* Lời giải:

Ta có: Nửa chu vi $\Delta ABC$:$p=\frac{a+b+c}{2}$

Áp dụng công thức Hê-rông:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ =\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} \\ =24 \end{gathered}$$

* Mở rộng: "Các công thức tính diện tích tam giác"

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c \\ S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C \\ S=\frac{abc}{4R} \\ S=pr \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

(Công thức Hê-rông)

$\to$Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: B

Giải thích:

*Lời giải

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: $S_1=30.2=60km.$

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: $S_2=40.2=80km.$

Vậy sau 2h hai tàu cách nhau là:  

$$\begin{gathered} S=\sqrt{{S_1}^2+{S_2}^2-2S_1.S_2.\cos {60}^0} \\ =20\sqrt{13}. \end{gathered}$$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Định lí côsin và định lí sin

Lời giải

Ta có: Trong tam giác vuông CDA:  

$$\begin{gathered} \tan {72}^{0}12\text{'}=\frac{CD}{AD} \\ \Rightarrow AD=\frac{CD}{\tan {72}^{0}12\text{'}} \\ =\frac{80}{\tan {72}^{0}12\text{'}}\simeq 25,7. \end{gathered}$$

Trong tam giác vuông CDB:

$$\begin{gathered} \tan {34}^{0}26\text{'}=\frac{CD}{BD} \\ \Rightarrow BD=\frac{CD}{\tan {34}^{0}26\text{'}} \\ =\frac{80}{\tan {34}^{0}26\text{'}}\simeq 116,7. \end{gathered}$$

Suy ra: khoảng cách  

$AB=116,7-25,7=91m.$

 * Mở rộng:

Giải tam giác

Như ta đã biết, một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong những dữ kiện sau:

– Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó;

– Biết độ dài ba cạnh;

– Biết độ dài một cạnh và độ lớn hai góc kề với cạnh đó.

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên những dữ kiện cho trước.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = $2\sqrt{7}$. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB.

a) Tính cos các góc của tam giác ABC.

b) Tính độ dài cạnh AM.

Hướng dẫn giải:

a) Theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

cosB = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\mathrm{AB}.\mathrm{BC}}$= $\frac{4^2+6^2-{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}{\mathrm{2.4.6}}$= $\frac{1}{2}$

⇒ $\widehat{\mathrm{B}}$= 60°.

cosC = $\frac{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\mathrm{AC}.\mathrm{BC}}$= $\frac{{\left(2\sqrt{7}\right)}^2+6^2-4^2}{2.2\sqrt{7}.6}$= $\frac{2\sqrt{7}}{7}$

cosA = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2\mathrm{AB}.\mathrm{AC}}$= $\frac{4^2+{\left(2\sqrt{7}\right)}^2-6^2}{\mathrm{2.4.2}\sqrt{7}}$= $\frac{\sqrt{7}}{14}$

b) Ta có:

MC = 2MB ⇒ $\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{MC}}$= $\frac{1}{2}$⇒ $\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{BC}}$= $\frac{1}{3}$

⇒ MB = $\frac{1}{3}$BC = $\frac{1}{3}$.6 = 2

Áp dụng định lí côsin trong tam giác AMB ta có:

AM2 = AB2 + BM2 – 2AB.BM.cosB = 42 + 22 – 2.4.2. $\frac{1}{2}$= 12

⇒ AM = $\sqrt{12}$= $2\sqrt{3}$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{B}}=35°$; $\widehat{\mathrm{C}}=50°$ và cạnh AC = 15 cm. Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\widehat{\mathrm{A}}$ + $\widehat{\mathrm{B}}$ + $\widehat{\mathrm{C}}$= 180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra:

$\widehat{\mathrm{A}}$ = 180° – $\widehat{\mathrm{B}}$ – $\widehat{\mathrm{C}}$ = 180° – 35° – 50° = 95°

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

Suy ra:

BC = $\frac{\mathrm{AC}.\mathrm{sinA}}{\mathrm{sinB}}$= $\frac{15.\sin 95°}{\sin 35°}$≈ 26,05cm

AB = $\frac{\mathrm{AC}.\mathrm{sinC}}{\mathrm{sinB}}$= $\frac{15.\sin 50°}{\sin 35°}$≈ 20,03cm

Vậy BC = 26,05cm và AB ≈ 20,03 cm.

Xem thêm các bài viết liên quan,chi tiết khác:

Lý thuyết Toán 10 Bài 2. Giải tam giác. Tính diện tích tam giác – Cánh diều

Lý thuyết Toán 10 Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác – Cánh diều

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

*Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ =\frac{{13}^2+{15}^2-{24}^2}{\mathrm{2.13.15}} \\ =-\frac{7}{15}\Rightarrow A\simeq {117}^{0}49\text{'}. \end{gathered}$$

Xem thêm một số bài viết liên quan hay, chi tiết: 

Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin 

TOP 20 câu Trắc nghiệm Định lí côsin và định lí sin

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: D

Giải thích:

*Lời giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}a.c.\sin B \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.4.5.}\sin {150}^0=5. \end{gathered}$$

* Các công thức tính diện tích tam giác bằng hệ thức lượng: 

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c \\ S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C \\ S=\frac{abc}{4R} \\ S=pr \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

(Công thức Hê-rông)

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án 

Bài tập hệ thức lượng nâng cao(có đáp án)

Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác (có đáp án)

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: B

Giải thích:

*Lời giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} p=\frac{a+b+c}{2} \\ =\frac{52+56+60}{2}=84. \end{gathered}$$

Suy ra:

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\ =\sqrt{84(84-52)(84-56)(84-60)} \\ =1344 \end{gathered}$$

Mà $S=\frac{abc}{4R}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow R=\frac{abc}{4S} \\ =\frac{\mathrm{52.56.60}}{4.1344}=\frac{65}{2} \end{gathered}$$

* Mở rộng: "Một số phương pháp giải bài toán liên quan đến tính bán kính đường tròn ngoại tiếp"

Phương pháp 1: Sử dụng đinh lý sin trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:

Phương pháp 2: Sử dụng diện tích tam giác

        $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi 

       $S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$    (Công thức Hê-rông) 

Phương pháp 3: Sử dụng trong hệ tọa độ

- Tìm tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Tìm tọa độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

- Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C, đây chính là bán kính cần tìm

 R = OA = OB = OC.

Phương pháp 4: Sử dụng trong tam giác vuông (kiến thức lớp 9)

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

$\to$Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Đáp án: D

Giải thích:

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;3)$,$\overrightarrow{AC}=(9;-3)$ .

Suy ra:

$$\begin{gathered} \cos \widehat{BAC}=\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=0 \\ \Rightarrow \widehat{BAC}={90}^0. \end{gathered}$$

* Các dạng bài tập và lý thuyết thêm 

a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin .

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

3. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B =$\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (có đáp án)

Trắc nghiệm Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Trắc nghiệm Toán 10. Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án