Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải.

$$\begin{gathered} \cos 10°.\cos 30°.\cos 50°.\cos 70° \\ =\cos 10°.\cos 30°.\frac{1}{2}\left(\cos {120}^{\text{o}}+\cos {20}^{\text{o}}\right) \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}\left(-\frac{\cos 10°}{2}+\frac{\cos 30°+\cos 10°}{2}\right) \\ =\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{16} \end{gathered}$$

Hay A= sin α - sinα = 0.

*Phương pháp giải:

Sử dụng công thức chu kì và hai góc phụ nhau, bù nhaun  để tính giá trị của biểu thức.

*Lý thuyết:

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = - cos α;

tan (180° – α) = - tan α  (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = - cot α  (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau ; có côsin , tang, côtang đối nhau.

Xem thêm

Tổng hợp lý thuyết Chương 3 – Toán 10 Kết nối tri thức 

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Theo công thức đổi đơn vị, ta có số đo cung đã cho có số đo bằng $\frac{63°{48}^{\text{'}}}{180°}.\pi \simeq 1.114$ radial, với $\pi \simeq 3,1416$

*Phương pháp giải:

* Đổi độ sang rađian:

Áp dụng lý thuyết: $1^o=\frac{\pi }{180}rad$, ta suy ra: ${\alpha }^o=\alpha .\frac{\pi }{180}rad$.

* Đổi rađian sang độ:

Áp dụng lý thuyết: $1rad={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$, ta suy ra $\beta rad={\left(\beta .\frac{180}{\pi }\right)}^o$

Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo.

*Lý thuyết:

a. Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn:

* Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian. 1 rađian còn viết tắt là 1 rad.

Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo của cung và góc.

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

${180}^o=\pi rad$ suy ra $1^o=\frac{\pi }{180}rad$ và$1rad={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$

* Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo $\alpha rad$ thì độ dài $l=R\alpha$.

b. Góc và cung lượng giác:

* Đường tròn định hướng: Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều dương (cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm).

* Góc, cung lượng giác và số đo của chúng.

Cho đường tròn định hướng tâm O và hai tia Ou, Ov lần lượt cắt đường tròn tại U và V. Tia Om cắt đường tròn tại M, tia Om chuyển động theo một chiều (âm hoặc dương) quay quanh O khi đó điểm M cũng chuyển động theo một chiều trên đường tròn.

- Góc lượng giác: Tia Om quay xung quanh gốc O từ vị trí Ou đến vị trí Ov. Ta nói tia O đã tạo ra một góc lượng giác có tia đầu là Ou, tia cuối là Ov. Kí hiệu (Ou, Ov)

- Cung lượng giác: Điểm M chuyển động theo một chiều từ điểm U đến trùng với điểm V thì ta nói điểm M đã vạch nên một cung lượng giác có điểm đầu U, điểm cuối V. Kí hiệu là $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$

- Số đo cung lượng giác:

+) Số đo của một cung lượng giác $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ ( $U\ne V$) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu số đo của cung $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ là sđ $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$

+) Nếu một cung lượng giác có số đo ${\alpha }^o$ ( hay $\alpha rad$) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng ${\alpha }^o+k{360}^o$ (hay $\alpha +k2\pi$ ) với $k\in \mathbb{Z}$.
+) Số đo của góc lượng giác (OU, OV) là số đo của cung lượng giác $\stackrel{\curvearrowright }{UV}$ tương ứng

c. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:

Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm O bán kính R = 1 trong hệ tọa độ Oxy. Ta lấy điểm A(1; 0) là điểm gốc của đường tròn đó.

Để biểu diễn cung lượng giác có số đo bằng trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm gốc là điểm A(1;0) và điểm ngọn C sao cho sđ $\stackrel{\curvearrowright }{AC}=\alpha$.

Xem thêm

Theo công thức tính độ dài cung ta có độ dài cung có số đo 3,85rad là 

$l=R.\alpha =8,43.3,85=32,4555\text{\hspace{0.33em}cm}$. Làm tròn kết quả lên ta được D

*Một số dạng bài/lý thuyết nắm thêm về cách tính độ dài cung tròn:

1_ Công thức tính độ dài đường tròn ( chu vi đường tròn )

Độ dài (C) của một đườn tròn bán kính R được tính theo công thức:

$C=2\pi R$ hoặc $C=\pi d$ (với d = 2R)

2_Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung $n°$được tính theo công thức

$l=\frac{\pi Rn}{180}$

3_Dạng bài toán:

a) Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, cung tròn và các đại lượng liên quan

* Phương pháp giải: Áp dụng công thức đã nếu trong phần lí thuyết.

b) Dạng 2: Tính độ dài cung tròn do các cung chắp nối thành

* Phương pháp giải:Chia độ dài cung tròn mình cần tính thành các cung tròn nhỏ hơn của đường tròn khác sau đó sử dụng công thức tính độ dài cung tròn.

c) Dạng 3: So sánh độ dài các cung

* Phương pháp giải:

- Tính độ dài cung theo bán kính R và số đo của cung

- Sau khi thu được kết quả ta tiến hành so sánh.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập chi tiết nhất 

Trắc nghiệm Cung và góc lượng giác có đáp án – Toán lớp 10 

Đáp án: D

Giải thích:

$$\begin{gathered} M=\cos \left(–53°\right).\sin \left(–337°\right) \\ +\sin 307°.\sin 113° \\ =\cos \left(–53°\right).\sin \left(23°–360°\right) \\ +\sin \left(-53°+360°\right).\sin \left(90°+23°\right) \\ =\cos \left(–53°\right).\sin 23°+\sin \left(-53°\right).\cos 23° \\ =\sin \left(23°-53°\right) \\ =-\sin 30°=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

*Các lý thuyết cần nằm về lượng giác

a. Công thức cộng:

$\sin (a+b)=\sin a.\cos b+\sin b.\cos a$

$\sin (a-b)=\sin a.\cos b-\sin b.\cos a$

$\cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b$

$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}$

$\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$

b. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

* Công thức nhân đôi:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

* Công thức hạ bậc:

 $\begin{array}{c}{\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\\ {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\\ {\tan }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\end{array}$    

* Công thức nhân ba:

$\begin{array}{l}\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \\ cos3\alpha =4co{s}^3\alpha -3cos\alpha \end{array}$

c. Công thức biến đổi tích thành tổng:

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)+\cos (a-b)\right]\\ \sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left[\cos (a+b)-\cos (a-b)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a+b)+\sin (a-b)\right]\end{array}$

d. Công thức biển đổi tổng thành tích:

*Các dạng bài lượng giác của một góc bất kì từ 0-180a) Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác *Phương pháp: Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc.b) Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại*Phương pháp: Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại.c) Dạng 3: Chứng minh, rút gọn biểu thức lượng giác*Phương pháp: Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, bảng các giá trị lượng giác đặc biệt, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác, hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức lượng giác hay chứng minh một đẳng thức lượng giác ( bằng cách chứng minh hai vế bằng nhau hoặc từ đẳng thức đã cho biến đổi về một đẳng thức được công nhận là đúng).Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

TOP 40 câu Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản

 Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 3

50 Bài tập Hàm số lượng giác mới nhất

Ta có:

Ta có $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ $=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\sin 2x}{2\cos \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\cos 2x}$ $=\frac{2\sin 2x\cos \left(-x\right)+\sin 2x}{2\cos 2x\cos \left(-x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x+1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x+1\right)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phép biến đổi lượng giác cần nắm:

+) Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

+) Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

Dạng bài tập:

Dạng 1:

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Dạng 3: Thu gọn biểu thức lượng giác

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức lượng giác (2024) và cách giải bài tập chi tiết nhất

Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 6 có đáp án (Vận dụng)

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: B

Giải thích:

*Lời giải

Vì $\alpha$ là góc tù, nên $\sin \alpha >0$,$\cos \alpha <\text{0}\Rightarrow tan\alpha <\text{0}$

*Lý thuyết liên quan

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x₀; y₀) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y₀ của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x₀ của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x₀ ≠ 0), tang của α là $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y₀ ≠ 0), côtang của α là $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 0°\mathrm{và}\mathrm{\alpha }\ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{ (}\mathrm{\alpha }\notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

\

Xem thêm các bài toán hay, chi tiết khác

Lý thuyết Toán 10 Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 00 đến 1800– Kết nối tri thức

Giải bài tập Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

$$\begin{gathered} \alpha =-\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}-2\pi ; \\ \gamma =\frac{\text{25}\pi }{\text{3}}=\frac{\pi }{\text{3}}+8\pi ; \\ \delta =\frac{\text{19}\pi }{\text{6}}=\frac{7\pi }{\text{6}}+2\pi \end{gathered}$$

$\Rightarrow \beta$ và $\gamma$; $\alpha$ và $\delta$ là các cặp góc lượng giác có điểm cuối trùng nhau.

*Các dạng bài góc, cung lượng giác:

* Độ dài cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian:

${180}^o=\pi rad$ suy ra $1^o=\frac{\pi }{180}rad$ và$1rad={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$

* Cách tính độ dài cung tròn

Phương pháp giải: Áp dụng công thức: $l=R\alpha$, trong đó: l là độ dài cung tròn, R là bán kính đường tròn,$\alpha$ là số đo bằng rad của cung.

Trường hợp $\alpha$ có số đo bằng độ, ta có công thức: $l=R.\frac{\pi .\alpha }{180}$

a) Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung $\stackrel{\curvearrowright }{AM}$ có sđ $\stackrel{\curvearrowright }{AM}=\alpha$, khi đó:

+) Tung độ của M gọi là sin của $\alpha$, kí hiệu là $\sin \alpha$: $\sin \alpha =\overline{OQ}$

+) Hoành độ của M gọi là cosin của $\alpha$, kí hiệu là $cos\alpha$: $cos\alpha =\overline{OP}$

+) Nếu $cos\alpha \ne 0$, tỉ số $\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }$ gọi là tang của $\alpha$, kí hiệu là $\tan \alpha$: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }$

+) Nếu $\sin \alpha \ne 0$, tỉ số $\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }$ gọi là côtang của $\alpha$, kí hiệu là $\cot \alpha$: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

Các giá trị $\sin \alpha$,$cos\alpha$,$\tan \alpha$,$\cot \alpha$ được gọi là các giá trị lượng giác của cung $\alpha$. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.

b. Hệ quả:

+) $\sin \alpha ,\cos \alpha$ xác định với mọi giá trị của $\alpha$ và $-1\le \sin \alpha \le 1,-1\le \cos \alpha \le 1$.

+) $\tan \alpha$ được xác định khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, xác định khi $\alpha \ne k\pi$

+) $\sin \alpha =\sin \left(\alpha +k2\pi \right),\cos \alpha =\cos \left(\alpha +k2\pi \right)$

+) $\tan \alpha =\tan \left(\alpha +k\pi \right),\cot \alpha =\cot \left(\alpha +k\pi \right)$

c) Các công thức lượng giác cơ bản:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết: