Sách bài tập Toán 10 Bài 22 (Kết nối tri thức): Ba đường conic

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 Bài 22.

1 1,264 26/12/2022
Tải về


Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 22: Ba đường conic - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 46 Tập 2

Bài 7.28 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) có phương trình x236+y216=1 . Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc x236+y216=1  của (E) ta có

a2=36b2=16c=a2b2=25

Vậy (E) có hai tiêu điểm là: F125;0,F225;0 và có tiêu cự là: 2c=45 .

Bài 7.29 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho hypebol (H) có phương trình x216y220=1. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc x216y220=1  của (H) ta có

a2=16b2=20c=a2+b2=6

Vậy (H) có hai tiêu điểm là F1 (–6; 0), F2(6; 0) và có tiêu cự là 2c = 12.

Bài 7.30 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Lời giải:

Dựa vào phương trình chính tắc y2 = 4x của (P) ta có:

2p = 4 p = 2 p2=1  .

Vậy (P) có tiêu điểm là F(1; 0) và có đường chuẩn là Δ: x = –1.

Bài 7.31 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết (E) đi qua điểm A(6; 0) và có tiêu cự bằng 8.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (E) có dạng x2a2+y2b2=1  (trong đó a > b > 0)

Vì (E) đi qua điểm A(6; 0) nên ta có 62a2+02b2=1   a2 = 62 

Do (E) có tiêu cự là 2c = 8 nên ta có c = 4 b2 = a2 – c2 = 62 – 42 = 20.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: x236+y220=1 .

Bài 7.32 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua điểm M32;4 và có một tiêu điểm là F2(5; 0).

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (H) có dạng: x2a2y2b2=1   (trong đó a, b > 0)

Do (H) có một tiêu điểm là F2(5; 0) nên ta có:

c = 5 b2 + a2 = c2 = 25 a2 = 25 – b2

Vì (H) đi qua điểm M32;4 nên ta có

322a242b2=118a216b2=1            (1)

Đặt t = b2 (t > 0) a2 = 25 – t. Thay vào (1) ta được

1825t16t=1

18t – 16(25 – t) = (25 – t)t

18t – 400 + 16t = 25t – t2

t2 + 9t – 400 = 0

t = 16 (thỏa mãn) hoặc t = –25 (không thỏa mãn)

Do đó, b2 = t = 16, a2 = 25 – t = 9.

Vậy phương trình chính tắc của (H) là: x29y216=1 .

Bài 7.33 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết rằng (P) có đường chuẩn là đường thẳng Δ: x + 4 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của (P) bằng 5.

Lời giải:

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y2 = 2px, trong đó p > 0.

Vì (P) có đường chuẩn là Δ: x + 4 = 0 x = –4 –p : 2 = –4 p = 8

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 16x.

Gọi M (x0; y0).

Vì M thuộc (P) nên ta có:

d(M, Δ) = MF = 5 với F là tiêu điểm của (P) và F(4; 0).

x0+412+02=5

|x0 + 4| = 5 (*)

TH1: x0 + 4 ≥ 0 hay x0 ≥ –4

 (*)   x0 + 4 = 5  x0 = 1 (thỏa mãn)

TH2: x0 + 4 < 0 hay x0 < –4

 (*)   –x0 – 4 = 5  x0 = –9 (thỏa mãn)

Với x0 = –9, thay vào phương trình của (P) ta được y02 = 16.(–9) = –144 < 0 (không thể tồn tại)

Với x0 = 1, thay vào phương trình của (P) ta được y02 = 16.1 = 16 y0  = ±4

Vậy M(1; 4) hoặc M(1; –4).

Bài 7.34 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Cho parabol (P) có phương trình là y2 = 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của (P) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Lời giải:

Gọi vectơ chỉ phương của Δ là uΔ=a;b . Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là

x=4+aty=0+bt=bt.

Toạ độ giao điểm của Δ và (P) ứng với thoả mãn phương trình

(bt)2 =16 . (4 + at) b2t2 – 16at – 64 = 0. (1)

Phương trình (1) có Δ’ = 64a2 + 64b2 > 0 (do b ≠ 0), suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.

Gọi A(4 + at1; bt1), B(4 + at2; bt2), trong đó t1, t2 là hai nghiệm của phương trình (1).

Ta có

dA,Ox.dB,Ox=bt102+12.bt202+12=b2.t1t2

Dựa vào phương trình (1). Theo định lí Vi–ét ta có: t1t2=64b2 . Từ đó suy ra

dA,Ox.dB,Ox=b2.64b2=64

Vậy tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Bài 7.35 trang 46 SBT Toán 10 Tập 2: Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8 m thì có chiều rộng không quá 3 m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8 m có thể đi qua hầm được không?

Sách bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của (E) là: x2a2+y2b2=1  (trong đó a > b > 0).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên OA = 12 : 2 = 6 (m), do đó điểm A có tọa độ (6; 0).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên OB = 3 m, do đó điểm B có tọa độ (0; 3).

Do các điểm B(0; 3) và A(6; 0) thuộc (E) nên thay vào phương trình của (E) ta có:

02a2+32b2=1b2=32=962a2+02b2=1a2=62=36

Suy ra phương trình của (E) là

x236+y29=1.

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe khoảng 3 : 2 = 1,5 m, tương ứng với x = 1,5. Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao y của điểm M (có hoành độ bằng 1,5 thuộc (E)) so với trục Ox.

xM236+yM29=1

Suy ra: yM=3.1xM236=3.11,52362,905>2,8

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.

Giải SBT Toán 10 trang 47 Tập 2

Bài 7.36 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương trình x22+y21=1 .

a) Tính MF12 – MF22  theo x0; y0. Từ đó tính MF1, MF2, theo x0; y0.

b) Tìm điểm M sao cho MF2 = 2MF1.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F1; F2 (tức là góc F1MF2^ ) là lớn nhất ?

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, a=2,c=a2b2=21=1.

(E) có hai tiêu điểm là F1(–1; 0); F2(1; 0).

a)

Ta có:

MF12 = (x0 + 1)2 + (y0 – 0)2 = (x0 + 1)2 + y02

MF22 = (x0 – 1)2 + (y0 – 0)2 = (x0 – 1)2 + y02

MF12 – MF22  

= (x0 + 1)2 + y02  – [(x0 – 1)2 + y02]

= (x0 + 1)2  – (x0 – 1)2

= x02  + 2x0 + 1 – (x02  – 2x0 + 1)

= 4x0.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF1 + MF2 = 2a = 22  (1)  

Mà: (MF1 – MF2)(MF1 + MF2) = MF12 – MF22  

 MF1MF2=MF12MF12MF1+MF2=4x022=2x0 (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF1 = 22  2x0

MF1 =  2 +  x02

MF2 = 222x02=2x02 .

b)

Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

MF2=2MF12x02=22+x023x02=2x0=23

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

x022+y021=1y02=1x022=12322=79y0=73y0=73

Vậy M23;73 hoặc M23;73 .

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF1F2, ta có

cosF1MF2^=MF12+MF22F1F222.MF1.MF2

=2+x022+2x022222.2+x02.2x02=x024x02

Ta có: x022=1y021   0 ≤ x02 ≤ 2 4 – x02 > 0.

Suy ra cosF1MF2^0F1MF2^90°

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x0 = 0 y0  = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.

Bài 7.37 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.

Sách bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lời giải:

Xét đường elip như hình vẽ:

Sách bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Theo đề bài: Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Nên ta có:

2a = 768 800 và 2b = 767 640

Do đó, a = 384 400 và b = 383 820.

Từ đó suy ra c=a2b2=3844002383820221108 .

Vì vậy,

Khoảng cách lớn nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là

a + c ≈ 384 400 + 21 108 = 405 508 (km)

Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là:

a – c ≈ 384 400 – 21 108 = 363 292 (km).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 7

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Ôn tập chương 8

1 1,264 26/12/2022
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: