Rút gọn biểu thức  $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$

Đáp án đúng: C

*Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi trong lượng giác để biến đổi thực hiện phép tính

*Lời giải:

Ta có:

Ta có $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ $=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\sin 2x}{2\cos \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\cos 2x}$ $=\frac{2\sin 2x\cos \left(-x\right)+\sin 2x}{2\cos 2x\cos \left(-x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x+1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x+1\right)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phép biến đổi lượng giác cần nắm:

+) Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

+) Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

Dạng bài tập:

Dạng 1:

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giá của một góc.

- Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

- Sử dụng các công thức lượng giác.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để thực hiện phép biến đổi.

Ta lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

* Cách 1: Dùng hệ thức lượng giác biến đổi một vế thành vế còn lại (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái)

* Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.

* Cách 3: Biến đổi một đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

Dạng 3: Thu gọn biểu thức lượng giác

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn

Dạng 4: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến

Phương pháp giải:

Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là sau khi rút gọn biểu thức ta được kết quả không chứa biến. Do đó, để giải dạng toán này, ta sử dụng công thức lượng giác (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng) và các giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa biểu thức ban đầu trở nên đơn giản, ngắn gọn hơn. Nếu biểu thức sau khi thu gọn không chứa biến, ta suy ra điều phải chứng minh.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Công thức lượng giác (2024) và cách giải bài tập chi tiết nhất

Trắc nghiệm Ôn tập Toán 10 Chương 6 có đáp án (Vận dụng)