Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp10 (Kết nối tri thức)

Lý thuyết Toán 10 Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cặp số $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.

Ví dụ:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9\\ \mathrm{y}-2\mathrm{x}>9\end{array}\right.$là một hệ bất phương trình hai ẩn gồm 2 bất phương trình $\mathrm{x}+2\mathrm{y}<9$ và $\mathrm{y}-2\mathrm{x}>9$.

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}>4\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2<5$ là bất phương trình bậc hai 2 ẩn.

- Cho hệ bất phương trình hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}>9\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}<9\end{array}\right.$.

Cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của bất phương trình x + y > 9 và cũng là nghiệm của bất phương trình x – y < 9. Nên cặp (x; y) = (10; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 150\end{array}\right.$:

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Bước 3: Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.

- Vì 0 + 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{by}$, với $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\mathrm{...}{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}$, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 100\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 120\end{array}\right.$và $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=3,5\mathrm{x}+2\mathrm{y}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

- Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 100.

+ Vì 0 + 0 ≤ 100 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 120.

+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác

F(O) = 0; F(A) = 200; F(B) = 230; F(C) = 210.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được ở Bước 2, kết luận giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là 230.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}<0\\ \mathrm{y}>0\end{array}\right.$ b)$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2<0\\ \mathrm{y}>0\end{array}\right.$ c) $2\mathrm{x}+\mathrm{y}>0$ d) $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}<0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}>{10}^{10}\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

- Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}<0\\ \mathrm{y}>0\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có 2 bất phương trình x < 0 và y > 0 đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2<0\\ \mathrm{y}>0\end{array}\right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x² < 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- $2\mathrm{x}+\mathrm{y}>0$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chỉ có một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}<0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}>{10}^{10}\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có 2 bất phương trình x – y < 0 và x + y > 10¹⁰ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy có hệ $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}<0\\ \mathrm{y}>0\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}<0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}>{10}^{10}\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 120\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 180\end{array}\right.$

a) Tìm 2 nghiệm của hệ trên.

b) Cho $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=2\mathrm{x}+2\mathrm{y}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Chọn (x; y) = (1; 1).

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình y ≥ 0 ta được 1 ≥ 0 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình x + y ≤ 120 ta được 1 + 1 ≤ 120 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 120.

Thay x = 1 và y = 1 vào bất phương trình 2x + y ≤ 180 ta được 2. 1 + 1 ≤ 180 là mệnh đề đúng. Do đó cặp (1; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 180.

Vậy (x; y) = (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 120\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 180\end{array}\right.$.

Tương tự ta chọn được (x; y) = (2; 2) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ đã cho. Do đó (2; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 120\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 180\end{array}\right.$.

Vậy 2 nghiệm của hệ trên là (1; 1) và (2; 2).

b)

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0.

+ Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

+ Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

- Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

- Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 120:

+ Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 120.

+ Vì 0 + 0 ≤ 120 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 120.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 120 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 180:

+ Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 180.

+ Vì 2. 0 + 0 ≤ 180 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 180.

Do đó, miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y ≤ 180 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm không bị gạch chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Bài 3. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<0\\ \mathrm{x}-4\mathrm{y}>-6\end{array}\right.$. Hỏi đây có phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Khi cho y = 0, x có thể nhận các giá trị nguyên nào?

Hướng dẫn giải

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<0\\ \mathrm{x}-4\mathrm{y}>-6\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bởi vì có 2 bất phương trình x + 2y < < 0 và x – 4y > - 6 là bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Khi y = 0, hệ trở thành: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}<0\\ \mathrm{x}>-6\end{array}\right.$$\iff -6<\mathrm{x}<0$

Vậy x có thể nhận các giá trị nguyên là: $\left\{-5;-4;-3;-2;-1\right\}$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC với:

O(0;0), A(0;120), B(60;60), C(90;0).

Ta có: F(O) = 0; F(A) = 240; F(B) = 240; F(C) = 180.

Vậy giá trị lớn nhất của $\mathrm{F}\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ là 240 khi $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)=\left(60;60\right)$ hoặc $\left(0;120\right)$.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Hệ $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}\ge -1\\ {\mathrm{y}}^2-1\le 0\end{array}\right.$không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

B. Hệ $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 1+\mathrm{y}\\ 5\mathrm{x}+\mathrm{y}<0\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

C. Hệ $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1+\mathrm{y}>0\\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{y}<0\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

D. Hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<7\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}\le 0\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}\ge -1\\ {\mathrm{y}}^2-1\le 0\end{array}\right.$chứa bất phương trình bậc hai y² – 1 ≤ 0 nên hệ này không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định A đúng.

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 1+\mathrm{y}\\ 5\mathrm{x}+\mathrm{y}<0\end{array}\right.$chứa hai bất phương trình x ≥ 1 + y và 5x + y < 0 đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ này là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định B đúng.

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1+\mathrm{y}>0\\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{y}<0\end{array}\right.$chứa bất phương trình bậc hai x² + y < 0 nên hệ này không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định C sai.

+ Vì $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\mathrm{x}+2\mathrm{y}<7\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}\le 0\end{array}\right.$chứa hai bất phương trình $\frac{1}{2}\mathrm{x}+\mathrm{y}<7$ và x + 3y ≤ 0 đều là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên hệ này là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó khẳng định D đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Bài 5. Cặp số (0; –3) là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}\le 1\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}\le 3\mathrm{x}-4\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}>0\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}>1\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}-4\mathrm{y}>-3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 2\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}\le -3\\ 5\mathrm{y}\ge -1\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+ Ta có: 0 – (–3)= 3 > 1 và 0 + 3. (–3) < 3.0 – 4 (–9 < –4) là mệnh đề đúng.

Do đó cặp số (0; –3) không là nghiệm của bất phương trình x – y ≤ –1.

Vậy nên cặp số (0; –3) không là nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}\le 1\\ \mathrm{x}+3\mathrm{y}\le 3\mathrm{x}-4\end{array}\right.$.

+ Ta có: 2.0 – (–3)= 3 > 0 và 2.0 + (–3) = – 3 < 1.

Do đó cặp số (0; –3) không là nghiệm của bất phương trình 2x + y > 1.

Vậy nên cặp số (0; –3) không là nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}>0\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}>1\end{array}\right.$.

+ Ta có: –0 – 4.(–3)= 12 > – 3 và 2.0 + (–3) = – 3 < 2.

Do đó cặp số (0; –3) là nghiệm của cả hai bất phương trình –x –4y > –3 và 2x + y ≤ 2.

Vậy nên cặp số (0; –3) là nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}-4\mathrm{y}>-3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 2\end{array}\right.$.

+ Ta có: 2.0 – (–3)= 3 > – 3 và 5. (–3) = – 15 <– 1.

Do đó cặp số (0; –3) không là nghiệm của cả hai bất phương trình 2x – y ≤ –3 và 5y ≥ –1.

Vậy nên cặp số (0; –3) không là nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{\begin{array}{l}2\mathrm{x}-\mathrm{y}\le -3\\ 5\mathrm{y}\ge -1\end{array}\right.$.

Vậy nên cặp số (0; –3) là nghiệm của hệ bất phương trình$\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}-4\mathrm{y}>-3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}\le 2\end{array}\right.$.

Do đó ta chọn đáp án C.

Bài 6. Miền không gạch chéo trong hình vẽ dưới đây (không chứa bờ), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}\ge -2\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}\ge 1\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}>-2\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}<1\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}<-2\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}>1\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}<-2\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}<1\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng x – y = –2 chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

Xét điểm O(0; 0), ta có: 0 – 0 = 0 > –2 .

Mặt khác điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm. Do đó ta có bất phương trình thứ nhất của hệ là x – y > –2.

Đường thẳng 2x – y = 1 chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

Xét điểm O(0; 0), ta có: 2.0 – 0 = 0 < 1 .

Mặt khác điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm. Do đó ta có bất phương trình thứ hai của hệ là 2x – y < 1.

Suy ra hệ cần tìm là: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\mathrm{y}>-2\\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}<1\end{array}\right.$

Ta chọn đáp án B.

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ?

A.$\left\{\begin{array}{l}x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$

B.$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+3y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$

C.$\left\{\begin{array}{l}4x+3y-1\ge 0\\ x+y^3>0\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}-x^2+3y\ge 5\\ x+y^3\le 1\end{array}\right.$

Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Điểm O(0 ; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$

B. Điểm M(1 ; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$

C. Điểm N(0 ; –1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$

D. Điểm P(1 ; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+3y\ge 0\\ 2x\le 0\end{array}\right.$

Câu 3. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge -1\\ y^2-1\le 0\end{array}\right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

B. Hệ $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1+y\\ 5x+y<0\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

C. Hệ $\left\{\begin{array}{l}x+1+y>0\\ x^2+y<0\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

D. Hệ $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+2y<7\\ x+3y\le 0\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

Câu 4. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-x+2y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}\right.$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. M(0; 1);

B. N(–1; 1);

C. P(–1; 4);

D. Q(1; 3).

Câu 5. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}-3x+y>-2\\ x+2y\le 1\end{array}\right.$. Và các điểm sau: M(–1 ; 2), N(0; –1), O(0; 0). Có mấy điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Câu 6. Cặp số (0; –3) là nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}x-y\le 1\\ x+3y\le 3x-4\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-y>0\\ 2x+y>1\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}-x-4y>-3\\ 2x+y\le 2\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}2x-y\le -3\\ 5y\ge -1\end{array}\right.$

Câu 7. Cho hai điểm M(1; 0) và N(–2; –1) và hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x\le 1\\ 2x+5y<3\end{array}\right.$. Trong hai điểm M và N, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. Cả M và N đều không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.

B. Điểm M thuộc miền nghiệm còn N không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.

C. Điểm M không thuộc miền nghiệm còn N thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.

D. Cả hai điểm M và N đều thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.

Câu 8. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y<0\\ x+3y>-1\\ x+y<3\end{array}\right.$ là miền không gạch chéo (không kể bờ) của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

A.

B.

C.

D.

Câu 9. Miền không gạch chéo trong hình vẽ dưới đây (không chứa bờ), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

A. $\left\{\begin{array}{l}x-y\ge -2\\ 2x-y\ge 1\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}x-y>-2\\ 2x-y<1\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x-y<-2\\ 2x-y>1\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}x-y<-2\\ 2x-y<1\end{array}\right.$

Câu 10. Giá trị nhỏ nhất F_min của biểu thức F= –x + y trên miền xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\ge 2\\ y-x\le 4\\ x+2y\ge 5\end{array}\right.$ là:

A. F_min = $\frac{11}{5}$;

B. F_min = 0;

C. F_min = 2;

D. F_min = 4.

Câu 11. Biểu thức F = 2x + y đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}2x-y\le 2\\ x-2y\le 2\\ y\ge 0\\ x\ge 0\end{array}\right.$ tại điểm có toạ độ là:

A. (0; 0);

B. ($\frac{2}{3}$; $\frac{-2}{3}$);

C. (0; –1);

D. (1; 0).

Câu 12. Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng rau cải và y sào đất trồng cà chua. Biết rằng người nông dân chỉ có tối đa 900 nghìn đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng rau cải là 100 nghìn đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 50 nghìn đồng. Trong các hệ bất phương trình sau, hệ nào mô tả các ràng buộc đối với x, y ?

A. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 900\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 18\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y>18\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 18\end{array}\right.$.

Câu 13. Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 1\\ 4x-y\le 2\\ x\ge 0\end{array}\right.$. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y trên miền nghiệm của hệ đã cho là:

A. – 1;

B. $\frac{1}{5}$;

C. 2;

D. 1

Câu 14. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y>1\\ \frac{1}{3}X-y\le 2\end{array}\right.$ có tập nghiệm là S. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. (0; 1) ∈ S;

B. (0; –1) ∉ S;

C.$\left(\frac{1}{3};1\right)$ ∈ S;

D. $\left(-\frac{1}{3};1\right)$ ∉ S.

Câu 15. Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Các sản phẩm này được chế tạo từ hai loại nguyên liệu A, B. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau :

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất ? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại I lãi 10 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại II lãi 20 triệu đồng.

A. 5 kg loại I và 1 kg loại II;

B. 5 kg loại I và 5 kg loại II;

C. 6 kg loại I và 0 kg loại II;

D. 0 kg loại I và 6 kg loại II;

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+2y\le 30\\ y>5\\ -2x+6y>40\end{array}\right.$

a) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) $\left(-2;8\right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

c) $\left(3;1\right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

d) $\left(-2;-1\right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II. Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 2. Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được a lít nước cam và b lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Tính hiệu số a - b.

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 2

Lý thuyết Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Lý thuyết Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xem thêm Tài liệu Toán lớp 10:

Trắc nghiệm Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Giáo án điện tử Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Giáo án Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10

Giải Toán 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải sbt Toán 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn