Sách bài tập Toán 10 Bài 9 (Kết nối tri thức): Tích của một vectơ với một số

Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 Bài 9.

1 2,373 25/12/2022
Tải về


Giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1

Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: 

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ AB,BC,CA theo hai vectơ AD BE 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên AB+AC=2AD 

+) E là trung điểm của AC nên AC=2AE 

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Vì AB+AC=2AD nên AC=2ADAB

Mà 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) BC=ACAB (quy tắc hiệu)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy AB=23AD23BE; BC=23AD+43BE CA=43AD23BE.

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau OA+OB,OAOB,OAOB,2OA3OB.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

OC = AB

Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)

AB2 = a2 + a2 = 2a2

OC=AB=a2 

+) Có: OA+OB=OC (quy tắc hình bình hành)

OA+OB=OC=OC=a2 

+) Có:

OAOB=OA+BO=BO+OA=BA 

OA+OB=OC=OC=a2

+) Lấy điểm D sao cho OD=2OB nên hai vectơ OD, OB cùng hướng và OD = 2OB.

Có: OA+2OB=OA+OD

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó OA+OD=OE

OA+2OB=OE=OE 

Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)

OE2 = (2OB)2 + OA2

OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2

OE=a5 

Do đó OA+2OB=a5

+) Lấy điểm G sao cho OG=2OA,OH=3OB 

Khi đó: hai vectơ OG, OA cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ OH, OB cùng hướng và OH = 3OB.

Có: 2OA3OB=OGOH

=OG+HO =HO+OG 

=HG

2OA3OB=HG=HG 

Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)

HG2 = (2OA)2 + (3OB)2

HG2 = (2a)2 + (3a)2

HG2 = 13a2

HG=a13 

Do đó 2OA3OB=a13.

Vậy OA+OB=a2; OAOB=a2; OA+2OB=a5 và  2OA3OB=a13.

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM. 

b) Chứng minh rằng OA+OB+OC=OH. 

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90° 

Hay BD AB, CD AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH AC, CH AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và AH=2.OM (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ AH OM có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: AH=2OM 

AH=2OM.

Vậy AH=2OM.

b) Vì M là trung điểm của BC nên OB+OC=2OM 

AH=2OM (câu a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy OA+OB+OC=OH.

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA+OB+OC=3OG.

OA+OB+OC=OH (câu b)

Suy ra OH=3OG 

Khi đó OH OG cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

OA+OB+OC+OD=4OI. 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Với điểm O bất kì ta có:

+) OA+OB=2OM (do M là trung điểm của AB)

+) OC+OD=2ON (do N là trung điểm của CD)

+) OM+ON=2OI (do I là trung điểm của MN)

OA+OB+OC+OD=2OM+2ON

=2OM+ON=2.2OI=4OI 

Vậy với điểm O bất kì đều có: OA+OB+OC+OD=4OI. 

Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AC và MN=12AC (tính chất đường trung bình)

Do đó MN=12AC                                                (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có: PQ=12CE         (2)

RS=12EA                                                       (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MN+PQ+RS=12AC+12CE+12EA

=12AC+CE+EA 

=12AE+EA (quy tắc ba điểm)

=12AA                 (quy tắc ba điểm)

=12.0=0

Do đó MN+PQ+RS=0

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: MG+PG+RG=0 NG'+QG'+SG'=0 hay G'N+G'Q+G'S=0

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

MN+PQ+RS=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=0+3.GG'+0

=3.GG'

+) Lại có MN+PQ+RS=0 (chứng minh trên)

Nên 3GG'=0

GG'=0

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên ABC^=ACB^=60°

Mà PQ // AB nên MQK^=ABC^=60°,

HK // AC nên MKQ^=ACB^=60°

Tam giác MQK có: MQK^=MKQ^=60° nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

MQ+MK=2MD               (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) MH+MI=2MF                 (2)

+) MP+MJ=2ME                 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MQ+MK+MH+MI+MP+MJ=2MD+2MF+2ME

2MD+MF+ME=MQ+MI+MK+MJ+MH+MP

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

MI+MQ=MB

Tương tự ta có MK+MJ=MC;MH+MP=MA

Khi đó

 Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên MB+MC+MA=3MO

MD+MF+ME=12.3MO=32MO.

Vậy MD+ME+MF=32MO.

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho MA+MB+2MC=0.

b) Xác định điểm N thoả mãn  4NA2NB+NC=0.

Lời giải:

a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: MA+MB=2MI 

MA+MB+2MC=2MI+2MC=2MI+MC

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: MI+MC=2MK

MA+MB+2MC=2.2MK=4MK.

MA+MB+2MC=0.

Do đó 4MK=0MK=0

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

b)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Giả sử P là điểm thỏa mãn PA+2.PH=0

Khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

4NA2NB+NC=0.

Nên 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AQ=23AB

NP=AQ

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn AQ=23AB và P thỏa mãn PA+2.PH=0, H là trung điểm của AC).

Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1

Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn KA+2KB+3KC=0.

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn MA+2MB+3MC=MBMC.

Lời giải:

a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó KA+KC=2KI KB+KC=2KH

KA+2KB+3KC=KA+KC+2KB+KC

=2KI+2.2KH=2KI+4KH

KA+2KB+3KC=0.

Nên 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Khi đó KI KH là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và KI=2KH

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn KA+2KB+3KC=0 như hình vẽ.

b)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Chứng minh tương tự câu a ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

2KI+4KH=0 (câu a)

Nên MA+2MB+3MC=6MK

Lại có: MBMC=CB

Do đó  MA+2MB+3MC=MBMC.

6MK=CB

6MK = CB

KM=BC6

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng BC6 như hình vẽ.

Bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực P của vật và lực đẩy Archimedes F mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Trọng lực P của vật và lực đẩy Archimedes F mà chất lỏng tác động lên vật được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật ở trạng thái cân bằng nên hai lực PF ngược hướng nhau và có cường độ bằng nhau.

P=F

Gọi d và d' là trọng lượng riêng của vật và chất lỏng;

V là thể tích của vật

Khi thả vật vào cốc chất lỏng thì ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng nên thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ là V2.

Khi đó trọng lượng của vật là: P = d.V

Và lực đẩy Archimedes mà chất lỏng tác động lên vật là: FA=d'.V2.

Do đó

P=Fd.V=d'.V2d=d'2dd'=12.  

Vậy tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng bằng 12

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài tập cuối chương 3

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

1 2,373 25/12/2022
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: