Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Lời giải:

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=60°$

Mà PQ // AB nên $\widehat{MQK}=\widehat{ABC}=60°,$

HK // AC nên $\widehat{MKQ}=\widehat{ACB}=60°$

Tam giác MQK có: $\widehat{MQK}=\widehat{MKQ}=60°$ nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

$\Rightarrow \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}=2\overrightarrow{MD}$               (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}=2\overrightarrow{MF}$                 (2)

+) $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{ME}$                 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MJ} \\ =2\overrightarrow{MD}+2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{ME} \end{gathered}$$

$\Rightarrow 2\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}\right)=\left(\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MI}\right)$$+\left(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}\right)+\left(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}\right)$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{MB}$

Tương tự ta có $\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MJ}=\overrightarrow{MC};\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MA}$

Khi đó

 

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MO}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}=\frac{1}{2}.3\overrightarrow{MO}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA...

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài...

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O...

Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD...

Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm...

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$..

Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm K thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$..

Bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng...