Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\sqrt{d{x}^2+ex+f}$ ta thực hiện như sau:

- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

- Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-7x}=\sqrt{-x^2-8x+3}$ , ta được:

x² – 7x = –x² – 8x + 3

⇒ 2x² + x – 3 = 0.

Giải phương trình 2x² + x – 3 = 0 ta được x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ .

Thay lần lượt x₁ = 1 và x₂ = $-\frac{3}{2}$ vào ta thấy chỉ có giá trị x₂ = $-\frac{3}{2}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $-\frac{3}{2}$.

2. Phương trình dạng $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$

Để giải phương trình $\sqrt{a{x}^2+bx+c}=dx+e$ , ta thực hiện như sau:

- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được;

- Thử lại các giá trị tìm được ở trên có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$

Bình phương hai vế của phương trình , ta được:

4x² + x – 1 = (–x + 1)²

⇒ 4x² + x – 1 = x² – 2x + 1

⇒ 3x² + 3x – 2 = 0.

Giải phương trình 3x² + 3x – 2 = 0 ta được $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$

Thay lần lượt $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ vào $\sqrt{4x^2+x-1}=-x+1$ ta thấy cả hai giá trị $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$ đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{33}}{6}$

B. Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Nghiệm của phương trình $\sqrt{5x^2-6x-4}$ = 2(x - 1) là:

A. x = – 4;

B. x = 2;

C. x = 1;

D. $\left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=2\end{array}\right.$.

Câu 2. Nghiệm của phương trình $\sqrt{3x+13}$ = x + 3 là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=1\end{array}\right.$;

B. x = - 4;

C. $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-1\end{array}\right.$;

D. x = 1.

Câu 3. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2+5}$ = x² - 1 là:

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. 4.

Câu 4. Phương trình: $\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}$ = $\sqrt{2x^2+2x+9}$ có tích các nghiệm là:

A. P = 1;

B. P = – 1;

C. P = 0;

D. P = 2.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3-x+x^2}$ - $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1 là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Giải các phương trình sau :

a) $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$

b) $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ , ta được:

x² + x + 2 = x² – x + 1

⇒ 2x = – 1

⇒ x = $-\frac{1}{2}$

Thay x = $-\frac{1}{2}$ vào phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{x^2+x+2}=\sqrt{x^2-x+1}$ có nghiệm là x = $-\frac{1}{2}$ .

b) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ , ta được:

x² – 2x = –3x² – x + 1

⇒ 4x² – x – 1 = 0

Phương trình 4x² – x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt là

$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$ .

Thay lần lượt $x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{8}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$vào phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ ta thấy chỉ có $x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{x^2-2x}=\sqrt{-3x^2-x+1}$ có nghiệm là $x=\frac{1-\sqrt{17}}{8}$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$

b) .$\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5$

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ , ta được:

4x² + 3x + 1 = 4x² – 4x + 1

⇒ 7x = 0

⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{4x^2+3x+1}=-2x+1$ có nghiệm là x = 0.

b) Ta có $\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5\iff \sqrt{-x^2+2x+33}=5$

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}=5$ , ta được:

– x² + 2x + 33 = 25

⇒ – x² + 2x + 8 = 0

Phương trình –x² + 2x + 8 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –2 và x₂ = 4.

Thay lần lượt x₁ = –2 và x₂ = 4 vào phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}=5$ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình $\sqrt{-x^2+2x+33}-x=-x+5$ có hai nghiệm là x₁ = –2 và x₂ = 4.

Bài 3: Nhà của An, Minh, Quân và Long lần lượt nằm trên các vị trí A, B, C, D như hình vẽ sau. Biết nhà An cách nhà Minh 2 km, nhà Minh cách nhà Quân 1 km. Biết khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ nhà Long đến nhà An. Tính khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh.

Hướng dẫn giải

Gọi khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh là x (km), tức là DB = x km.

Nhà An cách nhà Minh 2 km nên AB = 2 km.

Nhà Minh cách nhà Quân 1 km nên BC = 1 km.

- Áp dụng định lí Côsin cho tam giác DBC ta có :

DC² = DB² + BC² – 2.DB.BC.cos$\widehat{DBC}$ = x² + 1² – 2.x.1.cos60° = x² – x + 1

⇒ DC = $\sqrt{x^2-x+1}$ .

Suy ra khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân là $\sqrt{x^2-x+1}$ (km)

Ta có $\widehat{DBA}+\widehat{DBC}={180}^o$(hai góc kề bù)

Suy ra : $\widehat{DBA}={180}^o-\widehat{DBC}={180}^o-{60}^o={120}^o$.

- Áp dụng định lí Côsin cho tam giác DBA ta có :

AD² = DB² + AB² – 2.DB.AB.cos$\widehat{DBA}$ = x² + 2² – 2.x.2.cos120° = x² + 2x + 4

⇒ AD = $\sqrt{x^2+2x+4}$.

Suy ra khoảng cách từ nhà Long đến nhà An là $\sqrt{x^2+2x+4}$ (km)

Do khoảng cách từ nhà Long đến nhà Quân bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ nhà Long đến nhà An nên ta có phương trình: $\sqrt{x^2-x+1}$ =$\frac{2}{3}$.$\sqrt{x^2+2x+4}$

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$=$\frac{2}{3}$ .$\sqrt{x^2+2x+4}$ ta được:

x² – x + 1 = $\frac{4}{9}$(x² + 2x + 4)

⇒ x² – x + 1 = $\frac{4}{9}$x² + $\frac{8}{9}$x + $\frac{16}{9}$

⇒ $\frac{5}{9}$x² – $\frac{17}{9}$x – $\frac{7}{9}$ = 0.

Giải phương trình$\frac{5}{9}$ x² –$\frac{17}{9}$ x – $\frac{7}{9}$ = 0 ta được x₁ ≈ 3,8 và x₂ ≈ – 0,4.

Vì x là khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh nên x > 0, do đó x₂ ≈ – 0,4 không thỏa mãn.

Thay x₁ ≈ 3,8 vào phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$ = $\frac{2}{3}$. $\sqrt{x^2+2x+4}$ta thấy giá trị x₁ ≈ 3,8 thỏa mãn.

Do đó phương trình $\sqrt{x^2-x+1}$ = $\frac{2}{3}$.$\sqrt{x^2+2x+4}$ có nghiệm là x ≈ 3,8.

Vậy khoảng cách từ nhà Long đến nhà Minh khoảng 3,8 km.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Câu 1. Phương trình: $\sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}$ = $\sqrt{2x^2+2x+9}$ có tích các nghiệm là:

A. P = 1;

B. P = – 1;

C. P = 0;

D. P = 2.

Câu 2. Nghiệm của phương trình $\sqrt{5x^2-6x-4}$ = 2(x - 1) là:

A. x = – 4;

B. x = 2;

C. x = 1;

D. $\left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=2\end{array}\right.$.

Câu 3. Nghiệm của phương trình $\sqrt{3x+13}$ = x + 3 là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=-4\\ x=1\end{array}\right.$;

B. x = - 4;

C. $\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-1\end{array}\right.$;

D. x = 1.

Câu 4. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2+5}$ = x² - 1 là:

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. 4.

Câu 5. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3-x+x^2}$ - $\sqrt{2+x-x^2}$ = 1 là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Câu 6. Nghiệm của phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{4x+13}$ = $\sqrt{3x+12}$ là:

A. x = 1;

B. x = – 1;

C. x = 4;

D. x = – 4.

Câu 7. Nghiệm của phương trình $\sqrt{8-x^2}=\sqrt{x+2}$ là

A. x = – 3;

B. x = – 2;

C. x = 2;

D. $\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}\right.$.

Câu 8. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-4x-12}$ = x - 4 là:

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. 3.

Câu 9. Nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2-6x-4}$ = x - 2 là:

A. $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=4\end{array}\right.$;

B. x = 2;

C. x = – 2;

D. x = 4.

Câu 10. Nghiệm của phương trình $\sqrt{2x+7}$ = x - 4 thuộc khoảng nào dưới đây:

A. (0; 2);

B. (9; 10);

C. [7; 9];

D. (-1; 1].

Câu 11. Gọi k là số nghiệm âm của phương trình: $\sqrt{-x^2+6x-5}$ = 8 - 2x. Khi đó k bằng:

A. k = 0;

B. k = 1;

C. k = 2;

D. k = 3.

Câu 12. Tổng các nghiệm của phương trình (x - 2)$\sqrt{2x+7}$ = x² - 4 bằng:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Câu 13. Số nghiệm của phương trình: $\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}$ = 2 là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Câu 14. Số nghiệm của phương trình 4$\sqrt{x^2-6x+6}$ = x² - 6x + 9 là:

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Câu 15. Tích các nghiệm của phương trình (x + 4)(x + 1) - 3$\sqrt{x^2+5x+2}$ = 6 là:

A. – 5;

B. – 9;

C. – 14;

D. – 4;

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho phương trình $\sqrt{5x^2-8x+2}=\sqrt{x^2+2}$ (*).

a) $x^2+2>0$ đúng $\forall x\in ℝ$.

b) Bình phương hai vế của phương trình (*) ta được $4x^2-3x=0$.

c) Phương trình (*) có 2 nghiệm.

d) Tổng các nghiệm của phương trình (*) bằng 0.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí $A$, cách cửa hang của mình tại vị trí $B$ là $370m$ để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí $C$ cách vị trí $A$ một khoảng $120m$ để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí $C$ như mọi ngày mà chạy đến vị trí $D$ để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí $A$ đến vị trí $D$ rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn $AD$ chú thỏ chạy với vận tốc là $13\text{m/s}$, trên đoạn $BD$ chú thỏ chạy với vận tốc là $15\text{m/s}$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí $C$ và $D$ (đơn vị: mét).

Câu 2. Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ $BC$ có chiều dài bằng $4m$, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài $\frac{CE}{BD}=\frac{5}{3}$. Hỏi vị trí $A$ cách vị trí $B$ bao nhiêu mét?

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tổng hợp lý thuyết Chương 6

Lý thuyết Bài 19: Phương trình đường thẳng

Lý thuyết Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Lý thuyết Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 22: Ba đường conic

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10

Giáo án điện tử Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10

Giáo án Phương trình quy về phương trình bậc hai lớp 10

Giải Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Giải sbt Toán 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai