Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 10 trang 54.

1 387 09/12/2022


Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ AB,BC,CA theo hai vectơ AD BE 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên AB+AC=2AD 

+) E là trung điểm của AC nên AC=2AE 

Do đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Vì AB+AC=2AD nên AC=2ADAB

Mà 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) BC=ACAB (quy tắc hiệu)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy AB=23AD23BE; BC=23AD+43BE CA=43AD23BE.

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau OA+OB, OAOB, OAOB, 2OA3OB. 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

OC = AB

Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)

AB2 = a2 + a2 = 2a2

OC=AB=a2 

+) Có: OA+OB=OC (quy tắc hình bình hành)

OA+OB=OC=OC=a2 

+) Có:

OAOB=OA+BO=BO+OA=BA 

OA+OB=OC=OC=a2

+) Lấy điểm D sao cho OD=2OB nên hai vectơ OD, OB cùng hướng và OD = 2OB.

Có: OA+2OB=OA+OD

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó OA+OD=OE

OA+2OB=OE=OE 

Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)

OE2 = (2OB)2 + OA2

OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2

OE=a5 

Do đó OA+2OB=a5

+) Lấy điểm G sao cho OG=2OA,OH=3OB 

Khi đó: hai vectơ OG, OA cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ OH, OB cùng hướng và OH = 3OB.

Có: 2OA3OB=OGOH

=OG+HO =HO+OG 

=HG

2OA3OB=HG=HG 

Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)

HG2 = (2OA)2 + (3OB)2

HG2 = (2a)2 + (3a)2

HG2 = 13a2

HG=a13 

Do đó 2OA3OB=a13.

Vậy OA+OB=a2; OAOB=a2; OA+2OB=a5 2OA3OB=a13.

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM. 

b) Chứng minh rằng OA+OB+OC=OH. 

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90° 

Hay BD AB, CD AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH AC, CH AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và AH=2.OM (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ AH OM có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: AH=2OM 

AH=2OM.

Vậy AH=2OM.

b) Vì M là trung điểm của BC nên OB+OC=2OM 

AH=2OM (câu a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy OA+OB+OC=OH.

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA+OB+OC=3OG.

OA+OB+OC=OH (câu b)

Suy ra OH=3OG 

Khi đó OH OG cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

OA+OB+OC+OD=4OI. 

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Với điểm O bất kì ta có:

+) OA+OB=2OM (do M là trung điểm của AB)

+) OC+OD=2ON (do N là trung điểm của CD)

+) OM+ON=2OI (do I là trung điểm của MN)

OA+OB+OC+OD=2OM+2ON

=2OM+ON=2.2OI=4OI 

Vậy với điểm O bất kì đều có: OA+OB+OC+OD=4OI. 

Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AC và MN=12AC (tính chất đường trung bình)

Do đó MN=12AC                                                (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có: PQ=12CE         (2)

RS=12EA                                                       (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MN+PQ+RS=12AC+12CE+12EA

=12AC+CE+EA 

=12AE+EA (quy tắc ba điểm)

=12AA                 (quy tắc ba điểm)

=12.0=0

Do đó MN+PQ+RS=0

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: MG+PG+RG=0 NG'+QG'+SG'=0 hay G'N+G'Q+G'S=0

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

MN+PQ+RS=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=0+3.GG'+0

=3.GG'

+) Lại có MN+PQ+RS=0 (chứng minh trên)

Nên 3GG'=0

GG'=0

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên ABC^=ACB^=60°

Mà PQ // AB nên MQK^=ABC^=60°,

HK // AC nên MKQ^=ACB^=60°

Tam giác MQK có: MQK^=MKQ^=60° nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

MQ+MK=2MD               (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) MH+MI=2MF                 (2)

+) MP+MJ=2ME                 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MQ+MK+MH+MI+MP+MJ=2MD+2MF+2ME

2MD+MF+ME=MQ+MI+MK+MJ+MH+MP

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

MI+MQ=MB

Tương tự ta có MK+MJ=MC;MH+MP=MA

Khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên MB+MC+MA=3MO

MD+MF+ME=12.3MO=32MO.

Vậy MD+ME+MF=32MO.

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1:       

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho MA+MB+2MC=0.

b) Xác định điểm N thoả mãn 4NA2NB+NC=0.

Lời giải:

a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: MA+MB=2MI 

MA+MB+2MC=2MI+2MC=2MI+MC

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: MI+MC=2MK

MA+MB+2MC=2.2MK=4MK.

MA+MB+2MC=0.

Do đó 4MK=0MK=0

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

b)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có: 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Giả sử P là điểm thỏa mãn PA+2.PH=0

Khi đó 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

4NA2NB+NC=0.

Nên 

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AQ=23AB

NP=AQ

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn AQ=23AB và P thỏa mãn PA+2.PH=0, H là trung điểm của AC).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1

1 387 09/12/2022


Xem thêm các chương trình khác: