Lý thuyết Các khái niệm mở đầu - Toán 10 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Khái niệm vectơ

– Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.

– Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý:

+ Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ , đọc là vectơ AB.

+ Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối.

+ Vectơ còn được kí hiệu là , , , , …

+ Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ ,  tương ứng được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ , $\left|\overrightarrow{a}\right|$ .

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BD}$ .

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90°$ .

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = AD = 1.

Ta có: BD² = AB² + AD².

Suy ra: BD² = 1² + 1² = 2 ⇒ BD = $\sqrt{2}$ .

Do đó $\left|\overrightarrow{BD}\right|$  = BD = $\sqrt{2}$

Mặt khác Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo BD và AC bằng nhau.

Vì vậy AC = BD = $\sqrt{2}$ .

Do đó :  $\left|\overrightarrow{AC}\right|$  = AC = $\sqrt{2}$ ;

Vậy $\left|\overrightarrow{BD}\right|$  =  $\sqrt{2}$; $\left|\overrightarrow{AC}\right|$  = $\sqrt{2}$ .

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.

+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

+ Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{a}$  = $\overrightarrow{b}$ , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Ví dụ:

Trong hình trên đường thẳng m đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ $\overrightarrow{a}$, nên đường thẳng m gọi là giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ .

Tương tự, đường thẳng n là giá của hai vectơ $\overrightarrow{b}$  và $\overrightarrow{c}$ .

Đường thẳng m và n song song với nhau nên ba vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  và $\overrightarrow{c}$   là các vectơ cùng phương.

$\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$  cùng phương nhưng ngược hướng; $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{c}$  cùng phương và cùng hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{c}$  cùng hướng, ngoài ra chúng có độ dài bằng nhau nên $\overrightarrow{a}$  = $\overrightarrow{c}$ .

Chú ý:

+ Ta cũng xét các vectơ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn $\overrightarrow{AA}$ , $\overrightarrow{BB}$ ), gọi là các vectơ–không.

+ Ta quy ước vectơ–không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.

+ Các vectơ–không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là $\overrightarrow{0}$ .

+ Với mỗi điểm O và vectơ $\overrightarrow{a}$  cho trước, có duy nhất điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$  và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.

Ví dụ: Một vật A thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Khi đó $\overrightarrow{F}$  biểu diễn lực đẩy Ác–si–mét và $\overrightarrow{P}$  biểu diễn trọng lực tác dụng lên vật A.

$\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{P}$  tác dụng lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do vật chìm hoàn toàn dưới đáy cốc nên trọng lực $\overrightarrow{P}$  có độ lớn lớn hơn lực đẩy Ác–si–mét $\overrightarrow{F}$ , cụ thể $\left|\overrightarrow{P}\right|=3\left|\overrightarrow{F}\right|$ .

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và P là trung điểm của BC.

Phát biểu nào dưới đây là sai.

A. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}$ ;

B. $\overrightarrow{AA}$  cùng hướng với $\overrightarrow{PP}$ ;

C. $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}$ ;

D. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PB}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

+) Xét tam giác ABC, có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ MN // BC và MN = $\frac{1}{2}$ BC

Mà BP = PC = $\frac{1}{2}$ BC (P là trung điểm của BC)

⇒ MN = CP = PB (1)

Vì MN // BC nên MN // CP. Khi đó $\overrightarrow{MN}$  và $\overrightarrow{PC}$  cùng phương. Suy ra $\overrightarrow{MN}$  và $\overrightarrow{PC}$  cùng hướng (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{MN}$  = $\overrightarrow{PC}$ . Do đó đáp án A đúng.

Câu 2. Cho hình thoi ABCD có độ dài hai đường chéo AC, BD lần lượt là 8 cm và 6 cm. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ .

A. 10 cm;

B. 3 cm;

C. 4 cm;

D. 5cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC, cũng là trung điểm của BD.

⇒ AO = OC = $\frac{AC}{2}=\frac{8}{2}=4cm.$

⇒ BO = OD = $\frac{BD}{2}=\frac{6}{2}=3cm.$

Xét tam giác AOB vuông tại O, có:

AB² = AO² + BO² (định lí Py – ta – go)

⇔ AB² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

⇔ AB = 5 (cm)

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=5cm.$

Vậy độ dài $\overrightarrow{AB}$  là 5cm.

Câu 3. Cho hình vẽ sau:

Cặp vectơ nào cùng hướng?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

B2. Bài tập tự luận

Câu 4. Cho hình vẽ:

a) Chỉ ra các vectơ cùng phương.

b) Chỉ ra các vectơ cùng hướng, ngược hướng.

c) Chỉ ra các vectơ bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Ta nối các điểm đầu và điểm cuối của hai vectơ $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$để được tứ giác ABCD.

Xét tứ giác ABCD có:

AD // BC (vì AD và BC nằm trên hai dòng kẻ phân biệt)

AD = BC (cùng bằng 3 đơn vị)

Suy ra ABCD là hình bình hành.

Suy ra AB // DC.

Khi đó, ta có giá của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ song song với nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương.

Ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ có giá nằm trên các dòng kẻ dọc nên giá của các vectơ này trùng nhau hoặc song song, vì vậy ba vectơ này cùng phương.

Vectơ $\overrightarrow{t}$ không cùng phương với vectơ nào.

Vậy, hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ cùng phương ; ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đôi một cùng phương.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Hai vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng.

Vậy các cặp vectơ cùng hướng là: $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$; $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$. Các cặp vectơ ngược hướng là: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$.

c) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC.

Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng. Mặt khác $\left|\overrightarrow{u}\right|=DC$; $\left|\overrightarrow{v}\right|=AB$, suy ra $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{v}\right|$ .

Vậy, $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{v}$.

Hai vectơ và cùng hướng, tuy nhiên không cùng độ dài: $\left|\overrightarrow{b}\right|=5$, $\left|\overrightarrow{c}\right|=2$. Vì vậy $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ không bằng nhau.

Câu 5. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ .

Hướng dẫn giải

– Giả sử ABCD là hình bình hành. Khi đó AB // DC và AB = DC.

Vì AB // DC nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Từ hình vẽ dễ thấy $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Vì AB = DC nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$.

Vậy $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.

– Giả sử $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$. Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng và $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$.

Từ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng suy ra chúng cùng phương, hay AB // DC.

Từ $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$ suy ra AB = DC.

Vậy ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Lý thuyết Bài 9: Tích vô hướng của một vectơ với một số

Lý thuyết Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Lý thuyết Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Tổng hợp lý thuyết Chương 4