Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ lớp 10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

- Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi

(x – a)² + (y – b)² = R² (1)

Ta gọi (1) là phương trình đường tròn (C).

Nhận xét:

- Phương trình (1) tương đương với: x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

- Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Ví dụ:

a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1.

b) Cho phương trình đường tròn x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn này.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1 là:

(x – 2)² + (y + 1)² = 1 .

b) Từ phương trình x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0

⇔ x² + y² – 2.( –1).x – 2.( –2).y + (– 5) = 0

Khi đó a = –1 và b = –2, c = – 5.

Suy ra tâm của đường tròn này là I(–1; –2) và bán kính của đường tròn là:

$R=\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2-(-5)}=\sqrt{10}$

Vậy tâm của đường tròn này là: I(–1; –2) và bán kính R= $\sqrt{10}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn (C): (x – a)² + (y – b)² = R² (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại M(x₀; y₀) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=(a-x_0;b-y_0)$ và phương trình:

(a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y + 2)² = 10 và điểm M(0; 1) thuộc đường tròn (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 10 suy ra tâm của (C) là I(1; –2).

Tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với MI.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=(1-0;-2-1)=(1;-3)$ , nên ta có phương trình:

1(x – 0) + (–2)(y – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) là x – 2y + 2 = 0.

B. Bài tập Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho đường tròn (C) : (x + 1)² + (y − $\sqrt{2}$)² = 8. Tâm I của đường tròn là:

A. I(−1; $\sqrt{2}$);

B. I(1; − $\sqrt{2}$);

C. I(1; $\sqrt{2}$);

D. . I(−1; − $\sqrt{2}$);.

Câu 2. Cho đường tròn (C): x² + y² = 9. Bán kính R của đường tròn là:

A. R = 9;

B. R = 81;

C. R = 6 ;

D. R = 3.

Câu 3. Đường tròn (C): x² + y² – 6x + 2y + 6 = 0 có tâm I và bán kính R lần lượt là:

A. I(3; −1) và R = 4;

B. I(3; 1) và R = 4;

C. I(3; −1) và R = 2;

D. I(-6; 2) và R = 2.

Câu 4. Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi

A. a² + b² > 0;

B. a² + b² − c = 0;

C. a² + b² − c < 0;

D. a² + b² − c > 0.

Câu 5. Phương trình đường tròn tâm I(3; −5) , bán kính R = 2 là:

A. x² + y² + 3x – 5y + 2 = 0;

B. x² + y² + 6x – 10y + 30 = 0;

C. x² + y² – 6x + 10y – 4 = 0;

D. x² + y² – 6x + 10y + 30 = 0.

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho hai điểm A(3; –4 ); B(–3; 4).Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3-3;4-(-4\left)\right)=(-6;8)$ ⇒ AB = $\left(\overrightarrow{AB}\right)$ = $\sqrt{{(-6)}^2+8^2}=10$

Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó tọa độ của điểm M thỏa mãn: $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+(-3)}{2}=0\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-4+4}{2}=0\end{array}\right)$ ⇒ M(0; 0).

Do đường tròn (C) có đường kính là AB nên điểm M chính là tâm của đường tròn và bán kính đường tròn $R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5$

Phương trình đường tròn (C) là: (x – 0)² + (y – 0)² = 5² ⇔ x² + y² = 25.

Vậy đường tròn (C) có phương trình là x² + y² = 25.

Bài 2: Cho phương trình là x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0. Phương trình này có phải là phương trình đường tròn hay không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có : x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 ⇔ x² + y² –2.( –3)x –2.( –4)y + 7 = 0.

Suy ra a = –3 ; b = –4 ; c = 7.

Vì a² + b² – c = (–3)² + (–4)² – 7 = 18 > 0 nên x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 là phương trình của một đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm I(–3; –4) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Vậy, phương trình x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(–3; –4) và bán kính R = $3\sqrt{2}$

Bài 3: Một vận động viên ném đĩa vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình là: x² + y² = $\frac{100}{81}$ .

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm A( $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$ ) thì buông đĩa. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn (C): x² + y² = $\frac{100}{81}$ suy ra tâm của (C) là O(0; 0).

Tiếp tuyến của (C) tại A( $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$ ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với OA.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A($\frac{6}{9}$ ; $\frac{8}{9}$ ) có vectơ pháp tuyến , nên có phương trình:

$\frac{6}{9}$(x –$\frac{6}{9}$ ) +$\frac{8}{9}$ (y –$\frac{8}{9}$ ) = 0 ⇔ 3x + 4y – $\frac{50}{9}$ = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại A( $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$ ) là 3x + 4y – $\frac{50}{9}$ = 0.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Câu 1. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C): (x + 1)² + (y + 3)² là:

A. I (-1; 3), R = 4;

B. I (1; -3), R = 4;

C. I (1; -3), R = 16;

D. I (-1; 3), R = 16.

Câu 2. Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn $\left(C\right):x^2+{\left(y+4\right)}^2=5$. Tính S = 2a + b:

A. -2;

B. 4;

C. 0;

D. -4.

Câu 3. Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn $\left(C\right):{\left(x+1\right)}^2+y^2=8$. Tìm I và tính S = 3.R.

A. I (-1; 0), S = 8

B. I (-1; 0), S = 64

C. I (-1; 0), S = 6 $\sqrt{2}$

D. I (1; 0), S = 2$\sqrt{2}$

Câu 4. Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2=9$. Tìm I và tính S = $R^3$ .

A. I (0; 0), S = 9;

B. I (0; 0), S = 81;

C. I (1; 1), S = 3;

D. I (0; 0), S = 27;

Câu 5. Đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-6x+2y+6=0$ có tâm I, bán kính R lần lượt là:

A. I (3; -1), R = 4;

B. I (-3; 1), R = 4;

C. I (3; -1), R = 2;

D. I (-3; 1), R = 2.

Câu 6. Đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ, bán kính R = 1 có phương trình là:

A. $x^2+{\left(y+1\right)}^2=1$

B. $x^2+y^2=1$

C. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1$

Câu 7. Đường tròn có tâm I (1; 2), bán kính R = 3 có phương trình là:

A. $x^2+y^2+2x+4y-4=0;$

B. $x^2+y^2+2x-4y-4=0;$

C. $x^2+y^2-2x+4y-4=0;$

D. $x^2+y^2-2x-4y-4=0.$

Câu 8. Đường tròn (C) có tâm I (1; -5) và đi qua O (0; 0) có phương trình là:

A. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=26$

B.${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-5\right)}^2=\sqrt{26}$

C. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=26$

D.${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=\sqrt{26}$

Câu 9. Đường tròn (C) có tâm I (-2; 3) và đi qua M (2; -3) có phương trình là:

A. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=\sqrt{52}$

B. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=52$

C. $x^2+y^2+4x-6y-57=0$

D. $x^2+y^2+4x-6y-39=0$

Câu 10. Đường tròn đường kính AB với A (3; -1), B (1; -5) có phương trình là:

A. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=5;$

B. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=17$

C. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=\sqrt{5}$

D. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=5$

Câu 11. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn$\left(C\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=25$ tại trung điểm của A (1; 3) và B (3; -1) là:

A. d: -y + 1 = 0;

B. d: 4x + 3y + 14 = 0;

C. d: 3x – 4y – 2 = 0;

D. d: 4x + 3y - 11 = 0.

Câu 12. Cho đường tròn $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=8$ . Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A (3; -4).

A. d: x + y + 1 = 0;

B. d: x - 2y - 11 = 0;

C. d: x - y - 7 = 0;

D. d: x - y + 7 = 0.

Câu 13. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-3x-y=0$ tại điểm đối xứng với M (-1; -1) qua trục Oy là:

A. d: x + 3y - 2 = 0;

B. d: x - 3y + 4 = 0;

C. d: x - 3y - 4 = 0;

D. d: x + 3y + 2 = 0.

Câu 14. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=5$ , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0.

A. 2x + y + 1 = 0 hoặc 2x + y - 1 = 0;

B. 2x + y = 0 hoặc 2x + y - 10 = 0;

C. 2x + y + 10 = 0 hoặc 2x + y - 10 = 0;

D. 2x + y = 0 hoặc 2x + y + 10 = 0.

Câu 15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+4x+4y-17=0$, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 3x – 4y – 2018 = 0.

A. 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0;

B. 3x – 4y – 23 = 0 hoặc 3x – 4y + 27 = 0;

C. 3x – 4y – 23 = 0 hoặc 3x – 4y – 27 = 0;

D. 3x – 4y + 23 = 0 hoặc 3x – 4y + 27 = 0.

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu hỏi. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;-1), B(1;2). Gọi M là giao điểm của đường thẳng $\Delta :x-y+1=0$ và trục Ox.

a) Đường thẳng AB là -x+3y-5=0.

b) Đường tròn tâm B, bán kính R=2 là (x-1)²+(y-2)²=2.

c) Hoành độ điểm M bằng -1.

d) Đường tròn đi qua 3 điểm A,B,M có tọa độ tâm là $I\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{4}\right)$.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Đường tròn (C) có tâm I(1;1) và cắt đường thẳng $d:3x+4y+8=0$ tại M,N thỏa mãn MN=8 có đường kính bằng bao nhiêu?

Câu 2. Tìm bán kính của đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng $d:x-6y-10=0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình $d_1:3x+4y+5=0$ và $d_2:4x-3y-5=0$. Biết tâm đường tròn nằm trên trục Ox.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 22: Ba đường conic

Tổng hợp lý thuyết Chương 7

Lý thuyết Bài 23: Quy tắc đếm

Lý thuyết Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Lý thuyết Bài 25: Nhị thức Newton

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ lớp 10

Giáo án điện tử Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ lớp 10

Giáo án Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ lớp 10

Giải Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải sbt Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ