29 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Cung và góc lượng giác

Cho hình vuông ABCD có tâm O và trục (i) đi qua O. Xác định số đo góc giữa tia OA với trục (i), biết trục (i) đi qua trung điểm I của cạnh AB.

A. $45^{o} + k 360^{o} .$

B. $95^{o} + k 360^{o} .$

C. $135^{o} + k 360^{o} .$

D. $155^{o} + k 360^{o} .$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

$\hat{A O B} = 90^{o}$ và $O A = O B$

Tam giác AOB vuông cân tại O

(i) đi qua trung điểm của AB nên $(i) ⊥ A B$

$\Rightarrow (i)$ là đường phân giác của góc $\hat{A O B}$ nên $(\hat{\vec{O A}, (i)}) = 45^{o}$ .

Câu 3:

01/11/2024

Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là

A. $30^{o} .$

B. $40^{o} .$

C. $50^{o} .$

D. $60^{o} .$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

*Lời giải

Một bánh xe có 72 răng nên 1 răng tương ứng $\frac{360^{o}}{72} = 5^{o}$

Khi di chuyển được 10 răng là ${10.5}^{o} = 50^{o}$ .

*Phương pháp giải

- Tính độ dài $10$ răng (cung tròn chứa $10$ răng).

- Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn $l = α R$ để tính số đo góc (đơn vị radian).

- Sử dụng công thức liên hệ giữa độ và radian để tính góc theo đơn vị độ.

*Lý thuyết Cung và góc lượng giác

I. KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.

Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là

2. Góc lượng giác

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD.

Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).

3. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm

A(1; 0), A’(–1; 0); B(0; 1); B(0; –1).

Ta lấy A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.

Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).

II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Độ và radian

a) Đơn vị radian

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.

b) Quan hệ giữa độ và radian

c) Độ dài của một cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là π rad và có độ dài là πR. Vậy cung có số đo α rad của đường tròn bán kính R có độ dài

l = Rα.

2. Số đo của một cung lượng giác

Số đo của một cung lượng giác (A ≠ M) là một số thực âm hay dương.

Kí hiệu số đo của cung là sđ .

Ghi nhớ

Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2π.

Ta viết

sđ = α + k2π , k ∈ Z

trong đó α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A, điểm cuối là M

3. Số đo của một góc lượng giác

Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác tương ứng.

Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ = α

Câu 4:

Tìm khẳng định sai:

A. Với ba tia Ou,Ov,Ow, ta có:

sđ (O u, O v) + sđ (O v, O w) = sđ (O u, O w) - 2 k π, k \in ℤ

.

B. Với ba điểm U,V,W trên đường tròn định hướng:

sđ \overset{⏜}{U V} + sđ \overset{⏜}{V W} = sđ \overset{⏜}{U W} + 2 k π, k \in ℤ

.

C. Với ba tia Ou,Ov,Ox, ta có:

sđ (O u, O v) = sđ (O x, O v) - sđ (O x, O u) + 2 k π, k \in ℤ

D. Với ba tia Ou,Ov,Ow, ta có:

sđ (O v, O u) + sđ (O v, O w) = sđ (O u, O w) + 2 k π, k \in ℤ

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Sử dụng hệ thức Sa-lơ về số đo của góc lượng giác thì ba khẳng định ở câu A, B, C đều đúng.

Câu 5:

21/07/2024

Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:

(I). $\frac{π}{4}$

(II). $- \frac{7 π}{4}$

(III). $\frac{13 π}{4}$

(IV). $- \frac{5 π}{4}$

Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

A. Chỉ (I) và (II).

B. Chỉ (I),(II) và (III).

C. Chỉ (II),(III) và (IV)

D. Chỉ (I),(II) và (IV)

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $- \frac{7 π}{4} = \frac{π}{4} - 2 π$

$\frac{13 π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 π; - \frac{5 π}{4} = \frac{3 π}{4} - 2 π$

Suy ra chỉ có hai cung $\frac{π}{4}$ và $- \frac{7 π}{4}$ có điểm cuối trùng nhau.

Câu 6:

07/10/2024

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án – Toán lớp 10

108^{o}

đổi ra radian là

A. $\frac{3 π}{5} .$

B.

\frac{π}{10} .

C. $\frac{3 π}{2} .$

D.

\frac{π}{4} .

Xem đáp án

Đáp án đúng: A

*Phương pháp giải:

- Nắm lại lý thuyết về đơn vị đo góc, cung tròn, độ dài cung tròn để đổi

*Lời giải:

Áp dụng công thức đổi độ ra rad $α = \frac{n . π}{180}$ .

Vậy: rad 108 $°$ = $\frac{108 ° . π}{180 °} = \frac{3 π}{5}$

*Một số dạng bài về cung và lượng giác:

a) Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad. Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian: $180^{o} = π r a d$ suy ra $1^{o} = \frac{π}{180} r a d$ và $1 r a d = {(\frac{180}{π})}^{o}$

* Độ dài cung tròn: Một cung của đường tròn bán kính R có số đo $α r a d$ thì độ dài $l = R α$ .

*) Một số dạng bài:

a) Dạng 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại khi đã cho trước một giá trị

* Phương pháp giải: Để làm dạng bài tập này, ta sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.

b) Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức giữa các giá trị lượng giác

* Phương pháp giải: Sử dụng công thức lượng giác và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi. Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

+ Cách 1: Biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

+ Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

+ Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

c) Dạng 3: Rút gọn biểu thức lượng giác

* Phương pháp giải: Để giải dạng bài này, ta sẽ áp dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc có mối liên hệ đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

100 câu trắc nghiệm Cung và góc lượng giác nâng cao

Câu 7:

. Giá trị tổng quát của góc (Ox,Oy) là

Biết một số đo của góc

(O x, O y) = \frac{3 π}{2} + 2001 π

A. $(O x, O y) = \frac{3 π}{2} + k π$ .

B.

(O x, O y) = π + k 2 π

.

C. $(O x, O y) = \frac{π}{2} + k π$

D.

(O x, O y) = \frac{π}{2} + k 2 π

.

Xem đáp án

Đáp án: A

Câu 8:

14/07/2024

\frac{2 π}{5}

đổi sang độ là

A. $240^{o}$ .

B.

135 °

.

C. $72 °$ .

D.

270 °

.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Áp dụng công thức đổi rad sang độ $n = \frac{α .180}{π}$ .

Câu 9:

\frac{π}{9}

đổi sang độ là

A. $15 °$ .

B.

18 °

.

C. $20 °$

D.

25 °

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Áp dụng công thức đổi rad sang độ $n = \frac{α .180}{π}$ .

$n = \frac{π}{9} . \frac{180^{o}}{π} = 20^{o} .$

Câu 10:

. Với k bằng bao nhiêu thì

Cho

(O x, O y) = 22^{o} 30' + k 360^{o}

(O x, O y) = 1822^{o} 30'

?

A. $k \in \emptyset .$

B. k=3

C. k=-5

D. k=5

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

$(O x, O y) = 1822^{o} 30' = 22^{o} 30' + {5.360}^{o}$

Câu 11:

\frac{π}{24}

đổi sang độ là

A. $7 °$ .

B.

7^{o} 30'

.

C. $8^{o}$ .

D.

8^{o} 30'

.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Áp dụng công thức đổi rad sang độ $n = \frac{α .180}{π}$

$n = \frac{π}{24} . \frac{180^{o}}{π} = 7, 5^{o} = 7^{o} 30' .$

Câu 12:

Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo

\frac{π}{15}

(tính gần đúng đến hàng phần trăm).

A. 4,19cm.

B. 4,18cm.

C. 95,49cm.

D. 95,50cm..

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Độ dài của cung $\frac{π}{15} rad = 12^{o}$ trên đường tròn được tính bằng công thức:

$\frac{π . a^{o}}{180} . R = \frac{π}{180} .12.20 \approx 4, 18 cm$

Câu 13:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.

B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá .

C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn .

D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.

Xem đáp án

Đáp án: C

Câu 14:

làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối M của cung lượng giác có số đo

Chọn điểm

A (1; 0)

\frac{25 π}{4}

A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I.

B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II.

C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III.

D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Theo giả thiết ta có: sđ $\overset{⏜}{A M} = \frac{25 π}{4} = \frac{π}{4} + 6 π$ , suy ra điểm M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I.

Câu 15:

Một đường tròn có bán kính 15cm. Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng

30 °

là :

A. $\frac{5 π}{2}$ .

B. $\frac{5 π}{3}$ .

C. $\frac{2 π}{5}$

D. $\frac{π}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có $l = R α = \frac{π a}{180} . R$ nên

Ta có:

$l = \frac{π a}{180} . R = \frac{π 30}{180} .15 = \frac{5 π}{3}$ .

Câu 16:

Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6,5cm (lấy

π = 3, 1416

).

A. 22054cm.

B. 22063cm.

C. 22054mm.

D. 22044cm.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có $l = R α = \frac{π a}{180} . R$ nên

Trong 3 phút bánh xe quay được $\frac{60.180}{20} = 540$ vòng, bánh xe lăn được:

$l = 6, 5.540.2 π \approx 6, 5.540.2.3, 1416 (cm) \approx 22054 (cm)$

Câu 17:

15/12/2024

Trong mặt phẳng định hướng cho tia Ox và hình vuông OABC vẽ theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, biết sđ

(O x, O A) = 30^{o} + k 360^{o}, k \in ℤ

. Khi đó sđ

(O A, A C)

bằng:

A. $120^{o} + k 360^{o}, k \in ℤ$ .

B. $- 45^{o} + k 360^{o}, k \in ℤ$ .

C. $45^{0} + k 360^{0}, k \in ℤ$ .

D. $90^{o} + k 360^{o}, k \in ℤ$ .

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Lời giải

Tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC nên góc sđ $(O A, A C) = - 45^{o} + k 360^{o}, k \in ℤ$

*Phương pháp giải:

Ta thấy tia AO quay một góc 45 độ theo chiều âm( cùng chiều kim đồng hồ ) sẻ trùng tia AC

*Lý thuyết:

1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?

- Góc giữa hai đường thẳng là góc $α$ được tạo bởi hai đường thẳng d và d’ có số đo $0^{o} \leq α \leq 90^{o}$ . Khi d song song hoặc trùng với d’, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^{o}$ .

- Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng.

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b, ta lấy điểm O thuộc 1 trong 2 đương thẳng sau đó vẽ 1 đường thẳng đi qua O và song song với 2 đường còn lại.

Nếu vector u là vector chỉ phương của đường thẳng a, đồng thời vector v là vector chỉ phương của đường thẳng b, góc giữa (u, v) = $α$ thì ta có thể suy ra góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $α$ ( $0 ° \leq α \leq 90 °$ )

Xem thêm

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng (2024) các dạng bài tập và cách giải

TOP 20 câu Trắc nghiệm Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 10

Câu 18:

Nếu góc lượng giác có

s đ (O x, O z) = - \frac{63 π}{2}

thì hai tia Ox và Oz

A. Trùng nhau.

B. Vuông góc.

C. Tạo với nhau một góc bằng $\frac{3 π}{4}$ .

D. Đối nhau.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có:

$s đ (O x, O z) = - \frac{63 π}{2} = \frac{π}{2} - \frac{64 π}{2} = \frac{π}{2} - 32 π$

nên hai tia Ox và Oz vuông góc.

Câu 19:

Cho hai góc lượng giác có sđ

(O x, O u) = 45^{o} + m 360^{o}, m \in ℤ

và sđ

(O x, O v) = - 135^{o} + n 360^{o}, n \in ℤ

. Ta có hai tia Ou và Ov

A. Tạo với nhau góc $45 °$ .

B. Trùng nhau.

C. Đối nhau.

D. Vuông góc.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

$(O x, O v) = - 135^{o} + n 360^{o} = 225^{o} + n 360^{o} = 45^{o} + 180^{o} + n 360^{o}$

Vậy, Ta có hai tia Ou và Ov đối nhau

Câu 20:

Sau khoảng thời gian từ 0 giờ đến 3 giờ thì kim giây đồng hồ sẽ quay được số vòng bằng:

A. 12960

B. 32400

C. 324000

D.64800

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Từ 0 đến 3 giờ kim giờ quay 9 vòng(tính theo chiều ngược kim đồng hồ)

Kim phút quay $9.60 = 540$ vòng

Kim giây $540.60 = 32400$ vòng

Câu 21:

được đổi sang số đo rad là :

120^{o}

A. $120 π$

B. $\frac{3 π}{2}$

C. $α$

D. $\frac{2 π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

$180^{o} = π \Rightarrow 120^{o} = \frac{120 π}{180} = \frac{2 π}{3}$

Câu 22:

có số đo dương nhỏ nhất là:

Biết góc lượng giác

α

có số đo là

- \frac{137}{5} π

thì góc

(O u, O v)

A. $0, 6 π$ .

B. $27, 4 π$ .

C. $1, 4 π$

D.

0, 4 π

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Ta có $- \frac{137}{5} π = - 27, 4 π$ . Vậy góc dương nhỏ nhất là $28 π - 27, 4 π = 0, 6 π$ .

Câu 23:

Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B'

A. $α = \frac{π}{2} + k 2 π .$

B. $α = - \frac{π}{2} + k 2 π .$

C. $a = 90^{o} + k 360^{o} .$

D. $a = - 90^{o} + k 180^{o} .$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

$\overset{⏜}{B^{'} B} = 180^{o} = π$

Cung có mút trùng với B hoặc B' có chu kì $π$ hoặc $180 °$ .

Câu 24:

20/10/2024

Giá trị k để cung

α = \frac{π}{2} + k 2 π

thỏa mãn

10 π < α < 11 π

là

A. k=4

B. k=6

C. k=7

D. k=5

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

*Phương pháp giải

Thay giá trị của $α$ vào khoảng giá trị để tìm ra k

*Lời giải

$10 π < α < 11 π \Leftrightarrow 10 π < \frac{π}{2} + k .2 π < 11 π \Leftrightarrow \frac{19 π}{2} < k 2 π < \frac{21 π}{2} \Leftrightarrow \frac{19}{4} < k < \frac{21}{4} \Leftrightarrow k = 5$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Tổng hợp bảng giá trị lượng giác

Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ có đáp án

Câu 25:

Cho hình vuông ABCD có tâm O và một trục (l) đi qua O. Xác định số đo của các góc giữa tia OA với trục (l), biết trục (l) đi qua đỉnh A của hình vuông.

A. $180^{o} + k 360^{o}$

B. $90^{o} + k 360^{o}$

C. $- 90^{o} + k 360^{o}$

D. $k 360^{o}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải

Vì trục (l) đi qua đỉnh A và tâm O của hình vuông nên trục $(l) \equiv O A$ nên số đo của các góc giữa tia OA với trục (l) bằng $0^{o} + k 360^{o} = k 360^{o}$ .

Câu 26:

Một đường tròn có bán kính $R = \frac{10}{π} cm$ . Tìm độ dài của cung $\frac{π}{2}$ trên đường tròn.

A. 10cm.

B. 5cm.

C. $\frac{20}{π^{2}} cm$ .

D. $\frac{π^{2}}{20} cm$ .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Độ dài của cung $\frac{π}{2} rad = 90^{o}$ trên đường tròn được tính bằng công thức:

$\frac{π . a^{o}}{180} . R = \frac{π}{180} .90. \frac{10}{π} = 5 cm$

Câu 27:

Một đường tròn có bán kính R=10cm. Độ dài cung

40 °

trên đường tròn gần bằng:

A. 7cm.

B. 9cm.

C. 11cm.

D. 13cm.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Độ dài của cung $40 °$ trên đường tròn được tính bằng công thức:

$\frac{π . a^{o}}{180} . R = \frac{π}{180} .40.10 \approx 7 cm$ .

Câu 28: