Giải SBT Toán 10 trang 47 Tập 2 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 47 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.36 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ .

a) Tính MF₁² – MF₂²  theo x₀; y₀. Từ đó tính MF₁, MF₂, theo x₀; y₀.

b) Tìm điểm M sao cho MF₂ = 2MF₁.

c) Tìm M sao cho góc nhìn của M tới hai đểm F₁; F₂ (tức là góc $\widehat{F_{1}M{F}_2}$ ) là lớn nhất ?

Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có

b = 1, $a=\sqrt{2},c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{2-1}=1$.

(E) có hai tiêu điểm là F₁(–1; 0); F₂(1; 0).

a)

Ta có:

MF₁² = (x₀ + 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ + 1)² + y₀²

MF₂² = (x₀ – 1)² + (y₀ – 0)² = (x₀ – 1)² + y₀²

MF₁² – MF₂²  

= (x₀ + 1)² + y₀²  – [(x₀ – 1)² + y₀²]

= (x₀ + 1)²  – (x₀ – 1)²

= x₀²  + 2x₀ + 1 – (x₀²  – 2x₀ + 1)

= 4x₀.

Mặt khác, do M thuộc (E) nên ta có:

MF₁ + MF₂ = 2a = $2\sqrt{2}$  (1)  

Mà: (MF₁ – MF₂)(MF₁ + MF₂) = MF₁² – MF₂²  

 $\Rightarrow M{F}_1-M{F}_2=\frac{M{F}_1^2-M{F}_1^2}{M{F}_1+M{F}_2}=\frac{4x_0}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}{x}_0$ (2)

Cộng hai vế của (1) và (2) ta có:

2MF₁ = $2\sqrt{2}$  + $\sqrt{2}{x}_0$

⇔ MF₁ =  $\sqrt{2}$ +  $\frac{x_0}{\sqrt{2}}$

⇒ MF₂ = $2\sqrt{2}-\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}$ .

b)

Sử dụng kết quả của phần a) ta có:

$M{F}_2=2M{F}_1\iff \sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}=2\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)\iff \frac{3x_0}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\iff x_0=-\frac{2}{3}$

Mặt khác do M thuộc (E) nên ta có:

$\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{1}=1\iff y_0^2=1-\frac{x_0^2}{2}=1-\frac{{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2}{2}=\frac{7}{9}\iff \left[\begin{array}{c}{y}_0=\frac{\sqrt{7}}{3}\\ y_0=-\frac{\sqrt{7}}{3}\end{array}\right.$

Vậy $M\left(-\frac{2}{3};\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$ hoặc $M\left(-\frac{2}{3};-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)$ .

c)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác MF₁F₂, ta có

$\cos \widehat{F_{1}M{F}_2}=\frac{M{F}_1^2+M{F}_2^2-F_1{F}_2^2}{2.M{F}_1.M{F}_2}$

$=\frac{{\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}^2-2^2}{2.\left(\sqrt{2}+\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right).\left(\sqrt{2}-\frac{x_0}{\sqrt{2}}\right)}=\frac{x_0^2}{4-x_0^2}$

Ta có: $\frac{x_0^2}{2}=1-y_0^2\le 1$  ⇔ 0 ≤ x₀² ≤ 2 ⇒ 4 – x₀² > 0.

Suy ra $\cos \widehat{F_{1}M{F}_2}\ge 0\Rightarrow \widehat{F_{1}M{F}_2}\le 90°$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x₀ = 0 ⇒ y₀  = ±1

Vậy M(0; 1) hoặc M(0; –1) thì M nhìn hai tiêu điểm dưới góc nhìn lớn nhất.

Bài 7.37 trang 47 SBT Toán 10 Tập 2: Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng.

Lời giải:

Xét đường elip như hình vẽ:

Theo đề bài: Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là 768 800 km và 767 640 km. Nên ta có:

2a = 768 800 và 2b = 767 640

Do đó, a = 384 400 và b = 383 820.

Từ đó suy ra $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{{384400}^2-{383820}^2}\approx 21108$ .

Vì vậy,

Khoảng cách lớn nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là

a + c ≈ 384 400 + 21 108 = 405 508 (km)

Khoảng cách nhỏ nhất từ tâm của Trái Đất đến Mặt Trăng là:

a – c ≈ 384 400 – 21 108 = 363 292 (km).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác: 

Giải SBT Toán 10 trang 46 Tập 2