Lời giải

Phương án A: $\overrightarrow{AB}=\left(-3;-2\right)$, nên loại A.

Phương án B: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ nên loại B.

Phương án C : $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{13}$ nên loại C $\overrightarrow{AC}=\left(3;-\frac{9}{2}\right)$.

Phương án D: Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(6;-\frac{5}{2}\right)$ 

suy ra $BC=\sqrt[]{6^2+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{13}{2}$ nên chọn D.

Lời giải

$$\begin{gathered} E=\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha } \\ =\frac{1+3{\tan }^2\alpha }{2+{\tan }^2\alpha }=\frac{3\left({\tan }^2\alpha +1\right)-2}{1+\left(1+{\tan }^2\alpha \right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{\frac{3}{{\cos }^2\alpha }-2}{\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1} \\ =\frac{3-2{\cos }^2\alpha }{1+{\cos }^2\alpha }=\frac{19}{13} \end{gathered}$$

Lời giải

$$\begin{gathered} E={\sin }^2\alpha \left(2{\cot }^2\alpha +5\cot \alpha +\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\right) \\ =\frac{1}{1+{\cot }^2\alpha }\left(3{\cot }^2\alpha +5\cot \alpha +1\right) \\ =\frac{101}{26} \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có:

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{5}$

nên B đúng.

$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=5$ nên C đúng.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.\left(-3\right)+\left(-1\right).4 \\ =-10\ne 0 \end{gathered}$$

 nên A đúng, D sai.

Lời giải

Phương án A: $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AB}$ ngược hướng

suy ra

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=MA.AB.\cos {180}^{\text{o}}$

$=-MA.AB$ nên loại A.

Phương án B:$\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ngược hướng

suy ra

 $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos {180}^{\text{o}}$

$=-MA.MB$ nên loại B.

Phương án C: $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng

suy ra 

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=AM.AB.\cos 0^{\text{o}}$

$=AM.AB$ nên loại C.

Phương án D: $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ ngược hướng

suy ra

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=MA.MB.\cos {180}^{\text{o}}$

$=-MA.MB$ nên chọn D.

Lời giải

Ta có

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CA}=AH.CA.\cos \left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{CA}\right) \\ =\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\cos {150}^{\text{o}}=-\frac{3a^2}{4} \end{gathered}$$

Lời giải

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$ suy ra $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^0$

Do đó

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos 0^{\text{o}}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

nên chọn A

Lời giải

Phương án  A: $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$ suy ra $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0$ nên loại A.

Phương án  B:

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=0$và $\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}=0$ 

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{AC}=0$ suy ra nên loại B.

Phương án  C:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos {45}^{\text{o}} \\ =AB.AB\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=A{B}^2 \end{gathered}$$

nên chọn C.

Lời giải

Phương án A: $\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)$ do nên loại A

Phương án B:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)$

 suy ra $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{20}$,$\overrightarrow{BA}=\left(-4;-2\right)$

$\overrightarrow{BC}=\left(3;-1\right)\Rightarrow BC=\sqrt{10}$

$$\begin{gathered} \cos B=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}=\frac{-10}{\sqrt{20}.\sqrt{10}} \\ =\frac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{B}={135}^{\text{o}} \end{gathered}$$

nên chọn B.

Lời giải

Ta có

$\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;-6\right)$,

suy ra :

$$\begin{gathered} \cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|} \\ =\frac{10}{\sqrt{5}.\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)={\text{45}}^{\text{o}}$

Lời giải

Ta có: Trong tam giác ABC có

$a=6\Rightarrow BC=6$ mà BM=3 suy ra M là trung điểm  BC.

Suy ra:

$$\begin{gathered} A{M}^2=m_a^2 \\ =\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=9 \\ \Rightarrow AM=3 \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có: $\cos A=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MI}=(-3;1) \\ \Rightarrow MI=\sqrt{10} \end{gathered}$$

Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) tâm I là:

$$\begin{gathered} M{I}^2-R^2= \\ {\left(\sqrt{{(-2-1)}^2+{(1-2)}^2}\right)}^2-4 \\ =6. \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2CB.CA.\cos C \\ ={250}^2+{120}^2-\mathrm{2.250.120.}\cos {78}^{o}24\text{'} \\ \simeq 64835\Rightarrow AB\simeq 255. \end{gathered}$$

Lời giải

Không có đáp án.

Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: $S_1=30.2=60km.$ 

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là:  $S_2=40.2=80km.$

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là:  

$$\begin{gathered} S=\sqrt{{S_1}^2+{S_2}^2-2S_1.S_2.\cos {60}^0} \\ =20\sqrt{13}. \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có

$$\begin{gathered} \cos \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right)=\frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}}{\left|\overrightarrow{OM}\right|.\overrightarrow{\left|ON\right|}} \\ =\frac{-5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}\right)={135}^{\text{o}} \end{gathered}$$

Lời giải

Phương án  A:

$$\begin{gathered} \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right) \\ ={180}^0-\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\right)={130}^{\text{o}} \end{gathered}$$

 nên loại A.

Phương án  B:

$\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right)=\left(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA}\right)={40}^{\text{o}}$

 nên loại B.

Phương án  C:

$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)={50}^{\text{o}}$

 nên loại C.

Phương án  D:

$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={180}^0-\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)={140}^{\text{o}}$

nên chọn D.

Lời giải

Vì:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{BC} \\ =\overrightarrow{DA}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right) \\ =\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{AD}=-9a^2 \end{gathered}$$

nên chọn A.

Lời giải

Ta có :

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right).\overrightarrow{AC} \\ =\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AC} \\ =\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=81 \end{gathered}$$

nên chọn B.

Lời giải

Ta có:

$$\begin{gathered} \left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt[]{{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2} \\ =\sqrt[]{{\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}} \\ =\sqrt[]{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)} \\ =\sqrt{7-2\sqrt{3}} \end{gathered}$$

Lời giải

$$\begin{gathered} \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}={\overrightarrow{CM}}^2 \\ \iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}-{\overrightarrow{CM}}^2=0 \\ \iff \overrightarrow{CM}.\overrightarrow{MB}=0 \end{gathered}$$

Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC.

Lời giải

$\overrightarrow{a}=\left(3;6\right);\overrightarrow{b}=\left(8;-4\right)$

Phương án  A: 

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=24-24=0$ nên loại  A

Phương án B: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$ suy ra $\overrightarrow{a}$ vuông góc $\overrightarrow{b}$ nên loại  B

Phương án C: $\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

$=\sqrt[]{3^2+6^2}.\sqrt[]{8^2+{\left(-4\right)}^2}\ne 0$

 nên chọn C.

Lời giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ =7^2+5^2-\mathrm{2.7.5.}\frac{3}{5}=32 \\ \Rightarrow a=4\sqrt{2}. \end{gathered}$$

Mặt khác: ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A=1-\frac{9}{25} \\ =\frac{16}{25}\Rightarrow \sin A=\frac{4}{5} \end{gathered}$$

 (Vì $\sin A>0$).

Mà: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}b.c.\sin A$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow h_a=\frac{bc\sin A}{a} \\ =\frac{\mathrm{7.5.}\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4} \\ =\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}. \end{gathered}$$

Lời giải

Ta có:  

$$\begin{gathered} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \\ =\frac{c}{\sin C}=2R. \end{gathered}$$