Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

2. Quy tắc nhân

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

- Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên liếp.

3. Hoán vị

3.1 Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

- Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Chẳng hạn, hai hoán vị abc và cab của ba phần tử a; b; c là khác nhau.

3.2 Số các hoán vị

Kí hiệu: P_n là số các hoán vị của n phần tử.

- Định lí: P_n = n.(n – 1).(n – 2)….2.1

- Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 là n! (đọc là n là giai thừa), ta có: P_n = n!.

4. Chỉnh hợp

4.1 Định nghĩa.

- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

4.2 Số các chỉnh hợp

- Kí hiệu $A_{n}^{k}$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) .

- Định lí:

$A_{n}^{k} = n (n - 1) ... (n - k + 1)$

5. Tổ hợp

5.1 Định nghĩa.

- Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 ≤ k ≤ n. Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

- Ví dụ 4. Cho tập A = {3; 4; 5; 6}.

Ta liệt kê các tổ hợp chập 3 của A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6}.

5.2 Số các tổ hợp.

Kí hiệu $C_{n}^{k}$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 ≤ k ≤ n).

- Định lí: $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

5.3 Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

a) Tính chất 1.

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}; 0 \leq k \leq n$

Ví dụ 7. $C_{8}^{4} + C_{8}^{5} = C_{9}^{5} = 126$ .

6. Công thức nhị thức Niu- tơn

Ta có:

- Công thức nhị thức Niu – tơn.

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} . a^{n - 1} b + ... + C_{n}^{k} . a^{n - k} b^{k} + .... + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

- Hệ quả:

Với a = b = 1 ta có: $2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + ... + C_{n}^{n}$

Với a = 1; b = – 1 ta có: $0 = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + ...$ $+ {(- 1)}^{k} . C_{n}^{k} + ... + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n}$

- Chú ý:

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):

a) Số các hạng tử là n + 1.

b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0; số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước $a^{0} = b^{0} = 1$ ).

c) Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Chuyên đề Ôn tập chương 2: Tổ hợp - xác suất - Toán 11

50 Bài tập Xác suất của biến cố Toán 11 mới nhất

Câu 83:

17/06/2026

Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính của mặt cầu bằng

A. $\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

B $\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{3}$

C. $\sqrt{2 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}$

D. $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

* Lời giải:

* Phương pháp giải:

- Tính độ dài bán kính và tính ra diện tích mặt cầu

*Một số lý thuyết và dạng bài tập về mặt cầu, mặt nón, mặt trụ:

1_MẶT NÓN:

Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.

a) Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.

a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó, ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.

a_Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

$S_{x q} = π r l$ (r là bán kính đường tròn đáy, l là độ dài đường sinh).

- Người ta gọi tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó.

Thể tích khối nón tròn xoay.

a) Định nghĩa.

Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: $ V = \frac{1}{3} B . h$

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B = π r^{2}$ , khi đó: $ V = \frac{1}{3} π r^{2} . h$ .

2_MẶT TRỤ

a) Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay.

Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay này là mặt trụ. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.

a) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

- Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:

$S_{x q} = 2 π r l$ (r là bán kính của hình trụ, l là độ dài đường sinh của hình trụ).

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.

Thể tích khối trụ tròn xoay.

a) Định nghĩa: Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: V = B.h.

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì $B = π r^{2}$ , khi đó: $V = π r^{2} h$

3_MẶT CẦU

- Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính r.

Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r là S(O; r) hay viết tắt là (S). Như vậy ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r}.

- Nếu hai điểm C; D nằm trên mặt cầu S(O; r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó.

- Dây cung AB đi qua tâm O được gọi là một đường kính của mặt cầu. Khi đó, độ dài đường kính bằng 2r.

Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu.

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là một điểm bất kì trong không gian.

- Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r).

- Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r).

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O, bán kính r.

Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

- Mặt cầu bán kính r có diện tích là: $S = 4 π r^{2}$ .

- Khối cầu bán kính r có thể tích là: $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ .

- Chú ý:

a) Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

b) Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Lý thuyết Ôn tập chương 2: Mặt trụ, mặt nón, mặt cầu (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12

Các dạng bài tập Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu

Câu 84:

17/06/2026

Hình nón có bán kính đáy, chiều cao, đường sinh lần lượt là $r, h, l$ . Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. $S = πrh$

B. $S = {πr}^{2}$

C. $S = πhl$

D. $S = πrl$

Xem đáp án

Đáp án đúng: D

* Lời giải:

Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh: $S = π r ℓ$ .

* Phương pháp giải:

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l

- Diện tích xung quanh: $S_{x q} = π r l$

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về hình nón:

Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

a. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân

Trên hình vẽ thiết diện là tam giác SAB

- Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo 1 đường sinh thì (Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón

b. Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

- Mặt phẳng (Q) vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là 1 đường tròn

Trên hình vẽ, thiết diện là đường tròn tâm O’

- Mặt phẳng (Q) song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của một hypebol

- Mặt phẳng (Q) song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol

- Mặt phẳng (Q) cắt mọi đường sinh hình nón thì giao tuyến là một đường elip

Diện tích hình nón và thể tích khối nón.

Một hình chóp gọi là nội tiếp hình nón nếu:

- Đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đáy của hình nón

- Đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón

Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón.

Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l

- Diện tích xung quanh: $S_{x q} = π r l$

- Diện tích đáy: $S_{d} = π r^{2}$

- Diện tích toàn phần:

$S_{t p} = S_{x q} + S_{d} = π r l + π r^{2}$

Thể tích của khối nón:

- Thể tích của khối nón có bán kính r và chiều cao h là:

$V = \frac{1}{3} S_{d} . h = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Mối liên hệ giữa chiều cao, đường sinh và bán kính đáy

Tam giác SAO vuông tại A, có $S A^{2} = S O^{2} + O A^{2}$

Do đó: $l^{2} = h^{2} + R^{2}$ (tham khảo hình vẽ dưới)

Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích

Phương pháp giải: Sử dụng công thức:

Diện tích xung quanh hình nón: $S_{x q} = π r l$

Diện tích toàn phần hình nón: $S_{t p} = π r l + π r^{2}$

Thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3} S_{d} . h = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Trong đó: h là chiều cao, r là bán kính đáy và l độ dài đường sinh của hình nón.

Dạng 2: Tương giao giữa nón và mặt phẳng, bài toán thiết diện