Sách bài tập Toán 10 Bài 10 (Kết nối tri thức): Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 Bài 10.

1 2444 lượt xem
Tải về


Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 58 Tập 1

Bài 4.22 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3). Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M, N, P theo thứ tự là trung điểm cạnh BC, CA, AB.

Lời giải:

Cách 1:

Gọi A(xA; yA); B(xB; yB) và C(xC; yC) là tọa độ ba đỉnh của tam giác ABC.

Ta có:

+) M(4; 0) là trung điểm của BC nên 4=xB+xC20=yB+yC2

xB+xC=8yB+yC=0                                 (1)

+) N(5; 2) là trung điểm của CA nên 5=xA+xC22=yA+yC2

xA+xC=10yA+yC=4xC=10xAyC=4yA     (2)

+) P(2; 3) là trung điểm của AB nên 2=xA+xB23=yA+yB2

xA+xB=4yA+yB=6xB=4xAyB=6yA        (3)

Thay (2) và (3) vào (1) ta được:

4xA+10xA=86yA+4yA=0142xA=8102yA=0

xA=3yA=5  A(3; 5)

Khi đó xB=43=1yB=65=1  B(1; 1)

xC=103=7yC=45=1 C(7; –1)

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Cách 2:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Nên MN, NP, PM là các đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AB, NP // BC, MP // AC.

+) Do MN // BM và NP // BM nên tứ giác MNPB là hình bình hành

MB=NP

Gọi B(xB; yB) và có M(4; 0), N(5; 2) và P(2, 3).

MB=xB4;yB NP=25;32=3;1

Khi đó MB=NPxB4=3yB=1xB=1yB=1 Þ B(1; 1)

Tương tự ta cũng có A(3; 5) và C(7; –1).

Vậy A(3; 5), B(1; 1) và C(7; –1).

Bài 4.23 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.

Lời giải:

a) Với A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó AB = CA =26

Nên tam giác ABC cân tại A               (1)

Mặt khác: BC2=2132=52

AB2+AC2=262+262=52

BC2 = AB2 + AC2

Theo định lí Pythagoras đảo thì tam giác ABC vuông tại A        (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A với AB=AC=26;BC=213.

b)

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì ABC là tam giác vuông cân

Nên để ABDC là hình vuông thì tứ giác ABDC là hình bình hành

CA=DB

Gọi D(xD; yD) và có A(2;–1), B(1; 4), C(7; 0).

CA=5;1DB=1xD;4yD

Do đó CA=DB5=1xD1=4yD

xD=6yD=5  D(6; 5).

Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(6; 5).

Bài 4.24 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

a) Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.

b) Tìm toạ độ của điểm Q sao cho MQ=2PN.

c) Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn RM+2RN=0. Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Lời giải:

a) Gọi P(a; 0) là điểm thuộc tia Ox.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

 Do đó PM = PN 2a2+12=4a2+52

(–2 – a)2 + 12 = (4 – a)2 + 52

4 + 4a + a2 + 1 = 16 – 8a + a2 + 25

12a = 36

a = 3.

Vậy P(3; 0).

b) Giả sử điểm Q có tọa độ là Q(x; y).

Với M(–2; 1), N(4; 5) và P(3; 0) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó MQ=2PNx+2=2y1=10

x=0y=11  Q(0; 11).

Vậy Q(0; 11).

c) Giả sử R(x0; y0) là điểm cần tìm.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Ta xét ba điểm: P(3; 0), Q(0; 11) và R2;113

PQ=3;11QR=2;11311=2;223

Có: 32=11223 nên hai vectơ PQ QR cùng phương

Do đó P, Q, R thẳng hàng

Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.

Giải SBT Toán 10 trang 59, 60 Tập 1

Bài 4.25 trang 59 SBT Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).

a) Tìm toạ độ của điểm P thuộc trục tung sao cho M, N, P thẳng hàng.

b) Tìm toạ độ của điểm Q đối xứng với N qua Oy.

c) Tìm toạ độ của điểm R đối xứng với M qua trục hoành.

Lời giải:

a) Giả sử P(0; yP) là điểm thuộc trục tung.

Với M(–3; 2) và N(2; 7) ta có:

MP=3;yP2 NP=2;yP7

Ba điểm M, N, P thẳng hàng

MP NP cùng phương

32=yP2yP7 (với yP ≠ 7)

3.(yP – 7) = –2.(yP – 2)

3.yP – 21 = –2yP + 4

3.yP + 2yP = 4 + 21

5.yP = 25

yP = 5 (thỏa mãn)

Vậy P(0; 5).

b)

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì Q đối xứng với N(2; 7) qua Oy nên:

+ Hoành độ của điểm Q là số đối của hoành độ điểm N;

+ Tung độ của điểm Q bằng với tung độ của điểm N.

Do đó Q(–2; 7).

Vậy Q(–2; 7).

c)

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì R đối xứng với M(–3; 2) qua trục hoành nên:

+ Hoành độ của điểm R bằng hoành độ điểm M;

+ Tung độ của điểm R bằng số đối của tung độ điểm M.

Do đó R(–3; –2).

Vậy R(–3; –2).

Bài 4.26 trang 60 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

a) Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ EC+ED có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho 2FC+3FD đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MC+MD=CD.

Lời giải:

a) Giả sử E(0; yE) là điểm thuộc trục tung.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

EC=1;6yE ED=11;2yE

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì (8 – 2yE)2 ≥ 0 yE

Nên 122 + (8 – 2yE)2 ≥ 122 yE

Hay 122+82yE212  yE

EC+ED12  yE

Do đó độ dài của vectơ EC+ED nhỏ nhất bằng 12

Dấu “=’ xảy ra 8 – 2yE = 0

yE = 4

Vậy với E(0; 4) thì vectơ EC+ED có độ dài ngắn nhất.

b) Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vì (35 – 5a)2 ≥ 0 a

Nên (35 – 5a)2 + 182 ≥ 182 a

Hay 355a2+182 a

2FC+3FD18 a

Do đó độ dài của vectơ 2FC+3FD nhỏ nhất bằng 18

Dấu “=’ xảy ra 35 – 5a = 0

a = 7

Vậy với F(7; 0) thì 2FC+3FD đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn MC+MD=CD.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) CD=10;4

CD=CD=102+42=116=229

Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có:

• Tọa độ của I là: xI=1+112=6yI=6+22=4 Þ I(6; 4).

MC+MD=2MI

MC+MD=2MI=2.MI

Ta có

MC+MD=CD2MI=CD

IM=CD2=2292=29.

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính R=29.

Giải SBT Toán 10 trang 61, 62 Tập 1

Bài 4.27 trang 61 SBT Toán 10 Tập 1: 

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác đó.

b) Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:

+) AB=2;2

+) AC=1;3

Do 2123 nên hai vectơ AB AC không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tạo thành một tam giác.

Gọi G(x; y) là tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

x=1+3+23=2y=2+4+13=53 G2;53

Vậy G2;53

b) * Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó IA = IB = IC.

Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Do đó IA = IB = IC IA2 = IB2 = IC2

(1 – a)2 + (2 – b)2 = (3 – a)2 + (4 – b)2 = (2 – a)2 + (–1 – b)2

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

* Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Gọi H(x0; y0) là tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên theo kết quả của Bài 4.15, phần a) trang 54 ta có AH=2IM (với M là trung điểm của BC).

Với A(1; 2), B(3; 4), C(2; –1) và I154;54 ta có:

• Trung điểm M của BC có tọa độ là:  

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy I154;54 H32;52.

Bài 4.28 trang 62 SBT Toán 10 Tập 1:

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ AB, AD.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho các đỉnh của hình hồ hình chữ nhật có các tọa độ là A(0; 0), B(200; 0), C(200; 180) và D(0; 180).

Gọi vị trí các cột điện được trồng là C1, C2, C3 và C4.

Vì vị trí cột điện thứ nhất C1 nằm trên bờ AB và cách A một khoảng 20 m nên trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C1(20; 0).

Vị trí cột điện thứ tư nằm trên bờ CD và cách C một khoảng 30 m nên khoảng cách từ C4 đến D là 170 m. Khi đó trong hệ trục tọa độ đã chọn, điểm C4(170; 180).

Vì bốn cột điện được trồng liên tiếp nhau và cách đều trên một đường thẳng nên:

C1C2 = C2C3 = C3C4

C1C2 = 13C1C4 và C1C3 = 23C1C4.

C1C2=13C1C4 C1C3=23C1C4

Giả sử C2(a; b) và C3(x; y).

Với C1(20; 0), C4(170; 180) ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Sách bài tập Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy khoảng cách từ cột điện thứ hai đến bờ AB là 60 m và đến bờ AD là 70 m.

Khoảng cách từ cột điện thứ ba đến bờ AB là 120 m và đến bờ AD là 120 m.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

1 2444 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: