Sách bài tập Toán 10 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hệ thức lượng trong tam giác

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 Bài 3.

1 5314 lượt xem
Tải về


Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 38 Tập 1

Bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có A^=450, C^=300và c = 12.

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của ta m giác.

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Tính diện tích của tam giác.

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Xét DABC có A^+B^+C^=180°

B^=180°A^C^=180°45°30°=105°.

Áp dụng định lí sin ta có: asinA=bsinB=csinC

Suy ra:

a=csinC.sinA=12sin30°.sin45°

a=1212.22=122;

b=csinC.sinB=12sin30°.sin105°

b=1212.6+24=66+62.

Vậy a=122;b=66+62.

b) Theo định lí sin ta có csinC=2R

R=c2sinC=122.sin30°=12.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 12.

c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

S=12.bcsinA=12.66+62.12.sin45°

=6.66+62.22=363+36.

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 363+36.

d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

S=12aha=12bhb=12chc

Do đó:

ha=2Sa=2.363+36122=36+32;

hb=2Sb=2.363+3666+62=62;

hc=2Sc=2.363+3612=63+6.

Vậy độ dài các đường cao ha, hb, hc của tam giác ABC lần lượt là ha=36+32; hb=62; hc=63+6.

Bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15

a) Tính cosA.

b) Tính diện tích tam giác.

c) Tính độ dài đường cao hc.

d) Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin cho DABC ta có:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA

cosA =b2+c2a22bc=62+1521922.6.15=59.

Vậy cosA = -59

b) Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15

Khi đó:

p=a+b+c2=19+6+152=20.

• p – a = 1;

• p – b = 14;

• p – c = 5.

Áp dụng công thức Heron ta có:

S=ppapbpc=20.1.14.5=1014.

Vậy diện tích DABC bằng 1014.

c) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

Sb=12chc

hc=2Sc=2.101415=4143.

Vậy độ dài đường cao hc=4143.

d) Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có:

S = pr r=Sp=101420=142.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 142.

Giải SBT Toán 10 trang 39 Tập 1

Bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, C^=600.

a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin cho DABC ta có:

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

c2 = 42 + 52 – 2.4.5.cos60°

= 16 + 25 – 40.12 = 21.

c = 21

Áp dụng định lí sin ta có: asinA=bsinB=csinC

Do đó:

sinB=sinCc.b=sin60°21.5=5714.

B^70°53'36''

sinA=sinCc.a=sin60°21.4=277.

A^49°6'24''

Vậy c=21;A^49°6'24'';B^70°53'36''.

b) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

S=12.absinC=12.4.5.sin60°=53.

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 53.

c) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong phần Nhận xét của Ví dụ 3, trang 37, SBT, Toán 10, Tập một ta có:

ma2=b2+c22a24=52+2122424=19.

ma=19.

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC bằng 19

Bài 3.10 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E đến đảo B để lấy thêm ngư cụ, rồi chuyển hướng N36°W chạy tiếp 130 km đến ngư trường C.

a) Tính khoảng cách từ vị trí xuất phát A đến C (làm tròn đến hàng đơn theo đơn vị đo kilômét).

b) Tìm hướng từ A đến C (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị độ).

Lời giải:

Ba vị trí đảo A, đảo B và ngư trường C được mô tả như hình vẽ đưới đây:

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Ta có:

ABC^=90°24°+90°36°=120°

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cosABC^

= 502 + 1302 – 2.50.130.-12 = 25 900

AC=10259161km 

Vậy khoảng cách từ đảo A đến ngư trường C khoảng 161 km.

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

BCsinBAC^=ACsinABC^

sinBAC^=sinABC^AC.BC

sinBAC^sin120°161.1300,699

BAC^44°.

Do đó AC có hướng chếch về hướng W một góc 44° – 24° = 22° so với hướng N.

Vậy từ A đến C có hướng N20°W.

Bài 3.11 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng E20°S giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà. Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômet?

Lời giải:

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ điểm A, chuyển động theo hướng N80°E tới B sau đó chuyển hướng E20°S tới điểm C như hình vẽ dưới đây.

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: ABC^=180°10°20°=150°

Tàu chạy từ A đến B với vận tốc 20 km/h trong 30 phút (= 0,5 giờ) nên:

AB = 20.0,5 = 10 (km).

Tàu chạy từ B đến C với vận tốc 20 km/h trong 36 phút (= 0,6 giờ) nên:

BC = 20.0,6 = 12 (km)

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cosABC^

= 102 + 122 – 2.10.12.cos150°

= 100 + 144 – 240.32 = 452 (km)

Suy ra AC45221,26km.

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) khoảng 21,26 km.

Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang. Từ một điểm dưới chân dốc, cách gốc cây 31 m người ta nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang. Hãy tính chiều cao của cây.

Lời giải:

Cây cổ thụ và con dốc được mô tả như hình vẽ dưới đây:

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì con dốc có độ dốc 10° so với phương nằm ngang, người nhìn nhìn đỉnh ngọn cây dưới một góc 40° so với phương nằm ngang nên ta có BAC^=40°10°=30°.

ACB^=90°40°=50°

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

ABsinACB^=BCsinBAC^

BC=ABsinACB^.sinBAC^

BC=31sin50°.sin30°20,23m

Vậy chiều cao của cây khoảng 20,23 m.

Bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) cotA+cotB+cotC=a2+b2+c24S;

b) ma2+mb2+mc2=34a2+b2+c2.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

cosA = b2+c2a22bc        (1)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

S=12bc.sinA

sinA=2Sbc                  (2)

Từ (1) và (2) ta có:

cotA = cosAsinA=b2+c2a22bc:2Sbc

cotA=b2+c2a22bc.bc2S

cotA=b2+c2a24S.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

cotB=a2+c2b24S   cotC=a2+b2c24S

Do đó cotA + cotB + cotC

=b2+c2a24S+a2+c2b24S+a2+b2c24S

=a2+b2+c24S

Vậy cotA+cotB+cotC=a2+b2+c24S.

b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

ma2=b2+c22a24; mb2=a2+c22b24 mc2=a2+b22c24.

Do đó:

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy ma2+mb2+mc2=34a2+b2+c2.

Bài 3.14 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc.

Chứng minh rằng:

a) a2 + b2 = 5c2;

b) cotC= 2 (cot A + cot B).

Lời giải:

a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó AG=23AM BG=23BN.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABG vuông tại G (do AM BN) có:

c2 = AB2 = AG2 + BG2

=49.AM2+49.BN2

Mà AM, BN là hai đường trung tuyến kẻ từ A và B của tam giác ABC.

Do đó theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

AM2=ma2=b2+c22a24 BN2=mb2=a2+c22b24.

Suy ra c2 = 49.b2+c22a24+49.a2+c22b24

=49.b2+c22a24+a2+c22b24

=49.a2+b24+c2

c2 =49.a2+b24+c2

9c2 = a2 + b2 + 4c2

5c2 = a2 + b2.

b) Theo chứng minh phần a), Bài 3.13 ta có:

cotC=a2+b2c24S

Mà 5c2 = a2 + b2 (chứng minh phần a))

Do đó cotC=5c2c24S=4c24S=c2S       (1)

Mặt khác:

cotA+cotB=b2+c2a24S+a2+c2b24S 

cotA + cotB =2c24S=c22S

2(cotA + cotB) =c2S   (2)

Từ (1) và (2) ta có: cotC = 2(cotA + cotB) = c2S

Vậy cotC = 2(cotA + cotB).

Bài 3.15 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn asinA=bsinB=csinC=2R. Tính số đo các góc của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Theo bài ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Đặt a1=b2=c3=t

Suy ra a = t; b = 2t; c = t3

Suy ra a2 = t2; b = 4t2; c = 3t2.

Ta thấy: a2 + c2 = b2 = 4t2

Theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại B.

sinB = 1.

sinA1=12=sinC3.

 sinA=12 sinC=32

A^=30° C^=60°

Vậy A^=30°;B^=90° C^=60°.

Bài 3.16 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có S = 2R2.sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

asinA=bsinB=csinC=2R

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB và c = 2R.sinC.

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

S=abc4R=2RsinA.2RsinB.2RsinC4R

S=8R3.sinA.sinB.sinC4R

S = 2R2.sin A.sinB.sinC.

Mà theo bài S = 2R2.sin A.sinB.

Do đó sinC = 1

C^=90°.

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Xem thêm tài liệu Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

1 5314 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: