Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là P_n, được tính bằng công thức

P_n = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : P_n = n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

Ví dụ : Từ 3 chữ số 1, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.

Do đó ta có số các số thỏa mãn là: P₃ = 3! = 3.2.1 = 6 (số).

Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 1, 6, 9.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:

$A_n^k$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$(1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy P_n = $A_n^n$

Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.

Ta có : $A_8^2=\frac{8!}{(8-2)!}=56$

Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ : Một tổ có 10 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 5 bạn đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 5 bạn trong 10 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 5 của 10.

Ta có $C_{10}^5=\frac{10!}{(10-5)!5!}=252$

Vậy có 252 cách chọn 5 trong 10 bạn đi trực nhật.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính P_n, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

Ví dụ : Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bác An đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bác An có bao nhiêu cách tạo mật mã ?

Hướng dẫn giải

Các chữ số có một chữ số để tạo mật mã là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Vì mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau nên mỗi mật mã là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Ta có $A_{10}^6=\frac{10!}{(10-6)!}=151200$

Vậy có 151 200 cách để bác An tạo mật mã cửa.

5. Sử dụng máy tính cầm tay

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Hoán vị

Để tính n!, ta ấn phím theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím, sau đó ấn phím. Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ : Tính 9!

Ta ấn liên tiếp các phím như sau

Dòng kết quả hiện ra 362 880.

Vậy 9! = 362 880.

Chỉnh hợp

Để tính $A_n^k$ ta ấn theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phímấn số k, sau đó ấn phím. Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính $A_{15}^2$

Ta ấn các phím theo trình tự sau :

Dòng kết quả hiện ra 210.

Vậy $A_{15}^2$ = 210.

Tổ hợp

Để tính <$C_n^k$ ta ấn phím theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím, ấn số k, sau đó ấn phím. Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính $C_{20}^5$

Ta ấn các phím theo trình tự sau :

Dòng kết quả hiện ra 15 504.

Vậy $C_{20}^5$= 15 504.

B. Bài tập Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Giá trị 6! là:

A. 6;

B. 30;

C. 48;

D. 720.

Câu 2. Một tổ gồm 3 học sinh nữ và 7 học sinh nam. Số cách để sắp xếp số học sinh trong tổ thành một hàng dọc là:

A. 3! + 7!;

B. 10!;

C. 3!.7!;

D. 21.

Câu 3. Với k và n là hai số nguyên dương tuỳ ý thoả mãn 0 ≤ k ≤ n. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ;

B. $C_n^k=\frac{n!}{k!}$ ;

C. $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ ;

D. $C_n^k=\frac{k!(n-k)!}{n!}$ .

Câu 4. Một hoán vị của tập hợp gồm n phần tử là:

A. một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1);

B. một cách sắp xếp có thứ tự n – 1 phần tử (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1);

C. một cách sắp xếp có thứ tự k (k < n) phần tử (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1);

D. một cách sắp xếp có thứ tự n + 1 phần tử (với n là một số tự nhiên và n ≥ 1).

Câu 5. Điểm giống và khác giữa chỉnh hợp và tổ hợp là:

A. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn tất cả các phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là chỉnh hợp là chọn sắp thứ tự, tổ hợp là chọn không sắp thứ tự;

B. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn một số phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là chỉnh hợp là chọn sắp thứ tự, tổ hợp là chọn không sắp thứ tự;

C. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn tất cả các phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là tổ hợp là chọn sắp thứ tự, chỉnh hợp là chọn không sắp thứ tự;

D. Chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn một số phần tử trong tập hợp, còn điểm khác nhau là tổ hợp là chọn sắp thứ tự, chỉnh hợp là chọn không sắp thứ tự;

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Giáo viên muốn xếp 4 học sinh ngồi cùng một bàn có bốn chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bốn học sinh đó vào vị trí chỗ ngồi?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ là một hoán vị của bốn học sinh đó.

Do vậy ta có P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp.

Vậy có 24 cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ ngồi.

Bài 2: Một nhóm gồm 22 học sinh, giáo viên muốn lấy ra một đội gồm 8 bạn tham gia chơi trò chơi dân gian. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách để chọn?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh là một tổ hợp chập 8 của 22 học sinh.

Ta có: $C_{22}^8=\frac{22!}{(22-8)!8!}=319\text{770}$

Vậy có 319 770 cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh để tham gia chơi trò chơi.

Bài 3: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số sau: 9, 5, 4, 8, 3.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy ba trong năm chữ số sau đó sắp xếp chúng thành số có ba chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số.

Ta có: $A_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=60$

Vậy có 60 số có ba chữ số khác nhau mà các chữ số đó lấy từ năm chữ số : 9, 5, 4, 8, 3.

Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay hãy tính:

a) P₇;

b) <$A_{21}^6$

c) <$C_9^3$

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được các kết quả sau:

a) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 5 040.

Vậy P₇ = 5 040.

b) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 39 070 080.

Vậy $A_{21}^6=39070080$

c) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 84.

Vậy $C_9^3=84$

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Câu 1. Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. 60

B. 8

C. 15

D. 5³

Câu 2. Có bao nhiêu cách xếp 5 người thành một hàng dọc

A. 120;

B. 5;

C. 20;

D. 25.

Câu 3. Tên 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Có bao nhiêu cách chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch

A. 4!;

B. 15!;

C. 1365;

D. 32760.

Câu 4. Một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh được chọn từ một nhóm 5 giáo viên và 6 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 200;

B. 150;

C. 160;

D. 180.

Câu 5. Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau

A. 45;

B. 90;

C. 35;

D. 55.

Câu 6. Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có bạn An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực nhật trong đó phải có An

A. 990;

B. 495;

C. 220;

D. 165.

Câu 7. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu A và F đứng đầu và cuối hàng

A. 720;

B. 48;

C. 24;

D. 240.

Câu 8. Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho 3 bạn nam ngồi cạnh nhau?

A. 72

B. 144

C. 288

D. 24

Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài sao cho sách Văn phải xếp kề nhau và sách Toán xếp kề nhau?

A. 5!.7!

B. 2.5!.7!

C. 5!.8!

D. 12!

Câu 10. Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 11. Nếu $A_n^2=110$ Giá trị của n là

A. n = 11;

B. n = 10;

C. n = 10 hoặc n = 11;

D. n = 0.

Câu 12. Cho số tự nhiên n thỏa mãn $3C_{n+1}^3-3A_n^2=52\left(n-1\right)$. Giá trị của n là

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

Câu 13. Lớp 10A có 41 học sinh trong đó có 21 bạn nam và 20 bạn nữ. Thứ 2 đầu tuần lớp phải xếp hàng chào cờ thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 21 bạn nam xen kẽ với 20 bạn nữ?

A. P₄₁ ;

B. P₂₀.P_21;

C. 2.P₂₀.P_21;

D. P₂₀ + P₂₁.

Câu 14. Sau bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Có tất cả 66 lượt bắt tay. Hỏi trong phòng có bao nhiêu người:

A. 11;

B. 12;

C. 33;

D. 66.

Câu 15. Biết rằng $A_n^2-C_{n+1}^{n-1}=4n+6$ (n $\in$ℕ, n ≥ 2). Giá trị của n là

A. n = 10

B. n = 11

C. n = 12

D. n = 13

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Câu hỏi. Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người hát tốp ca.

a) Số cách chọn được 3 nam và 1 nữ là 10.

b) Có 715 cách chọn 4 người hát tốp ca.

c) Có 70 cách chọn 4 người có số nữ nhiều hơn số nam.

d) Có 53 cách chọn 4 người có số nữ bằng số nam.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Bạn Hà có 5 viên bi màu xanh và 7 viên bi màu đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng hai bi cùng màu?

Câu 2.Cho đa giác đều n đỉnh và $n\ge 3$. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 23: Quy tắc đếm

Lý thuyết Bài 25: Nhị thức Newton

Lý thuyết Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Lý thuyết Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Tổng hợp lý thuyết Chương 9

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp lớp 10

Giáo án điện tử Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10

Giáo án Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp lớp 10

Giải Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Giải sbt Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp