Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai - Toán 10 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ ta thực hiện như sau:

- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

- Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$ , ta được:

x² – 7x = –x² – 8x + 3

⇒ 2x² + x – 3 = 0.

Giải phương trình 2x² + x – 3 = 0 ta được x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ .

Thay lần lượt x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ vào ta thấy chỉ có giá trị x₂ = $-\frac{3}{2}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $-\frac{3}{2}$.

2. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ 

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ , ta thực hiện như sau:

- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

- Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$

Bình phương hai vế của phương trình , ta được:

4x² + x – 1 = (–x + 1)²

⇒ 4x² + x – 1 = x² – 2x + 1

⇒ 3x² + 3x – 2 = 0.

Giải phương trình 3x² + 3x – 2 = 0 ta được $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$

Thay lần lượt $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ vào $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$ ta thấy cả hai giá trị $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$

B. Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Nghiệm của phương trình $\sqrt{5x^2-6x-4}$ = 2(x - 1) là:

A. x = – 4;

B. x = 2;

C. x = 1;

D. $\left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=2\end{array}\right.$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của phương trình 5x² – 6x – 4 ≥ 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x\le \frac{3-\sqrt{29}}{5}\\ x\ge \frac{3+\sqrt{29}}{5}\end{array}\right.$

$\sqrt{5x^2-6x-4}$ = 2(x - 1) ⇔ $\left\{\begin{array}{l}2\left(x-1\right)\ge 0\\ 5x^2-6x-4=4{\left(x-1\right)}^2\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x^2+2x-8=0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-4\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ x = 2.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Câu 2. Nghiệm của phương trình $\sqrt{3x+13}$ = x + 3 là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=1\end{array}\right.$;

B. x = - 4;

C. $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-1\end{array}\right.$;

D. x = 1.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

$\sqrt{3x+13}$ = x + 3

⇒ 3x + 13 = x² + 6x + 9

⇒ x² + 3x – 4 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = -4.

Thay hai giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho nghiệm là x = 1.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2+5}$ = x² - 1 là:

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Điều kiện của phương trình x² + 5 ≥ 0 với ∀ x ∈ ℝ

$\sqrt{x^2+5}$ = x² - 1 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1\ge 0\\ x^2+5={\left(x^2-1\right)}^2\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ x^4-3x^2-4=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}{x}^2=-1\left(VL\right)\\ x^2=4\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\end{array}\right.\end{array}\right.$⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=2\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Câu 4. Phương trình: $\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}$ = $\sqrt{2x^2+2x+9}$ có tích các nghiệm là:

A. P = 1;

B. P = – 1;

C. P = 0;

D. P = 2.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là C

Tập xác định D = ℝ, đặt t = x² + x + 1 (t ≥ 0).

Phương trình đã cho trở thành $\sqrt{t+3}+\sqrt{t}=\sqrt{2t+7}$ ⇔ 2t + 3 + 2$\sqrt{t\left(t+3\right)}$ = 2t + 7

⇔ $\sqrt{t\left(t+3\right)}$ = 2

⇔ t(t + 3) = 4

⇔ t² + 3t – 4 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-4\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện thấy t = 1 thỏa mãn.

Với t = 1 ta có x² + x + 1 = 1 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}\right.$.

Thay lần lượt các giá trị x = 0 và x = -1 vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tích các nghiệm của phương trình (-1).0 = 0.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3-x+x^2}$ - $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1 là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}3-x+x^2\ge 0\\ 2+x-x^2\ge 0\end{array}\right.$⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Ta có $\sqrt{3-x+x^2}$ - $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1

⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 2\\ 3-x+x^2=1+2+x-x^2+2\sqrt{2+x-x^2}\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}-1\le x\le 2\\ 2+x-x^2+\sqrt{2+x-x^2}-2=0\left(1\right)\end{array}\right.$.

Đặt $\sqrt{2+x-x^2}$ = t(t ≥ 0)

Từ (1) ta có phương trình t² + t – 2 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện t = 1 thỏa mãn

Với t = 1 ta có $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1 => x² - x - 1= 0 ⇔ x = $\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các phương trình sau :

a) $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$

b) $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ , ta được:

x² + x + 2 = x² – x + 1

⇒ 2x = – 1

⇒ x = $-\frac{1}{2}$

Thay x = $-\frac{1}{2}$ vào phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ có nghiệm là x = $-\frac{1}{2}$ .

b) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ , ta được:

x² – 2x = –3x² – x + 1

⇒ 4x² – x – 1 = 0

Phương trình 4x² – x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$ .

Thay lần lượt $x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$vào phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ ta thấy chỉ có $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ có nghiệm là $x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$

b) .$\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5$

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ , ta được:

4x² + 3x + 1 = 4x² – 4x + 1

⇒ 7x = 0

⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ có nghiệm là x = 0.

b) Ta có $\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5\iff \sqrt{-x^2+2x+33}=5$

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}=5$ , ta được:

– x² + 2x + 33 = 25

⇒ – x² + 2x + 8 = 0

Phương trình –x² + 2x + 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –2 và x₂ = 4.

Thay lần lượt x₁ = –2 và x₂ = 4 vào phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}=5$ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5$ có hai nghiệm là x₁ = –2 và x₂ = 4.

Bài 3: Nhà của An, Minh, Quân và Long lần lượt nằm trên các vị trí A, B, C, D như hình vẽ sau. Biết nhà An cách nhà Minh 2 km, nhà Minh cách nhà Quân 1 km. Biết khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ nhà Long đến nhà An. Tính khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh.

Hướng dẫn giải

Gọi khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh là x (km), tức là DB = x km.

Nhà An cách nhà Minh 2 km nên AB = 2 km.

Nhà Minh cách nhà Quân 1 km nên BC = 1 km.

- Áp dụng định lí Côsin cho tam giác DBC ta có :

DC² = DB² + BC² – 2.DB.BC.cos$\widehat{DBC}$ = x² + 1² – 2.x.1.cos60° = x² – x + 1

⇒ DC = $\sqrt{x^2-x+1}$ .

Suy ra khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân là $\sqrt{x^2-x+1}$ (km)

Ta có $\widehat{DBA}+\widehat{DBC}={180}^o$(hai góc kề bù)

Suy ra : $\widehat{DBA}={180}^o-\widehat{DBC}={180}^o-{60}^o={120}^o$.

- Áp dụng định lí Côsin cho tam giác DBA ta có :

AD² = DB² + AB² – 2.DB.AB.cos$\widehat{DBA}$ = x² + 2² – 2.x.2.cos120° = x² + 2x + 4

⇒ AD = $\sqrt{x^2+2x+4}$.

Suy ra khoảng cách từ nhà Long đến nhà An là $\sqrt{x^2+2x+4}$ (km)

Do khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ nhà Long đến nhà An nên ta có phương trình: $\sqrt{x^2-x+1}$ =$\frac{2}{3}$.$\sqrt{x^2+2x+4}$

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$=$\frac{2}{3}$ .$\sqrt{x^2+2x+4}$ ta được:

x² – x + 1 = $\frac{4}{9}$(x² + 2x + 4)

⇒ x² – x + 1 = $\frac{4}{9}$x² + $\frac{8}{9}$x + $\frac{16}{9}$

⇒ $\frac{5}{9}$x² – $\frac{17}{9}$x – $\frac{7}{9}$ = 0.

Giải phương trình$\frac{5}{9}$ x² –$\frac{17}{9}$ x – $\frac{7}{9}$ = 0 ta được x₁ ≈ 3,8 và x₂ ≈ – 0,4.

Vì x là khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh nên x > 0, do đó x₂ ≈ – 0,4 không thỏa mãn.

Thay x₁ ≈ 3,8 vào phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$ = $\frac{2}{3}$. $\sqrt{x^2+2x+4}$ta thấy giá trị x₁ ≈ 3,8 thỏa mãn.

Do đó phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$ = $\frac{2}{3}$.$\sqrt{x^2+2x+4}$ có nghiệm là x ≈ 3,8.

Vậy khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh khoảng 3,8 km.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tổng hợp lý thuyết Chương 6

Lý thuyết Bài 19: Phương trình đường thẳng

Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Lý thuyết Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 22: Ba đường conic