Cho tam giác ABC có S = 2R^2.sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.16 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có S = 2R².sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow$ a = 2R.sinA; b = 2R.sinB và c = 2R.sinC.

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

$$\begin{gathered} S=\frac{abc}{4R} \\ =\frac{\left(2R\sin A\right).\left(2R\sin B\right).\left(2R\sin C\right)}{4R} \end{gathered}$$

$\Rightarrow S=\frac{8R^3.\sin A.\sin B.\sin C}{4R}$

$\Rightarrow$ S = 2R².sin A.sinB.sinC.

Mà theo bài S = 2R².sin A.sinB.

Do đó sinC = 1

$\Rightarrow \widehat{C}=90°.$

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 6 bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 3.7 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ = 45$°$, $\hat{C}$ = 30$°$ và c = 12... 

Bài 3.8 trang 38 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC có a = 19, b = 6 và c = 15. a) Tính cosA... 

Bài 3.9 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 4, $\hat{C}$=60$°$, b = 5. a) Tính các góc và cạnh còn lại của tam giác... 

Bài 3.10 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một tàu cá xuất phát từ đảo A, chạy 50 km theo hướng N24°E... 

Bài 3.11 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng N80°E... 

Bài 3.12 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Một cây cổ thụ mọc thẳng đứng bên lề một con dốc có độ dốc 10$°$... 

Bài 3.13 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cotA+cotB+cotC= $\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$... 

Bài 3.14 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ A và B vuông góc... 

Bài 3.15 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn $\frac{\sin A}{1}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{\sqrt{3}}$... 

Bài 3.16 trang 39 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có S = 2R².sin A.sinB. Chứng minh rằng tam giác ABC là một tam giác vuông...