Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác – Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Định lí Côsin

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a² = b² + c² – 2bc.cosA.

b² = c² + a² – 2ca.cosB.

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB . AC . cos 60^o = 2² + 3² – 2.2.3. $\frac{1}{2}$ = 7.

Suy ra BC = $\sqrt{7}$ (cm)

Vậy BC = $\sqrt{7}$ cm.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{A}}=120°$, $\widehat{\mathrm{B}}=30°$, c = 10. Tính số đo góc C và a, b, R.

Hướng dẫn giải

Theo Định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}})=180°-(120°+30°)=30°$.

Áp dụng Định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$

$\iff \frac{\mathrm{a}}{\sin 120°}=\frac{\mathrm{b}}{\sin 30°}=\frac{10}{\sin 30°}=2\mathrm{R}$.

Suy ra:

$\mathrm{a}=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 120°=10\sqrt{3}$

$\mathrm{b}=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 30°=10$

$\mathrm{R}=\frac{10}{2\sin 30°}=10$.

Vậy a = $10\sqrt{3}$; b = 10; R = 10; $\widehat{\mathrm{C}}={30}^0$.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$, $\widehat{\mathrm{A}}=100°$.

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{B}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{C}})=180°-(100°+60°)=20°$.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}$

$\iff \frac{\mathrm{a}}{\sin 100°}=\frac{12}{\sin 20°}=\frac{\mathrm{c}}{\sin 60°}$

Suy ra:

$\mathrm{a}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 100°\approx 34,6$

$\mathrm{c}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 60°\approx 30,4$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{\mathrm{A}}=100°$, $\widehat{\mathrm{B}}=20°$, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4.

Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, $\widehat{\mathrm{BCA}}={37}^{\mathrm{o}}$. Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

⇒ $\frac{5}{\mathrm{sinA}}=\frac{12}{\sin {37}^0}$

⇒ sin A = $\frac{5.\sin {37}^{\mathrm{o}}}{12}\approx 0,2508$

⇒ $\widehat{\mathrm{A}}$ ≈ 14°31’

⇒ $\widehat{\mathrm{B}}$ ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

⇒ AC = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}\cdot \mathrm{sinB}$ = $\frac{12}{\sin 37°}\cdot \sin 128°29\text{'}$ ≈15,61 (m)

Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B =$\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Ví dụ:

a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và $\widehat{\mathrm{A}}={60}^{\mathrm{o}}$.

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b = 5 cm, c = 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:

S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$.14.35.sin 60° = $\frac{1}{2}$.14.35.$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{245\sqrt{3}}{2}$(cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là: $\frac{245\sqrt{3}}{2}$ cm².

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{4+5+3}{2}=\frac{12}{2}=6$ (cm).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là:

S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}=\sqrt{6.(6-4).(6-5).(6-3)}=\sqrt{36}=6$(cm²).

Mặt khác: S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$ ⇒ R = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{S}}$= $\frac{\mathrm{4.5.3}}{4.6}=\frac{5}{2}=2,5$(cm).

Ta có: S = pr ⇒ r = $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{p}}$ = $\frac{6}{6}$ = 1 (cm).

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm², bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1: Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, $\widehat{\mathrm{B}}=60°$. (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A và C làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

AC² = AB² + BC² – 2. AB. BC . cos B

= 15² + 35² – 2. 15. 35. cos 60° = 925.

Do đó AC = $\sqrt{925}$ ≈ 30,4.

Mặt khác:

BC² = AB² + AC² – 2. AB. AC . cos A

⇒ cos A = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2.\mathrm{AB}.\mathrm{AC}}$= $\frac{{15}^2+925-{35}^2}{\mathrm{2.15.}\sqrt{925}}\approx -0,08$.

⇒ $\widehat{\mathrm{A}}\approx 95°$

⇒ $\widehat{\mathrm{C}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}})\approx 180°-(95°+60°)=25°$

Vậy tam giác ABC có:

$\widehat{\mathrm{A}}\approx 95°$; $\widehat{\mathrm{B}}=60°$; $\widehat{\mathrm{C}}\approx 25°$.

AB = 15, AC ≈ 30,4; BC = 35.

Bài 2: Một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo bởi hai con đường là góc A bằng 120° và khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos A = 3² + 4² – 2. 3. 4 . cos 120° = 37.

⇒ BC = $\sqrt{37}$ ≈ 6,08 (km).

Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km.

Bài 3: Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12 cm, b = 15 cm , c = 23 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{12+15+23}{2}=\frac{50}{2}=25$ (cm).

Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có:

S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$

S =$\sqrt{25.(25-12).(25-15).(25-23)}=\sqrt{6500}\approx 80,62$ (cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là 80,62 cm².

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Tam giác ABC có $\mathrm{AC}=3\sqrt{3}$, AB = 3, BC = 6. Tính số

đo góc B

A. 60°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: $\mathrm{cosB}=\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{b}}^2}{2\mathrm{ac}}$

$\iff \mathrm{cosB}=\frac{{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\mathrm{AB}.\mathrm{BC}}=\frac{6^2+3^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.6.3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}=60°$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có a = 2, $\mathrm{b}=\sqrt{6}$, $\mathrm{c}=\sqrt{3}+1$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

A. $\sqrt{2}$;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$;

D. $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathrm{cosA}=\frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}}=\frac{{\sqrt{6}}^2+{(\sqrt{3}+1)}^2-2^2}{2.\sqrt{6}.(\sqrt{3}+1)}$$=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{A}}$ = 45°.

Do đó: $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{sinA}}$$=\frac{2}{2.\sin 45°}$$=$$\sqrt{2}$.

Bài 6. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5; 12; 13.

A. 60;

B. 30;

C. 34;

D. $7\sqrt{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: $\mathrm{p}=\frac{5+12+13}{2}=15$

Diện tích của tam giác là:

$\mathrm{S}=\sqrt{\mathrm{p}\left(\mathrm{p}-5\right)\left(\mathrm{p}-12\right)\left(\mathrm{p}-13\right)}=\sqrt{15\left(15-5\right)\left(15-12\right)\left(15-13\right)}=30$

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Câu 1. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5; 12; 13.

A. 60;

B. 30;

C. 34;

D. $7\sqrt{5}$

Câu 2. Tam giác ABC có $AC=3\sqrt{3}$, AB = 3, BC = 6. Tính số đo góc B

A. 60°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 120°.

Câu 3. Tam giác ABC có các góc $\widehat{A}=75°,\widehat{B}=45°$. Tính tỉ số $\frac{AB}{AC}$.

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

B. $\sqrt{6}$;

C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$;

D. $2\sqrt{6}$.

Câu 4. Tam giác ABC có các góc $\widehat{B}=30°,\widehat{C}=45°$, AB = 3. Tính cạnh AC.

A. $\frac{3\sqrt{6}}{2}$;

B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$;

C. $\sqrt{6}$;

D. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Câu 5. Tam giác ABC có tổng hai góc B và C bằng 135° và độ dài cạnh BC bằng a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

B. $a\sqrt{2}$;

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$;

D. $a\sqrt{3}$.

Câu 6. Tam giác ABC có A = 120° khẳng định nào sau đây đúng?

A. a² = b² + c² – 3bc;

B. a² = b² + c² + bc;

C. a² = b² + c² + 3bc;

D. a² = b² + c² – bc.

Câu 7. Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây sai?

A. $a=\frac{b.\sin A}{\sin B}$;

B. $\sin C=\frac{c.\sin A}{a}$;

C. a = 2R.sinA;

D. b = R.tanB.

Câu 8. Tính diện tích tam giác ABC biết A = 60°; b = 10; c = 20.

A. $50\sqrt{3}$;

B. 50;

C. $50\sqrt{2}$;

D. $50\sqrt{5}$.

Câu 9. Cho tam giác ABC có a = 2, $b=\sqrt{6}$, $c=\sqrt{3}+1$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

A. $\sqrt{2}$;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$;

D. $\sqrt{3}$

Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm; BC = 10 cm. Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng

A. 1 cm;

B. $\sqrt{2}$ cm;

C. 2 cm;

D. 3 cm.

Câu 11. Hình bình hành ABCD có AB = a; $BC=a\sqrt{2}$ và $\widehat{BAD}=45°$. Khi đó hình bình hành có diện tích bằng

A. 2a²;

B. $a^2\sqrt{2}$;

C. a²;

D. $a^2\sqrt{3}$.

Câu 12. Tính góc C của tam giác ABC biết a ≠ b và a(a² – c²) = b(b² – c²).

A. C = 150°;

B. C = 120°;

C. C = 60°;

D. C = 30°.

Câu 13. Tam giác ABC có các cạnh a; b; c thỏa mãn điều kiện:

(a + b + c)(a + b – c) = 3ab. Khi đó số đo của góc C là.

A. 120⁰;

B. 30⁰;

C. 45⁰;

D. 60⁰.

Câu 14. Tam giác ABC có AB = 7; AC = 5 và $\cos \left(B+C\right)=-\frac{1}{5}$. Tính BC

A. $2\sqrt{15}$;

B. $4\sqrt{22}$;

C. $4\sqrt{15}$;

D. $2\sqrt{22}$.

Câu 15. Hình bình hành có hai cạnh là 3 và 5, một đường chéo bằng 5. Tìm độ dài đường chéo còn lại.

A. $\sqrt{43}$;

B. $2\sqrt{13}$;

C. 8;

D. $8\sqrt{3}$.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho tam giác ABC có $b=7\text{cm},c=5\text{cm},\hat{A}=120°$.

a) $a=\sqrt{127}\text{cm}$.

b) $\cos B\approx 0,21$.

c) $\cos C\approx 0,91$.

d) $R\approx 6,03\text{cm}$.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Hai bạn An và Bình cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc $40°$để đến đích là điểm D với $\widehat{PAD}=100°$. Biết rằng An và Bình dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ).

Hỏi bạn Bình phải đi bao xa nữa để đến được đích (số làm tròn đến hàng phần trăm; góc làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 2. Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng $N80°E$ với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng $E80°S$ giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà (tham khảo hình vẽ). Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Giáo án điện tử Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Giáo án Hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Giải Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Giải sbt Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác