Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm K thoả mãn vecto KA+2KB+2KC=0

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|.$

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KI}$ và $\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=2\overrightarrow{KH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}$$=\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}\right)+2\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\right)$

$=2\overrightarrow{KI}+2.2\overrightarrow{KH}$$=2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}$

Mà $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}.$

Nên 

Khi đó $\overrightarrow{KI}$ và $\overrightarrow{KH}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và $\left|\overrightarrow{KI}\right|=2\left|\overrightarrow{KH}\right|$

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ như hình vẽ.

b)

Chứng minh tương tự câu a ta có:

Mà $2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{0}$ (câu a)

Nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{MK}$

Lại có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$

Do đó  $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{2MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|.$

$\iff \left|6\overrightarrow{MK}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|$

$\Rightarrow$ 6MK = CB

$\iff KM=\frac{BC}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{BC}{6}$ như hình vẽ.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA...

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài...

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O...

Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD...

Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm...

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác...

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. a) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$..

Bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng...